КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу «Основы преподавания математики»

на тему : «Методология изучения темы «Признаки равенства треугольников»»

Кировоград

2003

СОДЕРЖАНИЕ

I. Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников».….3

II. Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»

УРОК 1. Тема урока «Треугольник. Виды треугольников»…………………….…..8

УРОК 2. Тема урока: «Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников» ……………………………………………………………………….11

УРОК 3. Тема урока: «Построение треугольников. Равенство треугольников» ..15

УРОК 4. Тема урока: «Признаки равенства треугольников» ..................................18

УРОК 5. Тема урока: “Решение прикладных задач» ................................................22

УРОК 6. Обобщающий урок по теме «Признаки равенства треугольников»……26

Приложения к урокам………………………………………………………………...30

Перечень использованной литературы……………………………………………...33

32

I. Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников»

Признаки равенства треугольников

Первый признак

Второй признак

Третий признак

Справочная таблица.

Теорема 1 (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть у треугольников АВС и А₁В₁С₁ А = А₁, АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁. Докажем, что треугольники равны, т.е. докажем, что у них и В=В₁, С=С₁, ВС=В₁С₁.

По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А₁В₂С₂, равный треугольнику АВС, у которого вершина В₂ лежит на луче А₁В₁, а вершина С₂ лежит одной полуплоскости с вершиной С₁ относи-тельно прямой А₁В₁. Так как А₁В₁=А₁В₂, то по аксиоме откладывания отрезков точка В₂ совпадает с точкой В₁. Так как В₁А₁С₁=В₂А₁С₂, то по аксиоме откладывания углов луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁. И так как А₁С₁=А₁С₂, то вершина С₂ совпадает вершиной С₁. Итак, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником А₁В₂С₂, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.

Теорема 2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть АВС и А₁В₁С₁ - два треугольника, у которых А = А₁, В=В₁, АВ=А₁В₁. Докажем, то треугольники равны, т.е. докажем, что АС=А₁С₁, С=С₁, ВС=В₁С₁. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А₁В₂С₂ равный треугольнику АВС, у которого вершина В₂ лежит на луче А₁В₁, а вершина С₂ лежит в одной полуплоскости вершиной С₁ относительно прямой А₁В₁. Так как А₁В₂=А₁В₁, то вершина В₂ совпадает с вершиной В₁. Так как В₁А₁С₂=В₁А₁С₁ и А₁В₁С₂=А₁В₁С₁, то по аксиоме откладывания углов луч А₁С₁ совпадает с лучом А₁С₂, а луч В₁С₁ совпадает с лучом В₁С₂. Отсюда следует, что вершина С₂ совпадает вершиной С₁. Итак, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником А₁В₂С₂, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство.

Пусть АВС - равнобедренный треугольник с основанием АВ. Докажем, что у него А=В. Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Действительно, СА=В, СВ=СА, С=С. Из равенства треугольников следует, что А=В. Теорема доказана.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Теорема 4. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство.

Пусть АВС - треугольник, в котором А=В. Докажем, что он равнобедренный с основанием АВ. Треугольник АВС равен треугольнику ВАС по второму признаку равенства треугольников. Действительно, АВ=ВА, В=А, А=В. Из равентва треугольников следует, что АС=ВС. Теорема доказана.

Теорема 4 называется обратной теореме 3. Заключение теоремы 3 является условием теоремы 4. А условие теоремы 3 является заключением теоремы 4.

Определение. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.

Определение. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Определение. Мединой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

Теорема 5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство.

Пусть АВС - данный равнобедренный треугольник с основанием АВ. Пусть СК - медиана, проведенная к основанию. Треугольники САД и СВД равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС равнобедренный. Углы САК и СВК равны по теореме 3. Стороны АК и ВК равны, потому что К - середина отрезка АВ.) Из равенства треугольников следует равенство углов: АСК=ВСК, АКС=ВКС. Так как углы АКС и ВКС равны, то СК - биссектриса. Так как углы АКС и ВКС смежные и равны, то они прямые, поэтому СК - высота треугольника. Теорема доказана.

