4

Министерство образования и науки Украины

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Факультет ПММ

Кафедра ПМ

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий.

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика

Выполнил: Проверил:

ст. группы ******** проф. **********

*****************

Харьков 2007

РЕФЕРАТ

В данном курсовом проекте представлено описание понятий корреляционного момента и его свойств, коэффициента корреляции, случайных событий и их основных числовых характеристик, применения на практике корреляции, а также приведено решение практических задач.

Пояснительная записка состоит из вступления, основной части, выводов, списка литературы.

Записка 28с.

Ключевые слова и выражения:

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ДИСПЕРСИЯ, НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ, ЦЕНТРАЛЬНЫЙ МОМЕНТ, КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ, КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ, ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ЗАВИСИМОСТЬ.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………..….4

1 Теоретическая часть……….……………………………………………………5

1.1 Доверительные оценки…………………………………………..……….….5

1.2 Метод наибольшего правдоподобия………………………………….…...10

1.3 Точечные оценки…………………………………………………………..13

1.4 Критерий согласия…………………………………………………….……18

1.5 Теорема Чебышева…………………………………………...……….……19

1.6 Понятие доверительного интервала………………...……………….….…23

1.7 Сравнение средних………………………………………………………....25

1.8 Метод минимума X² ……………………………………………………..…26

1.9 Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий…..…28

2 Практическая часть……………………………………………………………30

Выводы…………………………………………………………………………...37

Список литературы……………………………………………………………...38

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятности - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. При научном исследовании физических и технических задач, часто приходится встречаться с явлениями особого типа, которые принято называть случайными. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает несколько по-иному.

Очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

Случайности неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, т.е. модель, и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяют самые главные, решающие. Влиянием остальных, второстепенных факторов просто пренебрегают. Изучая закономерности в рамках некоторой теории, основные факторы, влияющие на то или иное явление, входят в понятия или определения, которыми оперирует рассматриваемая теория.

Как и всякая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, теория вероятностей также содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, так как определить понятие - это значит свести его к другим, более известным. Этот процесс должен быть конечным и заканчиваться на первичных понятиях, которые только объясняются.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Доверительные оценки

Выборочная оценка, являясь точечной, дает оценочные значения соответствующего параметра из данной выборки, но ничего не дает для точности и достоверности оценки. Такие данные поставляют доверительные оценки. Пусть случайная выборка из генеральной совокупности со случайной величиной , распределение которой зависит от параметра . Пусть - такие функции выборок, что при произвольном выполняется равенство

. (1.1.1)

Тогда случайный интервал называется доверительной оценкой параметра с мерой надежности (с уровнем значимости ).
Если имеется реализация выборки , то реализация доверительной оценки дает доверительный интервал и в большом ряду выборок истинное значение лежит примерно в случаев внутри вычисленных доверительных границ и . Равенство (1.1.1) можно интерпретировать и так: случайный интервал “покрывает” истинный параметр с доверительной вероятностью .

В математической статистике часто используют понятие квантилей, процентных точек (односторонних критических границ и двухсторонних критических границ). Квантилью уровня p или p-квантилью случайной величины с функцией распределения называется решение уравнения .
Односторонней критической границей, отвечающей уровню значимости (процентной точкой уровня ), непрерывной случайной величины с функцией распределения называется значение случайной величины , для которой , или . Нижней и верхней критическими границами, отвечающими уровню значимости непрерывной случайной величины с функцией распределения называются значения случайной величины и , для которых ; ;

.

Для симметричных случайных величин, у которых плотности
распределения симметричны относительно некоторой точки, нижние и верхние критические границы удовлетворяют условию , что дает возможность приводить таблицы лишь для процентных точек или квантилей, больших . Так, для стандартной нормальной случайной величины с уровнем значимости .

Квантиль, односторонние и двухсторонние критические границы изображены на рис.1.

Рис.1. р-квантиль и критические точки для закона распределения .

1.1.1 Доверительная оценка при неизвестной вероятности по большим выборкам

Частота является точечной оценкой , она асимптотически нормально распределена с и .

