Формирование поездов

Задача 1

Статистический анализ плана формирования поездов

На заданном участке полигона сети железных дорог (рис. 1.1) составить варианты плана формирования поездов и провести их статистический анализ с использованием теории вероятностей.

А Б В Г

Рис. 1.1. Схема Участка АГ

Исходные данные:

Вагоно-часы простоя под накоплением сm:

на станции А - 900 вагонов-ч;

на станции Б - 800 вагонов-ч;

на станции В - 900 вагонов-ч.

Экономия от проследования станции без переработки Т_эк:

на станции Б - 4,5 ч;

на станции В - 3,5 ч.

Среднеквадратическое отклонение вагонопотоков ? = 75 вагонов.

Параметр «а» в равномерном распределении = 60 вагонов.

Среднесуточные вагонопотоки в назначении:

АГ - 150 вагонов;

АБ - 28 вагонов;

АВ - 30 вагонов;

БГ - 300 вагонов;

БВ - 50 вагонов;

ВГ - 0 вагонов;

Законы распределения вагонопотоков в назначении:

АГ - равномерное распределение;

БГ - нормальное распределение.

Решение:

Представим ступенчатый график вагонопотоков на рис. 1.2.

А Б В Г

4,5 3,5

Рис. 1. 2. Схема участка АГ и ступенчатый график вагонопотоков

Величины есть средние значения вагонопотоков. Назначение ВГ отсутствует по условию.

Известным условием выделения струи вагонопотока в самостоятельное назначение является удовлетворение её неравенству:

(1.1)

где - мощность струи вагонопотока со станции i назначением на станцию J;

- экономия от проследования без переработки сортировочных станций, расположенных между станциями назначения данной струи и более ближней смежной струи i - 1;

с - параметр накопления вагонов в сортировочном парке на составы грузовых поездов;

m - среднее число вагонов в составах грузовых поездов.

Из формулы (1.1) следует, что выделение данной струи потока в самостоятельное назначение будет эффективно во всех случаях, когда

. ( 1.2 )

Но вследствие колебаний потока мощность струи может уменьшится до величины

. ( 1.3 )

При этом она, очевидно, перестаёт удовлетворять необходимому и достаточному условиям выделения. Вероятность её появления в отдельные j-е сутки, а также вероятность появления струи, удовлетворяющей условию ( 1.2 ), может быть определена при известной функции распределения.

Для струи N₁ соответствие достаточному условию начинается с величины потока:

вагонов

Необходимому условию соответствует поток:

вагонов.

Для струи N₄ необходимое и достаточное условия совпадают:

вагонов.

По условию средние значения вагонопотоков N₁ = 150 вагонов, N₄ =300 вагонов, следовательно, струя N₁ удовлетворяет необходимому и N₄ удовлетворяет достаточному условию, а остальные, даже будучи объединены, не удовлетворяют и необходимому (N₂ = 28 вагонов, N₃ = 30 вагонов, N₅ = 50 вагонов ).

Оптимальный план формирования по средним значениям потоков N₁?N₅ представим на рис. 1.3.

А Б В Г

Рис. 1.3.1 вариант оптимального плана формирования поездов

Рассмотрим теперь полигон с учётом суточных колебаний вагонопотоков. Очевидно, что достаточно располагать информацией о колебаниях двух струй потока N₁ и N₄.

Определим вероятности сохранения оптимальности приведённого на рис. 1.3 варианта при изменениях потоков, а также вероятности сохранения других оптимальных планов формирования поездов.

Суточные значения струи N₁ распределены равномерно с параметрами вагонов, а = 60 вагонов.

Известно, что математическое ожидание случайной величины х, равномерно распределенной на участке от а до b:

. ( 1.4 )

Из формулы ( 1.4 ) найдём параметр b:

b=2*M[x]-a=2*150-60=240 вагонов.