Теорема 6 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть АВС и А₁В₁С₁ два треугольника, у которых АВ=А₁В₁, АС=А₁С_1, ВС=В₁С₁. Докажем, что эти треугольники равны. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А₁В₁С₂, равный треугольнику АВС, у которого вершина С₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной С₁ относительно прямой А₁В₁. Допустим, что вершина С₁ не лежит ни на луче А₁С₁, ни на луче В₁С₁. Пусть К - середина отрезка С₁С₂. Треугольники А₁С₁С₂ и В₁С₁С₂ - равнобедренные с общим основанием С₁С₂. По теореме 5 их медианы А₁К и В₁К являются высотами. Значит, прямые А₁К и В₁К перпендикулярны прямой С₁С₂. Но это невозможно, так как через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С₂ лежит либо на луче А₁С₁, либо на луче В₁С₁. В первом случае точка С₂ совпадает с С₁, так как А₁С₁=АС. А это значит, что треугольник АВС равен треугольнику А₁В₁С₁. Точно так же приходим к выводу о равенстве треугольников во втором случае. Теорема доказана.

II. Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»

УРОК 1

Тема урока: «Треугольник. Виды треугольников»

Цели урока:

· развить представление о многоугольнике;

· вывести понятие треугольника и его элементов, познакомиться с классификацией треугольников по сторонам и углам;

Из опыта практической деятельности получить вывод о сумме углов треугольника.

Оборудование: слайды для кодоскопа; модели треугольников разных видов; модели тетраэдра; печатные карточки.

Ход урока

I. Урок начинается с беседы учителя.

· Среди множества различных фигур на плоскости выделяется большое семейство многоугольников. Слово «многоугольник» указывает на то, что у всех фигур из этого семейства «много углов». Для определения многоугольника важно указать, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекают друг друга.

· Какая из фигур, изображенных на рисунке 1, является многоугольником?

Рис. 1

· Чем отличаются многоугольники 2 и 3 на рисунке 1?

· Каким наименьшим числом можно заменить «много» в слове «многоугольник»? [Числом 3.]

Значит, самым простым многоугольником является треугольник. Знакомый всем нам с детства треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.

II. На экране изображен треугольник ABC (рис. 2). (Вводятся названия основных его элементов и делается запись в тетрадях.)

ABC: A, B, C - вершины;
AB, BC, CA - стороны;
A, B, C - углы.

Рис. 2

Задание. Измерьте углы ABC и вычислите их сумму. (Большинство учащихся получают результат, равный 180°.)

Вывод: сумма градусных мер углов треугольника равна 180°.

Задачи

1. В треугольнике один из углов равен 65°, а другой 80°. Чему равен третий угол этого треугольника?

2. В треугольнике ABC градусная мера угла B равна 40°, а градусная мера угла A в три раза больше. Найдите градусную меру угла C.

III. Физкультурная пауза

IV. Продолжим знакомство с треугольниками. (Учитель обращает внимание на модели треугольников, размещенные на магнитной доске.)

· Все большое семейство треугольников можно разделить на группы в зависимости от сторон и углов. (По ходу введения видов треугольников заполняется таблица (рис. 3) в тетради.)

Рис. 3

· На карточках, имеющихся на каждом столе, изображены различные треугольники (рис. 4). Определите на глаз вид каждого треугольника.

Рис. 4

Задача. Из шести одинаковых палочек сложите четыре равных треугольника.

[Тетраэдр.]

Демонстрируются: каркасная модель тетраэдра, модели пирамид, октаэдра.

V. Задание на дом

1. Составьте рисунки из геометрических фигур (преимущественно из треугольников), узоры из треугольников.

УРОК 2

Тема урока: «Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников»

Цели урока:

· развить представление о треугольниках;

· изучить терминологию, связанную с понятиями равнобедренного и равностороннего треугольников;

· открыть неизвестные ранее свойства равнобедренного и равностороннего треугольников;

· продолжить построение треугольников с заданными свойствами на нелинованной бумаге;

· учить детей анализу задач на построение.

Оборудование: схема-классификация треугольников; выставка рисунков учащихся (на предыдущем уроке было задано домашнее задание - выполнить рисунки с использованием изображения треугольника); слайды с изображениями треугольников.

Ход урока

I. Организационный момент

Проверка готовности к уроку (наличие чертежных инструментов, нелинованной бумаги).

II. Два ученика получают задания и выполняют их на доске.

1. Начертите прямоугольный треугольник так, чтобы стороны, образующие прямой угол, были равны 3 дм и 5 дм.

2. В треугольнике ABC градусная мера угла A равна 58°, а угла B равна 49°. Вычислите градусную меру угла C.