Если ,то . Зададим . Величина такая, что может быть найдена из уравнения при помощи таблиц для функций Лапласа. Эти же рассуждения применим к . По заданному можно найти так, чтобы . Из неравенства следует, что , откуда можно вычислить оба значения и , которые представляют доверительные оценки для . Если выбрано достаточно малым, то случайный интервал “покрывает” почти наверное.

1.1.2 Доверительные оценки для параметров нормального закона

1.1.2.1 Доверительная оценка при известном

,, тогда .

Соответственно,

.

Для стандартной нормальной случайной величины с уровнем значимости нижняя и верхняя критические границы соответственно равны и .

Имеем

или

.

.

Таким образом, - доверительная оценка для параметра a с мерой надежности .

1.1.2.2 Доверительная оценка при неизвестном

Оценка основана на том факте, что при высказанных предположениях величина удовлетворяет t- распределению с n-1 степенями свободы.

Определяя одностороннюю критическую точку из условия ,получим доверительную оценку для а в виде

.

Для конкретной выборки объема n доверительная оценки для а становится ее доверительным интервалом.

1.1.2.3 Доверительная оценка при неизвестном

Отправной точкой является тот факт, что при заданных предпосылках величина удовлетворяет - распределению с n-1 степенями свободы. По заданному уровню значимости и степенями свободы находим критические точки и распределения такие, что

,

, или .

Таким образом , есть доверительная оценка с мерой надежности .

1.2 Метод наибольшего правдоподобия

Пусть дана выборка объема n из генеральной совокупности с непрерывно распределенной случайной величиной X. Пусть плотность вероятности X содержит неизвестный параметр, который следует оценить по выборке, и имеет вид .

Функцией правдоподобия называют функцию параметра , определяемую соотношением

. (1.2.1)

Рассмотрим случай дискретной случайной величины X с возможными значениями и вероятностями . Обозначим через наибольшее из возможных значений, которое встречается в выборке, а через --- абсолютные частоты, с которыми появляются значения в выборке . В этом случае функцией правдоподобия называют функцию параметра , определяемую соотношением

. (1.2.2)

Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки параметра берется значение, при котором функция правдоподобия достигает своего максимума.

Параметр находят, решая относительно уравнение

. (1.2.3)

Часто вместо (1.2.3) используют уравнение

, (1.2.4)

Если плотность или вероятности зависят от параметров, то наиболее правдоподобную оценку системы параметров получают решением системы уравнений

(1.2.5)

или

. (1.2.6)

Наиболее правдоподобные оценки имеют некоторые замечательные свойства. При достаточно общих условиях они являются состоятельными и асимптотически нормально распределенными (однако не всегда несмещенными), имеют среди всех асимптотически нормально распределенных оценок наибольшую эффективность. Справедливо следующее положение: если вообще имеется эффективная оценка, то она получается методом наибольшего правдоподобия.

Пример 1.2.1 Оценить вероятность некоторого события . Пусть

Решение. ; . Пусть в независимых наблюдениях событие произошло раз, т.е. . Таким образом, имеем , . Отсюда следует, что . Следовательно, есть наиболее правдоподобная оценка параметра . Случайная величина k биномиально распределена, ; Следовательно, -- несмещенная оценка вероятности, асимптотически состоятельная и асимптотически нормальная.

Пример 1.2.2. Пусть случайная величина распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром . Проведем выборку и получим значения ( - целые числа). Пусть - набольшее из наблюдаемых в выборке чисел, - абсолютные частоты, с которыми числа появляются в выборке ; . Тогда согласно формуле (3.2) . Из соотношения получаем , откуда .

Величина есть, таким образом, правдоподобная оценка для и вместе с тем состоятельная, асимптотически нормально распределенная.

Пример 1.2.3. Пусть случайная величина распределена нормально с параметрами и . Их следует оценить исходя их выборки объема .

Решение. Функция правдоподобия

,

следовательно

.

Согласно (2.5), получаем следующие уравнения для определения и : ; , откуда и . Следовательно, есть наиболее правдоподобная оценка параметров . Мы уже знаем, что не является несмещенной оценкой, а только асимптотически не смещена.

1.3 Точечные оценки

Одной из задач математической статистики явля-ется оценка неизвестных параметров выбранной параметриче-ской модели.

