1
Комплексные числа, их прошлое и настоящее.
Содержание.
I. Введение.
II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.
III. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.
1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
3. Операция сопряжения и ее свойства.
4. Извлечение корней.
5. Геометрический смысл алгебраических операций.
IV. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
1. Формула Кердано.
2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.
V. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.
VI. Заключение.
VII. Литература.
I. Введение.
Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ними вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в школьной программе. В общем виде в средней школе изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.
Именно, если дано:
(?) Линейное уравнение ax+b=0, где а?0, то x=-b/a - единственный корень;
(?) Квадратное уравнение ax+bx+c=0, где a,b,c - действительные числа, a?0, то x=-b±vb•b-4ac/2a; при этом число корней зависит от величины D = b2 - 4ac, называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:
При D>0 - два действительных корня, D=0 - один двукратный корень (или, что то же, два совпадающих корня), D<0 - нет действительных корней.
Из уравнений более высоких степеней в школьном курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы - трехчленные (например, биквадратные), симметрические, … Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны), в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел.
Цель данного реферата состоит в том, чтобы ознакомить учащихся средних школ с важнейшим и новым для них математическим понятием - понятием комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении кубичных уравнений.
II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.
Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени, а позднее, и уравнений 2-ой степени. Некоторые итальянские математики того времени (- Сципион дель Ферро, Николо Тарталья, Джироломо Кардано, Рафаэль Бомбелли) ввели в рассмотрение символ v-1 как формальное решение уравнения х2+1=0, а также выражение более общего вида (а+b•v-1) для записи решения уравнения (х-а)2+b2=0. Впоследствии выражения вида (а+b•v-1) стали называть «мнимыми», а затем «комплексными» числами и записывать их в виде (а+bi) (символ i для обозначения v-1 ввел Леонард Эйлер в XVIII в.). Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай D < 0), а также уравнения 3-ей и 4-ой степени.
МатематикиXVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIXвека относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано)… Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а v-1 считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).
Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения n-ой степени, т.е. уравнения вида a0•xn+a1•xn-1+…+an-1•x+an=0. Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел - действительных или комплексных - следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их не больше, чем n. А если считать допустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопрос получается исчерпывающий: любое алгебраическое уравнение степени n (n?1) имеет ровно n корней (действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз, какова его кратность (а это - число совпадающих с ним корней). При n?5 общее алгебраическое уравнение степени n неразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральной степени.
После того как в XIX в появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых», или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики - теорию функций комплексного переменного (ТФКП).
III/ Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.
1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.
Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа - это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2, y1+y2); (1)
(x1,y1)•(x2,y2)=(x1•x2 - yiy2, xiy2 + x2y1). (2)
Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real - действительный, imanginerum - мнимый).
Два комплексных числа z1=(x1,y1) и z2=(x2,y2) называются равными только в том случае, когда x1=x2 и y1=y2. Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0). (3)
Числа вида (х,0) отождествляются с действительными числами х, т.е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т.е. (0,1)=i, причем i2=-1, равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).
Операции сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:
а) z1+z2=z2+z1 (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)
б) z1z2=z2z1
в) z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 (сочетательный закон или ассоциативность)
г) z1(z2z3)=(z1z2)z3
д) (z1+z2)z3=z1z3+z2z3 (распределительный закон или дистрибутивность)
Вычитание и деление комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 определяют, причем однозначно, их разность z1-z2 и частное z1/z2 как решения соответствующих уравнений z+z2=z1 и zz2=z1 (при z2?0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z1 на z2 вычисляются по формулам:
z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2), (4)
z1/z2=(x1x2+y1y2)/(x22+y22) + i((y1x2-x1y2)/(x22+y22)) (5)
Данное определение можно выразить в других терминах, а именно, вычитание - как действие, обратное сложению: z=z1+(-z2), где число (-z2) называется противоположным z2; деление - как действие, обратное умножению: z=z1(z2-1), где z2-1 - число, обратное для z2 (z2?0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:
- множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных);
- комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i2=-1.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).
Если на плоскости введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х,у) с абсциссой «х» и ординатой «у», а также радиус - вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х,у) (или радиус - вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось 0у - мнимой осью.
Число r=vx2+y2-, равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.
Угол ?=(0М,?0х) между положительным направлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy ?0, называется его аргументом.
Из определения видно, что каждое комплексное число (?0), имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2? и обозначаются единым символом Argz (для числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).