Назначение АГ со струёй N₁ будет, очевидно, эффективно для значений N_ij от 113 вагонов и более (верхний предел по условию распределения - 240 вагонов, вероятность эффективности при N_ij >240 равна нулю ). Вероятность этого события для равномерного распределения определим по формуле:

. ( 1.5 )

.

Суточные значения струи N₄ распределены по нормальному закону с параметрами =300 вагонов и ? =75 вагонов.

Вероятность попадания случайной величины на участок от до рассчитывается по формуле:

( 1.6 )

Вероятность появления суточных размеров струи N_4j?229 вагонов, распределённой по нормальному закону распределения, рассчитаем следующим образом:

P(N_4j?229)=1-Ф((229-300)/75)=1-Ф(-0,95)=1-0,1711=0,8289.

Расчёты показывают, что по отдельности выделение струй N₁ и N₄ в самостоятельные назначения эффективно в большинстве случаев ( соответственно из 100 дней для N₁ - в 71 день, а для N₄ - в 83 дня ). Однако в целом вероятность сохранения оптимального плана, показанного на рис. 1.3, будет ниже и составит:

P₁=P(N_1j?113) P(N_4j?229)=0.7056*0.8289=0.5849.

Рассмотрим, что произойдёт, если вагонопотоки N_1j и N_4j примут значения, меньше критических (соответственно 113 и 229 вагонов).

Сперва рассмотрим более короткое назначение БГ с потоком N₄. Вероятность для N_4j стать менее 229 вагонов в сутки составляет:

P(N_4j<229)=1-P(N_4j?229)=1-0.8289=0.1711.

При этом по-разному складывается положение с назначением АГ. Оно может сохраниться с вероятностью 0,5323. В этом случае оптимальным будет вариант плана формирования II, показанный на рис. 1.4.

Рис. 1.4. II вариант оптимального плана формирования поездов

Вероятность того, что такой вариант будет оптимальным:

P_ІІ=P(N_1j?113) P(N_4j<229)=0.7056*0.1711=0.1207.

Если же оба потока будут меньше своих критических значений, то оптимальными могут быть два варианта. Так, при N_1j + N_4j < 229 план формирования не будет иметь ни одного сквозного назначения ( вариант III, рис. 1.5 ).

Рис. 1.5. III вариант оптимального плана формирования поездов

Вероятность ІІI варианта посчитаем следующим образом.

Допустим N_1j=X и N_4j=Y. Тогда вероятность совмещения событий N_1j+N_4j<229 может быть уподоблена вероятности попадания точки M(X,Y) в определённую площадь, ограниченную осями координат и прямой с уравнением X+Y=229 (рис. 1.6), при известных законах распределения координат X и Y. Для этого треугольник Oab разбивается на элементарные прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат.

Вероятность попадания точки в первый прямоугольник с (площадь треугольника, не попадающего в область допустимых значений, равна площади треугольника abo^,) равна произведению вероятностей 0<X₁<39 и 0<Y₁<209,5. При этом, так как параметр X распределён по равномерному закону на отрезке (60; 240), то вероятность в данном случае равна 0.

P₁=0

Вероятность попадания точки во второй прямоугольник равна произведению вероятностей 39<X<77 (учтём, что при X<60 вероятность первого множителя нулевая, поэтому нижний предел в данном случае 60 вагонов ) и 0<Y<171:

P₂=[(77-60)/(240-60)]*[Ф((171-300)/75)-Ф((0-300)/75)]=

=0.0944*[Ф(-1,72)-Ф(-4)]= 0,0944*(0,0427-0)=0,0040.

O 39 77 115 153 191 229 X

Рис. 1.6. Замена площади треугольника площадью ряда прямоугольников для определения вероятности попадания точки M(X,Y) в треугольник Oab, ограничённый осями координат и отрезком прямой X+Y=229

Рассчитаем аналогично другие составляющие вероятности попадания точки M(X,Y) в площадь, ограниченную осями координат и прямой с уравнением X+Y=229:

Р₃=[(115-77)/(240-60)]*[Ф((133-300)/75)-Ф((0-300)/75)]=

=0.2111*[Ф(-2,23)-Ф(-4)]=0.2111*(0.0139-0)=0.0029.