Очень часто в приложениях рассматривают параметриче-скую модель. В этом случае предполагают, что закон рас-пределения генеральной совокупности принадлежит множеству

, где вид функции распределения задан, а век-тор параметровнеизвестен. Требуется найти оценку дляили некоторой функции от него (например, ма-тематического ожидания, дисперсии) по случайной выборке из генеральной совокупности X.

Например, предположим, что масса X детали имеет нор-мальный закон распределения, но его параметры неизвестны. Нужно найти приближенное значение параметров по результатам наблюдений х, …, х_п, полученным в экспери-менте (по реализации случайной выборки).

Как уже отмечалось , в математической статисти-ке существуют два вида оценок: точечные и интервальные. В этой главе будут рассмотрены точечные оценки, а интерваль-ным оценкам посвящена следующая глава.

1.3.1. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки

Пусть-- случайная выборка из генеральной совокупности X, функция распределениякоторой известна, а-- неизвестный параметр, т.е. рассматривается параметрическая модель(для простоты изложения будем считать пока, что-- скаляр).

Требуется построить статистику, которую можно было бы принять в качестве точечной оценки параметра.

Интуитивно ясно, что в качестве оценки параметрамож-но использовать различные статистики. Например, в качестве точечной оценки дляможно предложить такие статистики:

Какую же из этих статистик предпочесть? В общем случае нужно дать ответ на вопрос: какими свойствами должна обла-дать статистика, чтобы она была в неко-тором смысле наилучшей оценкой параметра в? Рассмотрению требований к оценкам и методам их нахождения посвящена на-стоящая глава.

Заметим, что в дальнейшем, как правило, будем говорить об оценке параметрапараметрической модели, хотя все ска-занное можно перенести и на функцию от в.

Определение 1.3.1.1 Статистикуназывают состоятельной оценкой параметра, если с ростом объема выборки п она сходится по вероятности к оцениваемому пара-метру , т.е.

Иными словами, для состоятельной оценкиотклонение ее отна величину е и более становится маловероятным при большом объеме выборки. Это свойство оценки является очень важным, ибо несостоятельная оценка практически беспо-лезна. Однако следует отметить, что на практике приходится оценивать неизвестные параметры и при малых объемах вы-борки.

Естественным является то требование, при выполнении ко-торого оценка не дает систематической погрешности в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра.

Определение 1.3.1.2. Статистикуназывают несмещенной оценкой параметра, если ее математическое ожи-дание совпадает с, т.е.для любого фиксирован-`испер.

Если оценка является смещенной (т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения Как мы увидим далее, смещение оценки часто можно устра-нить, введя соответствующую поправку.

Говорят также, что оценкаявляется асимптотически несмещенной, если приона сходится по вероятности к своему математическому ожиданию, т.е. для любого

Предположим, что имеются две несмещенные оценки

4

и для параметра. Если дисперсииудовлетворяют условию

(1.3.1)

для любого фиксированного пи, то следует предпочесть оценку, поскольку разброс статистики относительно параметраменьше, чем разброс статистики

Определение 1.3.1.3. Если в некотором классе несмещенных оценок параметра, имеющих конечную дисперсию, существу-ет такая оценка, что неравенство (2.1) выполняется для всех оценокиз этого класса, то говорят, что оценка является эффективной в данном классе оценок.

оценивать неизвестные параметры и при малых объемах вы-борки.

Естественным является то требование, при выполнении ко-торого оценка не дает систематической погрешности в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра.

Определение 1.3.1.4. Статистикуназывают несмещенной оценкой параметра, если ее математическое ожи-дание совпадает с, т.е.для любого фиксирован-н`испер

Если оценка является смещенной (т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения Как мы увидим далее, смещение оценки часто можно устра-нить, введя соответствующую поправку.

Говорят также, что оценкаявляется асимптотически несмещенной, если приона сходится по вероятности к своему математическому ожиданию, т.е. для любого

Предположим, что имеются две несмещенные оценки

4

и для параметра. Если ди`исперсии

удовлетворяют условию

(1.3.2)

для любого фиксированного пи, то следует предпочесть оценку, поскольку разброс статистикиотносительно параметраменьше, чем разброс статистики

Определение. Если в некотором классе несмещенных оценок параметра, имеющих конечную дисперсию, существу-ет такая оценка, что неравенство (3.2) выполняется для всех оценокиз этого класса, то говорят, что оценка является эффективной в данном классе оценок.