Четыре ученика получают карточки с заданием и выполняют работу на нелинованной бумаге.

1) Начертите прямоугольный треугольник так, чтобы стороны, образующие прямой угол, были равны 3 см и 5 см.

2) Взяли проволоку длиной 17 см и из нее сделали треугольник, две стороны которого равны 5 см и 6 см. Каков вид этого треугольника?

С остальными учениками проводится фронтальный опрос.

1. Назовите треугольники, изображенные на доске (рис. 5).

2. Назовите вершины MKN.

3. Назовите стороны PST.

4. Назовите углы ABC.

[ ABC, BCA, BAC.]

5. Может ли быть треугольник с двумя прямыми углами? С двумя тупыми углами? Ответ обоснуйте.

6. Существует ли треугольник, все углы которого больше 70°? Меньше 50°?

Рис. 5

7. По схеме (рис. 6) повторяются виды треугольников.

Рис. 6

8. Определите «на глаз» вид каждого из треугольников, изображенных на слайдах (рис. 7).

Рис. 7

III. Ученики, работающие по карточкам, сдают выполненное задание. Те, кто работал у доски, рассказывают, как выполняли задание. Дополнительные вопросы им задают ученики.

IV. Итак, на предыдущем уроке мы познакомились с треугольником и изучили их виды.

· Как же построить равнобедренный треугольник с помощью циркуля и линейки?

· Ученики предлагают провести произвольный отрезок, затем из концов отрезка как из центров, не меняя раствора циркуля, провести дуги до пересечения. Точку пересечения соединить с концами отрезка.

· Почему вы уверены, что получился равнобедренный треугольник?

(Взяли раствор циркуля, не равный построенному отрезку и провели дуги равных окружностей. Точка их пересечения находится на равном расстоянии от концов отрезка.)

· Вводится название сторон: основание, боковые стороны (рис. 8).

ABC: AB = BC, A = C.

Рис. 8

· Измерьте углы при вершинах A и C.

Большинство учеников получают равные градусные меры, и учитель сообщает, что именно таким образом в Древней Греции практическим путем установили, что «углы при основании» равны. И лишь много лет спустя это было доказано.

V. Физкультурная пауза

(Ученики повторяют за учителем все движения.)

VI. Продолжаем работу.

· Соедините вершину B с серединой противоположной стороны. Измерьте углы BMC и BMA. Что вы получили?

Ученики делают вывод: BMC = BMA = 90° и дополняют рисунок. Используя модель равнобедренного треугольника, учитель перегибает модель по отрезку BM. Ученики замечают, что треугольники ABM и BMC при наложении совпали, и делают вывод: ABM = BMC.

VII. Задание на дом

1. Постройте равнобедренный треугольник.
2. Измерьте все его углы. Сделайте вывод.
3. Проведите отрезки, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон. Что вы заметили?

УРОК 3

Тема урока: «Построение треугольников. Равенство треугольников»

Цели урока:

· научить учеников строить треугольник, равный данному, используя циркуль и линейку;

· из опыта практической деятельности учащиеся должны понять, что треугольники равны по трем элементам; каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.

Оборудование: у каждого ученика набор чертежных инструментов, цветная бумага, ножницы.

Ход урока

I. Работа с классом

На доске изображены фигуры.

Задания

1. На рисунке 9 проведите прямую так, чтобы она разбила четырехугольник на два треугольника. Определите «на глаз» вид получившихся треугольников.

Рис. 9

2. Проведите прямую так, чтобы она разбила четырехугольник (рис. 10) на треугольник и четырехугольник, а на рисунке 11 - на треугольник и пятиугольник.

3. Проволоку длиной 15 см согнули так, что получился разносторонний треугольник. Чему равен периметр этого треугольника?

4. Основание равнобедренного треугольника равно 4 см, а боковые стороны вдвое больше основания. Найдите периметр треугольника.

5. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 64°. Найдите два других угла этого треугольника.

II. Работа в группах из четырех человек

(Задание для каждой группы с разными данными.)

· Постройте треугольник ABC, если:

1) AB = 5 см, AC = 8 см, Р BAC = 50°;
2) CA = 4 см, CB = 6 см, Р ABC = 120°;
3) AB = 7 см, Р CAB = 60°, Р CBA = 30°;
4) OP = 4 см, Р KOP = 20°, Р OPK = 70°;
5) KL = 4 см, LM = 3 см, MK = 2,5 см;
6) AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 5 см.