P₄=[(153-115)/(240-60)]*[Ф((95-300)/75)-Ф((0-300)/75)]=

=0.2111*[Ф(-2,73)-Ф(-4)]=0.2111*(0.0035-0)=0.0007.

P₅=[(191-153)/(240-60)]*[Ф((57-300)/75)-Ф((0-300)/75)]=

=0.2111*[Ф(-3,24)-Ф(-4)]=0.2111*(0.0006-0)=0.0001.

P₆=[(229-119)/(240-60)]*[Ф((19-300)/75)-Ф((0-300)/75)]=

=0.2111*[Ф(-3,75)-Ф(-4)]=0,2111*(0,0001-0)=0.

Суммарная вероятность попадания точки M(X,Y) в треугольник равна сумме вероятностей её попадания в отдельные прямоугольники:

Р_III= Р₁+ Р₂+ Р₃+ Р₄+ Р₅+ Р₆= 0+0,0004+0,0029+0,0007+0,001+0=0,0077.

По теореме полной вероятности (сумма всех вероятностей наступления событий равна единице) можно посчитать вероятность IV варианта оптимального плана формирования поездов, когда каждый в отдельности из потоков N_1j и N_4j меньше своих критических знаний, но в сумме N_1j+N_4j>229, то есть больше критического значения для назначения поездов БГ ( рис. 1.7 ).

Рис. 1.7. IV вариант оптимального плана формирования поездов

Вероятность IV варианта:

Р_IV = 1-( Р_I + Р_II + Р_III ) = 1-( 0,5849 + 0,1207 + 0,0077 ) = 0,2867.

На основании проведённого статистического анализа плана формирования поездов можно сделать следующие выводы.

Первый вариант плана формирования поездов, рассчитанный по средним значениям вагонопотоков, будет оптимальным 213 дней ( 0,5849*365 = 213 ), то есть больше половины года. Несколько меньше трети года - 105 дней - будет выгодно применение четвёртого варианта плана формирования ( 0,2867*365 = 105 ). В остальные дни с вероятностью 0,1207 выгодно применение второго варианта плана формирования ( 44 дня ); с вероятностью 0,0077 - третий вариант ( 3 дня ). Это означает, что для соблюдения оптимального режима работы по организации вагонопотоков на полигоне АГ целесообразно иметь двухвариантный план формирования поездов ( I и IV варианты ).

Зная критические значения вагонопотоков, необходимо организовать их суточный прогноз и в соответствии с ним строить работу по формированию поездов.

Задача 2

Имитационное моделирование входящего на станцию поездопотока

Исходные данные:

Часовая интенсивность поступления поездов на станцию - 5 поезд/час.

Параметр Эрланга в распределении интервалов между прибытием поездов на станцию - 3.

Доля грузовых поездов, поступающих в расформирование - 30%.

Процентное соотношение числа грузовых поездов, поступающих с направлений:

А - 18%;

Б - 22%;

В - 28%;

Г - 32%.

Среднее число вагонов в составах грузовых поездов - 48 вагонов.

Среднеквадратическое отклонение числа вагонов в составах грузовых поездов - 15 вагонов.

В настоящей задаче требуется смоделировать:

· интервалы между прибытием поездов на сортировочную станцию (и на их основе разработать график поступления грузовых поездов в течение суток);

· направления, с которых прибывают поезда;

· категории поступающих поездов (транзитные грузовые с переработкой и транзитные грузовые, проходящие станцию без переформирования);

· величины составов прибывающих грузовых поездов (число вагонов).