Каждое значение аргумента совпадает с величиной ? некоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0ч) до совпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом ? > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и ? <0 в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy ?0 есть всякое решение ? системы уравнений cos?=x/vx2+y2; sin?=y/vx2+y2.
Значение Argz при условии 0?Argz<2? называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значения, т.е. значение, выделяемое неравенством -?<???.
Между алгебраическими х, у и геометрическими r, ? характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами x=rcos?, y=rsin?, следовательно, z=x+iy=r(cos?+isin?). Последнее выражение, т.е. z= r(cos?+isin?) (6) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z?0 может быть представлено в тригонометрической форме.
Для практики число вида (cos?+isin?) удобнее записывать короче, с помощью символа ei?=cos?+isin? (7). Доказанное для любых чисел ? (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме z=rei? (8)
3. Операция сопряжения и ее свойства.
Для данного комплексного числа z=x+iy число x-iy (отличающееся от z лишь знаком при мнимой части) называется сопряженным и обозначается символом z. Переход от числа z к числу z называется сопряжением, а сами эти числа сопряженными (друг к другу), т.к. (z)=z. Из определения следует, что только действительное число сопряжено самому себе. Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси (рис.2).
Отсюда следует, что |z|=|z|, argz=-argz. Кроме того,
z+z=2x=2Rez;
z-z=2iy=2iImz;
zz=x2+y2=|z|2,
а также: z1+z2=z1+z2; z1z2=z1z2; (z1/z2)=z1/z2; P(z)=P(z), где Р (z) - любой многочлен с действительными коэффициентами; (P(z)/Q(z))=(P(z)/Q(z)), где P и Q - многочлены с действительными коэффициентами.
4. Извлечение корней.
Извлечение корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения zn=a для нахождения z. В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения, которые можно найти по формуле:
va=v?+i?=±((v|a|+?)/2 ± i(v|a|-?)/2)), где знак «+» в скобках берется при ?>0, «-» - при ?<0.
5. Геометрический смысл алгебраических операций.
Пусть даны два комплексных числа z1 и z2. В результате сложения этих чисел получается число z3, изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z1+z2=0A+0B=0C=z3.
Рис.3
Разность (z1-z2) данных чисел, соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора 0А, изображающего число z1 и вектора 0D=--0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z1-z2=z1+(-z2)=0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z1-z2) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.
Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.
Умножение. Пусть даны два комплексных числа z1=r1(cos?1+isin?1) и z2=r2(cos?2+isin?2). Перемножая их получим z1z2=r1r2(cos(?1+?2)+isin(?1+?2)). Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.
Деление. Если требуется разделить z1 на z2, то выполняем следующие преобразования: z1/z2=(z1z2)/(z2z2)=(r1(cos?1+isin?1)r2(cos?2-isin?2))/ (r2(cos?2+isin?2)r2(cos?2-isin?2))=(r1/r2)(cos(?1-?2)+isin(?1-?2)), т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Возведение в степень. Умножая число z=r(cos?+isin?) само на себя «n» раз, получаем согласно правилу умножения zn=rn(cos?+isin?)n=rn(cosn?+isinn?). Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводимся его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимаем вид (cos?+isin?)n= cosn?+isinn? (9). Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).
Извлечение корня. Пусть а=rei?, z=?ei?. Решаем уравнение zn=a для вычисления nva: ?nein?=rei?. Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое кратное числу 2?, получаем: ?n=r, n?-?=2?K, или ?=nvr; ?K+1=(?+2?K)/n (причем К=0,1,2…n-1). Таким образом, zk=nvr(cos?+isin?)=nvr((cos?+2K?)/n+isin(?+2K?)/n)) (10), где nvr , - арифметический корень, а К=0,1,2,…,n-1; т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет “n” различных значений zk (исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).
Заметим также, что разность между аргументами соседних чисел zk+1 и zk постоянна и равна 2?/n: ?k+1-?k=(?+2?(K+1))/n-(?+2?K)/n=2?/n. Отсюда следует, что все значения nva располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольника с центром в начале координат.
IV. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
1. Формула Кардано.
Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: x3+ax2+bx+c=0 (11).
(общее уравнение 3-ей степени сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). С помощью замены x=y-a/3 это уравнение примет вид y3+py+q=0 (11), где p и q - новые коэффициенты, зависящие от a,b,c. Пусть у0 - какой либо корень уравнения (11). Представим его в виде у0=?+?, где ? и ? - неизвестные пока числа, и подставим в уравнение. Получим ?3+?3+( ?+?)(3??+p)+q=0 (12). Выберем теперь ? и ? так, чтобы 3??+р=0. Такой выбор чисел ? и ? возможен, т.к. они (вообще говоря комплексные) удовлетворяют системе уравнений
?+?=у0;
??=-р/3, а значит, существуют.