Иными словами, дисперсия эффективной оценки параметра в некотором классе является минимальной среди дисперсий всех оценок из рассматриваемого класса несмещенных оценок.

Замечание 1.3.1.1. Эффективную оценку в классе всех несме-щенных оценок будем называть эффективной оценкой, не добавляя слов „в классе несмещенных оценок".

Замечание 1.3.1.2. В литературе по математической ста-тистике при рассмотрении параметрических моделей вместо термина «эффективная оценка» классе всех несмещенных оце-нок используют и другие: «несмещенная оценка с минимальной дисперсией», «оптимальная оценка». Теорема 1.3.1. Оценка

(выборочное среднее) математического ожидания

генеральной совокупности X с конечной дисперсией является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех ли-нейных оценок, т.е. оценок вида

где , для произвольнойпараметрической модели.

Напомним, что элементы случайной выборки

являются независимыми случайными величинами и распре-деленными так же, как и сама генеральная совокупность X. Следовательно,

1.4 Критерии согласия

Пусть (X1,..,Xn) - выборка с неизвестным законом распределения F(X). Рассмотрим гипотезы Н0: F(x)=F0(x) при конкурирующей Н1: F(x)F0(x). F0(x)- некоторая заданная функция распределения.

Задача проверки гипотез относительно законов распределения называется задачей проверки согласия, а критерий для этой задачи - -ритерием согласия.

Рассмотрим критерий согласия 2, или критерий Пирсона.

Разобьем ось х на т интервалов Если истинная функция распределения F(x) совпадает с F0(x), то при больших n

Рассмотрим случайную величину (ni - -лучайное)

при она стремится к 2 - -аспределению случайной величины с т-е-1 степенями свободы (е- число статистических параметров).

Решающее правило для уровня значимости :

При построении 2n должно выполняться условие ni10, в противном случае объединяют интервалы.

В случае применения гипотезы Н0 говорят, что различие между F(x) и F0(x) является случайным с доверительной вероятностью 1- и обусловлено конечностью выборки.

1.5 Теорема Чебышева

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание МХ и дисперсию DX, справедливо неравенство

где -- любое положительное число.

Доказательство. Доказательство проведём сначала для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x).

Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайная точка Х попадает за пределы участка (MX-; MX+), то есть

А: {X-MX}

MX - MX MX+

Вероятность попадания Х в этот участок равна

Найдём дисперсию случайной величины Х

Совершенно аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины, имеющей значения x1, x2, ... с вероятностями p1, p2, ... Тогда вместо интеграла во всех формулах ставится знак суммы, где суммирование ведётся по тем xi , для которых

xi-MX,

что и требовалось доказать.

Определение. Пусть имеется последовательность чисел

x1, x2, ... , xn , ...

Говорят, что эта последовательность сходится по вероятности к неслучайной величине а, если при неограниченном увеличении п вероятность события

{Хп-а< },

(где >0 - произвольное малое фиксированное число) стремится к единице, то есть

Иными словами, каковы бы ни были произвольно малые наперёд заданные числа >0 и >0 всегда существует N, такое, что при n>N

P{Xn-a<}>1-

Первая теорема Чебышева (Закон больших чисел). Пусть имеется случайная величина Х с медианой МХ и дисперсией DX. Над этой случайной величиной Х производится п независимых опытов, в результате которых она принимает значения Х1, Х2, ... , Хп (п “экземпляров” случайной величины Х). Пусть

Тогда последовательность сходится по вероятности к MX:

Доказательство. Найдём MYn и DYn :

Применим к случайной величине Yn неравенство Чебышева, в котором положим равным , где >0 -- сколь угодно малое, наперёд заданное число.

Как бы ни было мало , всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше сколь угодно малого положительного числа ; следовательно, при достаточно большом п

P{Yn-MX}<

P{Yn-MX<}>1-,

а это равносильно сходимости по вероятности Yn к MX

Замечание 1.5.1. Первую теорему Чебышева можно записать и иначе, если положить Zn:=Yn-MX

Замечание 1.5.2. Первая теорема Чебышева относится к случаю, когда случайные величины Х1, Х2, ... , Хп независимы и имеют одно и то же распределение, а значит одно и то же MX и DX.

