Статистика на предприятии

2

КАФЕДРА МЕНЕДЖМЕНТА

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу: “Статистика"

Выполнил:

Проверил:

2007

Задача 1

На промышленном предприятии механическим способом отбора было обследовано 10% рабочих в количестве 30 человек. В результате обследования получены данные, приведенные в приложениях А, Б, В. С целью изучения зависимости между стажем работы рабочих, выработкой и качеством изготавливаемой продукции произвести аналитическую группировку по стажу работы, образовав три группы с интервалами до 3 лет, от 3 до 10, 10 и выше.

По каждой группе и по совокупности в целом подсчитать:

число рабочих;

количество произведенной продукции;

среднюю месячную выработку;

средний процент брака.

Результаты представить в виде таблицы, указать тип таблицы и сделать выводы о наличии связи между указанными признаками.

В качестве группировочного признака берем стаж рабочего.

После того, как выбран группировочный признак, намечено число групп и образованы сами группы, необходимо отобрать показатели, которые характеризуют группы, и определить их величины по каждой группе. Показатели, характеризующие рабочих, разносятся по трем вышеуказанным группам, и подсчитываются групповые итоги. Они заносятся в специально составленную таблицу (табл.1).

Таблица 1. - Вспомогательная таблица для построения аналитической группировки

На основании данных табл.1 построим аналитическую группировку (табл.2).

Таблица 2. - Связь между стажем работы рабочих, выработкой и качеством продукции

Примечание. Графа 3=графа 2: графа 1; графа 5=графа 4: графа1

Вывод. Данная таблица является аналитической, так как выявляет взаимосвязь между признаками. Факторный признак-стаж (графа А). Результативные признаки: выработка (графа 3) и процент брака на одного рабочего (графа 5). На основании данных граф А и 3 можно сделать вывод, что связи между стажем и выработкой нет. Отсутствует также связь между стажем и процентом брака (графы А и 5).

По построению подлежащего (графа А) таблица является групповой. По разработке сказуемого - сложной (графы 1-5).

Задача 2

По исходным данным приложений Б и В построить интервальный вариационный ряд распределения с равновеликими интервалами. Результаты вычислений представить в виде таблицы.

Изобразить ряд распределения графически, построив гистограмму, полигон и кумуляту распределения.

РЕШЕНИЕ:

Для построения интервального ряда распределения с равновеликими интервалами по выработке выполним следующие действия:

Выберем минимальное значение выработки x _min=102 шт.;

Выберем максимальное значение x _max =171 шт.;

Определим размах совокупности: R= x _max - x _min= 171-102=69.

Определим число интервальных групп по формуле: m = vn

где n- объем совокупности (n=10).

Определим величину интервала

d= R/m = 69/3 = 23

Построим интервалы по следующему алгоритму:

Первый интервал равен 102- (102+23) = 102-125;

Второй интервал равен 125- (125+23) = 125-148;

Третий интервал равен 148- (148+23) = 148-171.

По каждой интервальной группе подсчитаем число рабочих с заданными признаками.

Результаты представим в виде табл.3.

Таблица 3. - Распределение рабочих по выработке

Изобразим графически полученный ряд распределения (рис.1-3).

Задача 3

На основании полученного ряда распределения в задаче 2 определить среднюю выработку, моду и медиану. Изобразите графически моду и медиану. Сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ:

1. Расчет средней выработки.

Среднюю величину в интервальном ряду распределения рассчитывают по формуле средней арифметической взвешенной:

где х - середины интервалов;

f - частота.

Расчет необходимых данных выполним в табл.4.

Таблица 4. - Расчет данных для определения средней и дисперсии

2. Мода (Мо) - значение признака, повторяющееся с наибольшей частотой. В интервальном ряду распределения мода определяется следующим образом:

Находим модальный интервал, которому соответствует наибольшая частота. В данной задаче модальными интервалом будет интервалы [148-171], так как ему соответствует наибольшая частота (6).

Внутри модального интервала мода определяется по формуле:

где х_{0 -} нижняя граница модального интервала;

f_{0 -} частота модального интервала;

f _-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f₊₁ - частота интервала, следующего за модальным.

На основании данной формулы и табл.4 определим модальные значения средней выработки.

Вывод:

У большинства рабочих данной совокупности выработка составляет 157,20 шт. в месяц.

Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Для определения медианы в интервальном ряду сначала необходимо определить медианный интервал. Им считается тот, до которого сумма (накопленный итог) численностей меньше половины всей численности ряда, а с прибавлением его численности - больше половины. На основании данных табл.3 определим накопленные итоги (графа 3 табл.3). Половина численности ряда равна 5 (10: 2). Таким образом, третий интервал является медианным, так как накопленный итог предшествующего интервала меньше 5 (4<5), а накопленный итог 3-го интервала больше 5 (10>5).