Три группы из шести групп рассказывают, как проводили построение.

· Вырежьте получившийся треугольник. Сравните его с треугольниками, построенными учениками из своей группы.

В каждой группе получили равные треугольники. Казалось бы, ничего удивительного нет, данные были одинаковы, но ...

III. Общее задание

· Постройте треугольник, в котором A = 30°, B = 60°, C = 90°.

· Что вы замечаете? Какой вывод можно сделать? (У всех разные треугольники.)

IV. Работа в группах

(Задание одинаково для пар групп.)

· Постройте треугольники, у которых стороны равны:

1) 6 см, 2 см, 3 см;
2) 6 см, 2 см, 4 см;
3) 6 см, 2 см, 7 см.

В ходе построений и рассуждений ученики приходят к выводу, что у треугольника каждая сторона меньше суммы двух других сторон, в противном случае треугольник построить невозможно.

V. Минутка отдыха

· Передайте свое настроение с помощью изображения треугольника.

Кто-то раскрашивает треугольник в разные цвета, кто-то составляет фигурки из треугольников, кто-то изображает рожицы, проявляя выдумку и фантазию (рис. 12, 13).

VI. Проверочная работа

Вариант 1

1. Постройте равнобедренный тупоугольный треугольник.
2. В треугольнике DCE D = 24°, C = 58°. Найдите E.
3. Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а боковые стороны в три раза больше. Найдите периметр треугольника.
4. Постройте треугольник, в котором AB = 4 см, BAC = 35°, CBA = 80°.

Вариант 2

1. Постройте равнобедренный остроугольный треугольник.
2. В треугольнике MNL M = 64°, N = 57°. Найдите L.
3. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а боковые стороны в три раза больше. Найдите периметр треугольника.
4. Постройте треугольник, в котором AB = 4 см, AC = 3 см, BAC = 60°.

VII. Задание на дом .

УРОК 4

Тема урока: «Признаки равенства треугольников»

Цели урока:

· систематизировать теоретические знания по теме, закрепить умения и навыки использования теоретических знаний к решению задач;

· развить творческий подход и интерес к обучению.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Три ученика около доски записывают опорный конспект:

1) три признака равенства треугольников; 2) равнобедренный треугольник и его свойства; 3) признаки равенства прямоугольных треугольников.

В это время учитель проводит фронтальный опрос класса.

1. Сформулируйте 1 признак равенства треугольников.

2. Сформулируйте 2 признак равенства треугольников.

3. Какой треугольник называется равнобедренным?

4. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.

5. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника.

6. Чем отличается признак геометрической фигуры от ее свойства?

7. Сформулируйте 3 признак равенства треугольников.

8. Какой треугольник называется равносторонним?

9. Что считается признаком, что - свойством равностороннего -ка?

10. К каждой ли теореме существует обратная?

11. Приведите пример теоремы, к которой не существует обратной.

12. Приведите пример теоремы, к которой существует обратная.

13. Как строится обратная теорема?

14. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

После фронтального опроса учитель проводит беседу по опорным конспектам на доске. Если необходимо, то ученики класса дополняют и исправляют записи на доске.

ІІ. Решение задач.

Два ученика около доски решают задачи по готовым рисункам, которые выполнены учителем до урока. Если необходимо, то ученики класса дополняют и исправляют записи на доске.

Задачи по готовым рисункам

1. Дано: АВС, BD=CD, BM=CM, DBM=40⁰,ADB=80⁰. Найти: BDM, MDC, DMC, MCD.

Ответ: BDM=MDC=50⁰, DMC=90⁰, MCD=40⁰.

2. AOM=FOE, периметр OEF=40 см , AF=20 см. Найти: периметр AEF.

Ответ: 60 см.

III. Физкультурная пауза

(Ученики повторяют за учителем все движения.)

IV. Устная работа.

Учитель с учениками устно решает задачи по готовым рисункам, изображенным на плакатах. Ученики должны найти на рисунках равные треугольники и объяснить равенство, назвав соответственный признак равенства треугольников.

Задачи для устного решения.

ІV. Домашнее задание.

УРОК 5

Тема урока: “Решение прикладных задач»

Цель урока:

· рассмотреть жизненные и прикладные задачи, на которых можно продемонстрировать важную роль признаков равенства треугольников в жизни, научить учеников творчески применять признаки равенства треугольников во время решения задач.