Рассмотрим случай, когда условия производимых опытов меняются.

Вторая теорема Чебышева. Пусть имеется случайная величина Х. Над ней производятся независимые опыты, в результате чего мы получаем последовательность

Х1, Х2, ..., Хn, ...

с различными, в общем случае, MХi и DXi (i=). Пусть

Если DXiD i=1, 2, ... , где D - некоторое положительное число, то

Доказательство.

(1.5.1)

Согласно неравенства Чебышева

или, учитывая (1.5.1), имеем

Как бы ни было мало произвольное наперёд заданное , всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше произвольно малого . Следовательно

,

что и требовалось доказать.

Замечание 1.5.3. При формулировке второй теоремы Чебышева нельзя говорить, что

так как зависят от n, а понятие “сходимость по вероятности” определено нами только для постоянной а, не зависящей от n.

1.6 Понятие доверительного интервала

Будем считать, что независимая выборка взята из распределения, зависящего от скалярного параметра . Будем обозначать через распределение вероятностей, соответствующее значению неизвестного параметра.

Определение 1.6.1

-доверительным интервалом называется интервал вида где такой, что

Число называют доверительной вероятностью.

Другими словами, доверительный интервал обладает тем свойством, что, во-первых, его границы вычисляются исключительно по выборке (и, следовательно, не зависят от неизвестного параметра), и, во-вторых, он накрывает неизвестный параметр с вероятностью .

Значение доверительной вероятности выбирается заранее, этот выбор определяется конкретными практическими приложениями.
Смысл величины -- вероятность допустимой ошибки. Часто берут значения и т.п.

Ниже мы приводим один из методов построения доверительных интервалов. Он состоит из трех этапов.

1. Выбираем функцию , зависящую от выборки и от неизвестного параметра, такую, что ее функция распределения

не зависит от неизвестного параметра .

2. Выбираем два числа и таким образом, чтобы . Подбираем и , удовлетворяющие условиям

3. Таким образом,

причем и не зависят от .

4. Решим двойное неравенство относительно . В том случае, когда его решением является интервал, обозначим его левый и правый концы через и соответственно. Естественно, они зависят от выборки: , . В силу (6.2)

Следовательно, -- искомый -доверительный интервал.

Замечание 1.6.1

Описанная процедура, разумеется, не является универсальной. Во-первых, вопрос о выборе функции решается в каждом конкретном случае и по этому поводу нет общих рекомендаций. Во-вторых, совершенно не гарантировано, что решением неравенства в п. 3 будет интервал конечной длины. Вместе с тем, во многих важных случаях изложенный выше метод приводит к хорошим доверительным интервалам. Например, оправдано применение такого метода в случае, когда при каждой фиксированной выборке функция является строго монотонной и непрерывной по переменной .

Замечание 1.6.2

В силу неоднозначности выбора функции и чисел и , можно заключить, что -доверительный интервал неединственен.

1.7 Сравнение средних

Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезы равенства. Такую задачу сравнения двух генеральных средних при неравных генеральных дисперсиях принято называть проблемой Беренса-Фишера (по имени учёного У. Беренса опубликовавшего первую работу на эту тему в 1929 г.). В этом случае вместо одной общей генеральной дисперсии мы имеем дело с двумя неравными генеральными дисперсиями: у₁² ? у₂². Соответственно имеем и две выборочные дисперсии s₁² и s₂². Тогда искомая t-статистика будет вычисляться по следующему выражению [1.7.1]:

(1.7.1)

Введём обозначения: и= у₁² / у₂² , u = s₁² / s₂² и N= n₁/ n₂ . В этом случае выражение (1.7.1) можно переписать в следующем виде [(1.7.1)]:

(1.7.2).