Решение:

Сведения о значении порядка распределения Эрланга, который является величиной, обратной квадрату коэффициента вариации интервалов между поступлением поездов на станцию, а также об интенсивности поездопотока позволяют с помощью таблицы случайных чисел смоделировать эти интервалы по формуле:

,

где 60 - коэффициент перевода часов в минуты;

k - параметр распределения Эрланга;

- часовая интенсивность прибытия грузовых поездов на сортировочную станцию, поезд-ч;

- случайное число, равномерно распределенное в интервале [0.1].

Моделирование произведём следующим образом:

Прибытие первого грузового поезда на станции - в 18:00.

Из таблицы случайных чисел произвольно выберем и перемножим 3 числа (возьмём числа из 2, 3 и 4 столбцов, затем из 5, 6 и 7 столбцов, а потом из 8, 9 и 10 столбцов). Затем возьмём натуральный логарифм произведения и умножим на коэффициент -(60/(3*5)), который считается постоянным для каждой конкретной сортировочной станции. Полученный результат округлим до целой величины и прибавим к предыдущему времени прибытия грузового поезда.

= -(60/(3*5))1n(0,6380*0,8199*0,4118)=6 мин.

Второй поезд считается прибывшим в 18:06.

= -(60/(3*5))1n(0,5138*0,1904*0,8227)=10 мин.

Третий поезд поступит на сортировочную станцию в 18:16 и т. д. до конца расчётных суток (до 18 часов следующих суток).

Расчёт интервала проведён в Приложении 2.

Моделирование категории поезда произведём путём построения оси вероятностей и также с использование таблицы случайных чисел. На рис. 2.1 показана ось вероятностей, когда 30% грузовых поездов проходят сортировочную станцию с переформированием.

с/п б/п

0 0,3 1

Рис. 2.1. Ось вероятностей для моделирования категории грузовых поездов

Поскольку случайные числа распределены равномерно в интервале [0.1], то при многократном повторении эксперимента около 30% чисел попадут в интервал от 0 до 0,3 и около 70% - в интервал от 0,3 до 1.

Принимая последовательность случайных чисел по первому столбцу таблицы случайных чисел (после первого используем третий и пятый столбцы), видим, что первое 0,6340 попадает в интервал от 0,3 до 1, что соответствует прибытию на сортировочную станцию транзитного грузового поезда без расформирования и т. д.

Моделирование категории грузовых поездов произведено в Приложении 3.

Аналогичным образом произведём моделирование и направлений подхода грузовых поездов. Для этого построим ось вероятностей, когда 18% грузовых поездов поступают с направления А, 22% - с направления Б, 28% - с направления В, и 32% - с направления Г ( рис. 2.2. ).

А Б В Г

0 0,18 0,4 0,68

Рис. 2.2. Ось вероятностей для моделирования направления подхода грузовых поездов

При моделировании направлений подхода грузовых поездов используем последовательно второй, четвёртый и шестой столбцы.

Моделирование направлений подхода грузовых поездов приведено в Приложении 4.

Известно, что число вагонов в составах грузовых поездов распределено по нормальному закону. Совокупность случайных чисел с заданным нормальным законом распределения получим способом, основанным на центральной предельной теореме теории вероятностей. Согласно ей при сложении большого числа независимых случайных величин, сравнимых по дисперсиям, получается случайная величина, распределённая приближённо по нормальному закону. Опыт показывает, что случайная величина, которая с точностью, достаточной для большинства прикладных задач, может считаться нормальной, получается при сложении шести случайных чисел от 0 до 1. Значение такой случайной величины с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением определим по формуле:

Последовательность случайных чисел примем начиная с первых чисел первых шести столбцов, затем чисел с третьего по восьмой столбцы, затем чисел с пятого по десятый столбцы.

вагонов

Расчёт числа вагонов в составе поезда приведён в Приложении 5.

Результаты всех расчётов отразим в таблице 2.1.

Таблица 2.1.

Результаты моделирования входящего на станцию поездопотока