При этих условиях уравнение (12) примет вид ?3+?3+q=0, а т.к. еще ?3?3=-р3/27, то получаем систему
?3+?3=-q;
?3?3=-р3/27,
из которой по теореме Виета следует, что ?3 и ?3 являются корнями уравнения t2+qt-p3/27=0. Отсюда находим: ?3=-q/2+vq2/4+p3/27; ?3=-q/2-vq2/4+p3/27, где vq2/4+p3/27 означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11) выражаются формулой D=(q/2)2+(p/3)3.
y1.2.3=nv-q/2+vq2/4+p3/27+3v-q/2-vq2/4+p3/27, причем для каждого из трех значение первого корня 3v? соответствующие значения второго корня 3v? нужно брать так, чтобы было выполнено условие ??=-р/3. Полученная формула называется формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=3v?+3v?, где ?=-q/2+vq2/4+p3/27; ?=-q/2-vq2/4+p3/27. Подставив в нее вместо р и q их выражения через a,b,c и вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).
2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.
Рассмотрим приведенное уравнение 4-ой степени x4+ax3+bx2+cx+d=0 (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у4+ру2+qy+r=0 (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y2+p/2)2+qy+(r-p2/4)=0, а затем, введя произвольное пока число ?, представим его левую часть в равносильной форме (y2+p/2+?)2-[2?(y2+p/2)+?2-qy+p2/4-r]=0 (15)
Выберем теперь число ? так, чтобы выражение в квадратных скобках 2?y2-qy+(?p+?2+p2/4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы q2-8?(?p+?2+p2/4-r)=0, или 8?3+8p?2+8?(p2/4-r)-q2=0. Таким образом, для нахождения ? получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «?» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».
V. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.
1. Вычислить: ii2i3…i10=?
Решение: ii2i3…i10=i1+2+…+10=i11•10/2=i55=ii54=i(i2)27=i(-1)27=-i.
2. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, б)Argz; в) |z1-z2|, г) Arg(z1/z2)?
Ответ: а) расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число z;
б) угол, на который нужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М, изображающего комплексное число z;
в) |z1-z2|- расстояние между точками z1 и z2, изображающими комплексные числа z1 и z2;
г) Arg(z1/z2) - угол между изображающими векторами 0z1 и 0z2.
3. Доказать, что cos3?=cos3?-3sin2?cos?; sin3?=3cos2?sin?-sin3?.
Доказательство: по формуле Муавра имеем: cos3?+isin3?=(cos?+isin?)3=(cos3?-3cos?sin2?)+(3cos2?sin?-sin3?) , приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3?=cos3?-3sin2?cos?, sin3?=3cos2?sin?- sin3?.
4. Найти действительные решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.
Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i
3x-5y=4
x+2y=16 x=8; y=4.
Ответ: z=8+4i.
5. Доказать тождество |z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2) и вычислить его геометрический смысл.
Доказательство: |z1+z2|2+|z1-z2|2= (z1+z2)( z1+z2)+( z1-z2)( z1-z2)= (z1+z2)( z1+z2)+ +( z1-z2)( z1-z2)=2 z1 z1+2 z2 z2=2(|z1|2+|z2|2).
Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.
6. Найти геометрическое место точек:
а) |z-z0|=R; б) z=z0+Reit (0?t<2?)
Ответ: Окружность радиуса R с центром в z0.
в) |z-3i|=|z+2|;
г) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;
д) |z|?R
?/4?argz?5?/4
Решение:
в) точка z должна быть удалена на такое же расстояние от точки z1=-2, как и от точки z2=3i, т.е. должна находиться на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ. Следовательно, искомое геометрическое место точек - это прямая, проходящая через точку С (хс;ус), где хс=(-2+0)/2=-1; ус=(3+0)/2=3/2, перпендикулярная отрезку АВ.
г) Рассматривая попарно направленные равенства |z+i|=|z-3| и |z-3|=|z-1-i|, приходим к заключению, что искомое множество точек - это множество точек пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к отрезкам АВ и ВС (а также и к АС).
д) Верхний полукруг, ограниченный лучами argz=?/4 и argz=5?/4 и окружностью |z|=R, не содержащий (•) z=0.