Основная сложность этого случая заключается в том, что подкоренное выражение в знаменателе не имеет Хи-квадрат распределение, и потому статистика t не имеет распределения Стьюдента. В 40-60-е годы 20 века Бокс, Уэлч, Саттерзвайт, Кохрэн, Боно, Шеффе и многие другие статистики провели детальный анализ этой проблемы. Так в 1938 г. Уэлч исследовал приближённое распределение статистики (1.7.1) и показал, что при равных объёмах выборок n₁ = n₂ незнание величины и= у₁² / у₂² не очень сильно влияет на итоговый результат. Однако для случая неравных объёмов выборок ошибки становятся весьма значительными. Другие подходы позволяли аппроксимировать статистику (1.7.2) распределение Стьюдента с дробными степенями свободы.

1.8 Метод минимума X².

Метод минимума X² применим лишь и случае группированного непрерывною рас-пределения или дискретного распределения. Оценки, получаемые этим методом, при больших п асимптотически эквивалентны оценкам, полу-ченным с помощью более простого видоизмененного метода миниму-ма X², выражаемого уравнениями

(1.8.1)

или

(1.8.2)

в рассматриваемых случаях последний метод совладает с методом максимума правдоподобия.

Основная теорема о предельном распределении X² для случая, когда некоторые параметры оцениваются по выборке что оценки находятся с помощью видоизмененного метода минимума X². Однако там же было указано, что имеется целый класс методов нахождения оценок, приводящих к тому же самому пре-дельному распределению для X². Теперь мы докажем это утверждение.

Асимптотические выражения для оценок, получаемых с помощью видоизмененного метода минимума X² были приведены в явной форме

(1.8.3)

для общего случая у неизвестных параметров а₁,...,а_г. Предположим, что выполнены условия 1)--3) предыдущего параграфа или аналогичные условия для дискретного распределения. Тогда из предыдущего параграфа следует, что оценки (1.8.3)асимптотически нормальны (это уже было показано в параграфе 30.3) и асимптотически эффективны.

Во всех множествах асимптотически нормальных и асимптотически эффективных оценок для параметров имеются члены порядка n^-1/2 та-кие же, как и в (1.8.3). Однако из вывода предельного распреде-ления для у² следует, что это предельное распределение полностью определяется членами порядка n^-1/2 в (1.8.3). Действительно, по формулам и

получаем и показывает,что предельное распределение для .у = (, .... ) определяется именно указанными членами.

Таким образом, теорема о предельном распреде-лении величины X² справедлива для любого множества асимптоти-чески нормальных и асимптотически-эффективных оценок пара-метров.

1.9 Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий

Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если её возможные значения 0, 1, 2, ... , т, ... (бесконечное, но чёткое множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой:

Число называется параметром распределения.

Простейший поток событий - такая последовательность событий, происходящих в случайный момент времени.

Поток событий называется пуассоновским, если он удовлетворяет аксиомам простейшего потока событий:

При таких допущениях с большой степенью точности выполняются следующие условия:

Отсутствие последействия: вероятность того, что на произвольном временном промежутке (с точки зрения длины и расположения на временной оси) не зависит от того, что происходило в момент времени, предшествующему этому моменту.

Однородность потока: Вероятность того, что на некотором временном промежутке произойдет 0,1,2,…,n событий зависит только от его длины и не зависит от положення этого отрезка на временной оси.

Пусть t - длина временного промежутка, тогда: (t)= t+o(t), t0.

(t)=1- t+o(t), t0.

Математическое ожидание распределения Пуассона равно:

M=

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Вариант 23

Задача 1

На отрезок единичной длины наугад ставится точка. Вычислить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превышает величину .

Решить задачу при , .

Решение:

Пусть дан отрезок длины (Рис. 2.1). Расстояние от точки до концов отрезка превышает величину в том случае, если , где , .

Рис. 2.1

Пусть А - событие, когда . Тогда искомая вероятность .

Для заданных значений и .

Задача 2

В круг радиуса R наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, которые имеют площади и .

Решить задачу при , , .

Решение:

Поскольку фигуры не пересекаются, то площадь, в которую должна попасть точка, равна . Общая площадь, в которую может попасть точка, равна . Таким образом искомая вероятность . Для заданных значений , и .

Задача 3

Среди лотерейных билетов выигрышных. Наудачу взяли билетов. Определить вероятность того, что среди них не менее L выиграшных.

Решить задачу при , , ,.

Решение:

Число способов купить билетов, среди которых L выигрышных составляет .

Число способов купить билетов, среди которых L+1 выигрышных составляет , и так далее.

