Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

Записываем ответ.

I. Решить уравнение

(1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

или

График функции - две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

Если а , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

и .

Если а , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а (-;-1](1;+), то ;

Если а , то , ;

Если а , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции - это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную

Ответ: .

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

и

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то .

Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим :

Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а (-;-3] (;+).

IV. Решить уравнение

Решение.

Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение перепишем в виде

. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если , то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Пусть , тогда . Система примет вид

Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид

Решив эту систему, найдем а (-1;7). Но , поэтому при а (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ:

если а (-;3), то решений нет;

если а=3, то х [3;5);

если a (3;7), то ;

если a [7;), то решений нет.

V. Решить уравнение

, где а - параметр. (5)

Решение.

При любом а :

Если , то ;

если , то .

Строим график функции , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует .

По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких - не имеет решения.

Ответ:

если , то

если , то ;

если , то решений нет;

если , то , .

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы

(1)

и

(2)

имеют одинаковое число решений ?

Решение.

С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после преобразований систему

(3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

(4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом

Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если , то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех решений, если .

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением , иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ).

Для решения этого рассмотрим уравнение

,

которое удобнее переписать в виде

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:

если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;

если , то система (3) имеет три решения;

если , то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) - это четыре. И это имеет место, когда .

Ответ:



II. Неравенства с параметрами.

1. Основные определения

Неравенство

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x), (1)

где a, b, c, …, - параметры, а x - действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции

(a, b, c, …, , x) и

(a, b, c, …, , x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

(a, b, c, …, , x) и

(a, b, c, …, , x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство

(a, b, c, …, , x0)>(a, b, c, …, , x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) - значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) и (1)

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

2. Алгоритм решения.

Находим область определения данного неравенства.

Сводим неравенство к уравнению.

Выражаем а как функцию от х.

В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

Исследуем влияние параметра на результат.

найдём абсциссы точек пересечения графиков.

зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+

Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

Ответ: , .

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства -

(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы

а значения и находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

Ответ:

III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.

Решение.

Находим область допустимых значений -

Построим график функции в системе координат хОу.

при неравенство решений не имеет.

при для решение х удовлетворяет соотношению , где

Ответ: Решения неравенства существуют при

, где , причем при решения ; при решения .

IV. Решить неравенство

Решение.

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :

Разложим числитель на множители.

т. к. то

Разделим обе части равенства на при . Но является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .

3. Строим в ПСК хОа графики функций

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

точка

неравенство:

вывод

1

-

2

+

3

-

4

+

5

-

6

+

7

-

8

+

9

-

5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от - до +.

Ответ.

при

при

при

при решений нет

при



Литература

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико-математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.

Показывать только:

Все категории работ ----------------------------------- рефератдипломная работакурсовая работаконтрольная работадокладыпрактическая работашпаргалкиаттестационная работаотчет по практикенаучная работаавторефератучебное пособиестатьякнигатестлекциятворческая работапрезентациябиографиямонографияметодичкакурс лекцийлабораторная работазадачабизнес-пландиссертацияразработка урокаконспект урокамагистерская работаконспект произведенияанализ учебного пособиякраткое изложениематериалы конференциисочинениеэссеанализ книгитопиктезисыистория болезни

Портфель:

Выбранных работ

На данный момент в нашей базе:

Рефераты: 23980
Курсовые работы: 21532
Дипломные работы: 5897
Учебные пособия: 529
Статьи: 854
Контрольные работы: 9919
Книги: 206
Практические работы: 370
Аттестационные работы: 98
Тесты: 73
Лекции: 876
Творческие работы: 292
Научные работы: 271
Отчеты по практике: 716
Авторефераты: 867
Презентации: 340
Биографии: 50
Монографии: 38
Методички: 633
Курсы лекций: 509
Лабораторные работы: 508
Задачи: 107
Бизнес Планы: 153
Диссертации: 83
Разработки уроков: 24
Конспекты уроков: 41
Магистерские работы: 54
Конспекты произведений: 27
Анализы учебных пособий: 8
Краткие изложения: 59
Материалы конференций: 15
Сочинения: 122
Эссе: 99
Анализы книг: 30
Топики: 74
Тезисы: 10
Истории болезней: 344
Доклады: 1070
Шпаргалки: 571

Всего работ: 71449

[Новые поступления]


[Популярные работы]

Рубрики по алфавиту:

А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З
И	Й	К	Л	М	Н	О	П
Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч
Ш	Щ	Ъ	Ы	Ь	Э	Ю	Я

Ключевые слова страницы: Решение уравнений, неравенств, систем с параметром | курсовая работа

СтудентБанк.ру © 2014 - Банк рефератов, база студенческих работ, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам, а также отчеты по практике и многое другое - бесплатно.