7. Доказать тождество:
(2x-z)2+(2x-z)2=2Re(z2).
Доказательство:
1) (2x-z)2+(2x-z)2= 4x2-4xz+z2+4x2-4xz+z2=8x2-4x(z+z)+z2+z2=8x2-4x2x+(z+z)2-
-2zz=(2x)2-2|z|2=4x2-2(x2+y2)=2(x2+y2)=2Re(z2).
2) 2Re(z2)=2Re(x+iy)2=2Re(x2-y2+2ixy)=2(x2-y2).
8. Решить систему уравнений
(3-i)z1-(4+2i)z2=1+3i;
(4+2i)z1+(2+3i)z2=7.
Решение: Применим правило Крамера:
?= (3-i)-(4+2i) =(2+3i)(3-i)+(4+2i)2 =21+23i
(4+2i)+(2+3i)
?z1= (1+3i)-(4+2i) =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i
7 (2+3i)
?z2= (3-i) (1+3i) =21-7i-4-2i-12i+6 =23-21i
(4+2i) 7
Z1= 21+23i =1; z2= 23-21i =-i(21+23i) =-i
21+23i 21+23i 21+23i
Ответ: z1=1; z2=-i.
9. Доказать, что (а2+1)(b2+1)(c2+1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c - целые числа).
Доказательство: заметим, что а2+1=|a+i|2, тогда имеем: (а2+1)(b2+1)(c2+1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))2+(ab+bc+ca-1)2.
10. Найти суммы:
С=cos?+cos2?+…+cosn?; S=sin?+sin2?+…+sinn?.
Решение: найдем сумму ?=с+iS=(ei?+e2i?+…+ein?) и выделим действительную и мнимую ее части, т.е. С=Re?; S=Im?. Последовательно имеем: ei?+e2i?+…+ein?= ei?((1- ein?)/(1- ei?))= (ei?(1- ein?) (1- e-i?))/( (1- ei?) (1- e-i?))= =(ei?-1- ei?(n+1)+ ein?)/|1- ei?|2.
Поскольку |1- ei?|2=|(1-cos?)-isin?|2=(1-cos?)2+sin2?=4sin2(?/2);
Re(ei?-1- ei?(n+1)+ ein?)= cos?-1-cos(n+1)?+cosn?= =- 2sin2(?/2)+2sin(?/2)sin(n?+?/2)= 2sin(?/2)2sin(n?/2)cos((n+1)?)/2 и Im(ei?-1- ei?(n+1)+ ein?)=sin?-sin(n+1)?+sinn?=2sin(?/2)(cos(?/2)-cos(n?+?/2))= =2sin(?/2)2sin(n?/2)sin(((n+1)?)/2), то С=(4sin(?/2)sin(n?/2)cos(((n+1)?)/2))/(4sin2(?/2)) = =[sin(n?/2) cos(((n+1)?)/2))]/ sin(?/2);
S=(4sin(?/2)sin(n?/2)cos(((n+1)?)/2))/(4sin2(?/2)) = =[sin(n?/2) cos(((n+1)?)/2))]/ sin(?/2)
11. Найти сумму 1+e?cos?+e2?cos2?+…+en?cosn?.
Решение: Рассмотрим функцию
S(x)=1+excosx+e2xcos2x+…+enxcosnx и найдем ее значение при х=?.
В свою очередь, при нахождении суммы S(x) перейдем к комплексным числам:
?(z)=1+ex+ix+e2x+i2x+…+enx+inx= 1+ex(1+i)+e2x(1+i)+…+enx(1+i)=(1-( ex(1+i))n+1)/(1- ex(1+i))= =1-ex(n+1)(1+i)/(1-ex(1+i))=((1-ex(n+1)(1+i))(1-ex(1-i))/((1-ex(1+i))(1-ex(1-i))) =(1- ex(n+1)(1+i)- ex(1-i)+ex(n+2+ni))/|1- ex(1+i)|2=
=(1-e(n+1)xei(n+1)x-exe-ix+e(n+2)xexni)/(1-2excosx+e2x)
т.к. S(x)=Re?(z), то получаем формулу:
S(x)=1+excosx+e2xcos2x+…+enxcosnx=(1-e(n+1)xcos(n+1)x+e(n+2)xcosnx-excosx)/(1-2excosx+e2x)
Отсюда следует, что искомая сумма равна:
S(?)=1+e?cos?+e2?cos2?+…+en?cosn?= (1+e?+e?(n+2)(-1)n-e(n+1)(-1)n+1)/(1+2e?+e2?)= =((1+e?)+(-1)ne?(n+1)(e?+1))/(e?+1)2=(1+(-1)ne?(n+1))/(1+e?)