Число способов купить билетов, среди которых выигрышных составляет .

Таким образом, число способов купить билетов, среди которых не менее половины выигрышных составляет

++…+.

Общее число способов купить билетов из составляет .

Искомая вероятность .

Для заданных значений , и .

Задача 4

В лифт -этажного дома сели пассажиров (). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этажа. Определить вероятность того, что хотя бы двое вышли на одном этаже.

Решить задачу при , .

Решение:

Пусть - событие, когда все пассажиры вышли на разных этажах. Тогда вероятность искомого события .

Найдем . Количество способов всем пассажирам выйти на разных этажах составляет . Общее число способов выхода пассажиров на одном из -го этажа составляет . Тогда .

Искомая вероятность .

Для заданных значений , .

Задача 5

В двух партиях и процентов доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них одно доброкачественное и одно бракованное?

Решить задачу при и .

Решение:

Пусть - событие обнаружить доброкачественное изделие из -й партии. - событие обнаружить бракованное изделие из -й партии. Тогда искомая вероятность .

,

,

,

.

.

Для заданных значений , искомая вероятность .

Задача 6

Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком - р1, вторым - р2. Первый сделал n1, второй n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

р1 = 0,76; р2 = 0.39; n1 = 2; n2 = 3.

Решение:

Пусть событие А - цель не поражена. Вероятность того, что первый стрелок не попадет в цель при одном выстреле равна (1 - р1). Вероятность того, что первый стрелок не попадет при n1 выстрелах равна (1 - р1)ⁿ¹, вероятность того, что второй стрелок не попадет в цель при n2 выстрелах равна (1 - р2)ⁿ². Получим

Р(А) = (1 - р1)ⁿ¹ (1 - р2)ⁿ² =

= 0,24²*0,61³= 0,013.

Ответ: 0,013.

Задача 7

Урна содержит М занумерованных шаров от 1 до М. Шары извлекаются по одному без возвращения. Событие B - хотя бы 1 раз совпадет номер шара и порядковый номер извлечения. Определить вероятность события С. Найти предельное значение вероятности при М .

М = 10.

Решение:

Количество совпадений одного номера шара и порядкового номера извлечения равно ; количество совпадений двух номеров - ; трех номеров - ; … ; М номеров - . Общее количество способов извлечения М шаров равно . Таким образом получаем вероятность события С:

.

Для М = 10 получим

Найдем предельное значение вероятности:

0

Задача 8

Дана плотность распределения р(х) случайной величины . Найти

a) параметр ;

b) функцию распределения случайной величины;

c) вероятность выполнения неравенства .

, .

Решение:

a) найдем значение параметра из

b) .

c)

Задача 9

Случайная величина имеет плотность распределения . Найти плотность распределения вероятностей случайной величины

= ,

Решение:

Найдем по формуле

= .

Найдем

=

Ответ: =

ия номера шара и порядкового номера извлечения при одном выстреле равна 1 - р1`````````````````````````````````````````

ВЫВОДЫ

Корреляция и корреляционные моменты являются достаточно важными понятиями, имеющими применение как в теории вероятностей и ее приложениях, так и в математической статистике.

Многие задачи практики решаются с помощью вычисления коэффициента корреляции или корреляционных моментов. Корреляционный момент - характеристика системы случайных величин, описывающая рассеивания случайных величин и связь между ними. Степень зависимости случайных величин удобнее характеризовать посредством безразмерной величины - коэффициента корреляции.

Обработка статистических данных уже давно применяется в самых разнообразных видах человеческой деятельности. Основными задачами корреляционного анализа являются оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе корреляционной связи. Корреляционный анализ считается одним из главных методов в маркетинге, наряду с оптимизационными расчетами, а также математическим и графическим моделированием.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая

статистика., М.: Наука, 1979.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей.-М.:Наука, 1969.

В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский. Теория

вероятностей и математическая сатистика. М., 1991.

«Теория Статистики» под редакцией Р.А. Шмойловой/ «ФиС», 1998.

А.А. Френкель, Е.В. Адамова «Корреляционно регрессионный анализ в экономических приложениях»/ М., 1987.

И.Д.Одинцов «Теория статистики»/ М., 1998.