12. Доказать, что Re(z-1)/(z+1)=0 |z|=1.
Доказательство:
Т.к. (z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|2=((|z|2-1)+2iy)/|z+1|2; то Re(z-1)(z+1)=0, если только |z|2-1=0 |z|=1.
13. Найти все значения корня 4v1+iv3. Дать геометрическую иллюстрацию.
Решение:
z=4v1+iv3=4va, где a=1+iv3.
Т.к. а=r(cos?+isin?)=2(cos?/3+isin?/3), то zk=4v2(cos(?/3+2K?)/4+isin(?/3+2K?), где К=0,1,2,3.
Получаем:
Z0= 4v2(cos?/12+isin?/12); z1=4v2(cos7?/12+isin7?/12);
Z2=4v2(cos13?/12+isin13?/12); z4=4v2(cos19?/12+isin19?/12).
14. Представить в алгебраической форме комплексное число 1/(1+iv3)6-1/(v3-i)6 =z
Решение: преобразуем данное число:
Z=((1-iv3)/((1+iv3)(1-iv3)))6-((v3+i)/((v3-i)(v3+i)))6= =(1-iv3)6/|1+iv3|12-(v3+i)6/|v3+i|12=z1-z2=(т.к. |z1|=|z2|=2; ?1=-?/3; ?2=?/6, то)=1/26•26(cos(-?/3)+isin(-?/3))6-1/26•26(cos?/6+isin?/6))6= =cos(-2?)+isin(-2?)-cos?-isin?=1-(-1)=2.
VII. Литература.
VIII.
1. Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.
2. Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 1960.
3. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.
4. Яглом И.И. « Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.
5. Справочник по элементарной математике (для поступающих в ВУЗы) под редакцией Фильчакова П.Ф. «Наукова Думка», Киев - 1972.
! | Как писать курсовую работу Практические советы по написанию семестровых и курсовых работ. |
! | Схема написания курсовой Из каких частей состоит курсовик. С чего начать и как правильно закончить работу. |
! | Формулировка проблемы Описываем цель курсовой, что анализируем, разрабатываем, какого результата хотим добиться. |
! | План курсовой работы Нумерованным списком описывается порядок и структура будующей работы. |
! | Введение курсовой работы Что пишется в введении, какой объем вводной части? |
! | Задачи курсовой работы Правильно начинать любую работу с постановки задач, описания того что необходимо сделать. |
! | Источники информации Какими источниками следует пользоваться. Почему не стоит доверять бесплатно скачанным работа. |
! | Заключение курсовой работы Подведение итогов проведенных мероприятий, достигнута ли цель, решена ли проблема. |
! | Оригинальность текстов Каким образом можно повысить оригинальность текстов чтобы пройти проверку антиплагиатом. |
! | Оформление курсовика Требования и методические рекомендации по оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Разновидности курсовых Какие курсовые бывают в чем их особенности и принципиальные отличия. |
→ | Отличие курсового проекта от работы Чем принципиально отличается по структуре и подходу разработка курсового проекта. |
→ | Типичные недостатки На что чаще всего обращают внимание преподаватели и какие ошибки допускают студенты. |
→ | Защита курсовой работы Как подготовиться к защите курсовой работы и как ее провести. |
→ | Доклад на защиту Как подготовить доклад чтобы он был не скучным, интересным и информативным для преподавателя. |
→ | Оценка курсовой работы Каким образом преподаватели оценивают качества подготовленного курсовика. |
Курсовая работа | Деятельность Движения Харе Кришна в свете трансформационных процессов современности |
Курсовая работа | Маркетинговая деятельность предприятия (на примере ООО СФ "Контакт Плюс") |
Курсовая работа | Политический маркетинг |
Курсовая работа | Создание и внедрение мембранного аппарата |
Курсовая работа | Социальные услуги |
Курсовая работа | Педагогические условия нравственного воспитания младших школьников |
Курсовая работа | Деятельность социального педагога по решению проблемы злоупотребления алкоголем среди школьников |
Курсовая работа | Карибский кризис |
Курсовая работа | Сахарный диабет |
Курсовая работа | Разработка оптимизированных систем аспирации процессов переработки и дробления руд в цехе среднего и мелкого дробления Стойленского ГОКа |