Внутри медианного интервала медиана определяется по формуле:

где х_{0 -} нижняя граница медианного интервала;

d - величина медианного интервала;

f - численность ряда (сумма частот);

S - накопленные итоги численностей до медианного интервала;

f_{0 -} численность медианного интервала.

Ме = 125+23Ч (2-4) /2= 102 шт.

Вывод:

50% рабочих данной совокупности имеют выработку до 102 шт., а вторая половина рабочих - выше 102 шт.

Задача 4

По результатам вычислений задач 2, 3 вычислить дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Поясните смысл полученных характеристик вариации.

РЕШЕНИЕ:

Дисперсия-это средний квадрат отклонения.

Расчет дисперсии для всей совокупности, представленной в виде сгруппированного ряда в табл.4, осуществляется по формуле:

где х - середины интервалов;

Расчет данных для вычисления дисперсии выполним в табл.4.

у² = 3385,6: 10= 338,5

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

Коэффициент вариации определяется по формуле:

Коэффициент вариации меньше 33%, следовательно, совокупность является однородной, а средняя - типичной и устойчивой.

Задача 5

На основании аналитической группировки задачи 1 вычислить общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий. Определите корреляционное отношение по выработке одного рабочего. Сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ:

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию и рассчитывается по формуле:

где - общая средняя по всей совокупности.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

Где - средние по отдельным группам;

n_j -численности по отдельным группам.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

Закон, связывающий три вида дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

у²_общ = д²+ у²

Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий.

Для решения задачи сначала определим средние по каждой группе. Расчет средних выполнен в табл.5.

Средняя выработка в первой группе (до 3 лет) равна

х₁ = 134,2 шт. (971: 5), во второй (от 3 до 10 лет) х₂ = 127,0625 шт. (2033: 16), в третьей (свыше 10 лет) х₃ = 142,667 шт. (1284: 9)

Промежуточные расчеты дисперсий по группам представлены в табл.5.

Таблица 5. - Расчет данных для определения внутригрупповых дисперсий.

Подставив полученные значения в формулу, получим:

= (501 Ч 4) /10 = 200,4

= (4503,3 Ч 6) /10 = 2701,98

Средняя из групповых дисперсий:

= (200,4 Ч4+2701,98Ч6): 10 = (801,6 + 16211,88) / 10 = 1701,348

= [ (147,5-145) ²Ч4+ (143,3 -145) ²Ч6]: 10 = (25 + 17,34) /10= 4,234

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Средняя (общая) по всей совокупности равна 132,93 шт. (см. табл.2).

Таким образом, общая дисперсия согласно правилу сложения дисперсий:

у²_общ²=д²+ у²=1701,348+4,234 = 1705,582

На основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результативным признаками, который называется корреляционным отношением:

Величина 0,04982 показывает отсутствие связи между группировочным и результативным признаками.

Коэффициент детерминации з² равен:

з²=0,04982² = 0,0024820324 или 0,2482%

Он показывает, что вариация выработки на 0,2482% зависит от стажа и на 99,7518% (100% - 0,2482%) от других неучтенных факторов.

Задача 6

По исходным данным задачи 2 и результатам вычислений задачи 3, 4 установите:

с вероятностью 0,954 возможные пределы средней выработки в генеральной совокупности;

с вероятностью 0,997 возможные пределы удельного веса численности рабочих, имеющих выработку выше средней;

сколько необходимо отобрать рабочих, чтобы с вероятностью 99,7% предельная относительная ошибка выборки не превышала 5%?

РЕШЕНИЕ:

Средняя ошибка выборки определяется по формуле:

где k-коэффициент выборочного наблюдения (по условию задачи 10% или 0,1)

Предельная ошибка выборки определяется по формуле:,

где t - коэффициент доверия (для вероятности 0,954 равен 2)

Определим предельную ошибку средней выработки:

Д _х= = = 11,04 шт.

Найдем границы изменения средней величины в генеральной совокупности:

145,7 -11,04< <145,7+11,04; 134,66 < <156,74

Вывод:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя выработка одного Рабочего в генеральной совокупности находится в пределах от 134,66 шт.д.о 156,74 шт. (не ниже 134,66 шт., но не выше 156,74 шт)

2. Определим удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней (145,7 шт.). Таких рабочих 5 человек. Тогда удельный вес их в общей численности составит:

W = 5/10 = 0,5

Рассчитаем предельную ошибку доли в случае механического отбора по формуле:

где w-удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней;

n-объем выборочной совокупности;

t - коэффициент доверия (t=3 для вероятности 0,997).

=3*0,15=0,45 или 45%

Найдем границы изменения доли в генеральной совокупности:

p=w±Д_p

p=0,5±0,45

0,5-0,45<Р<0,5+0,45;

0,05 <Р< 0,95

5%<Р<95%

Вывод:

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней, колеблется от 5% до 95%. В генеральной совокупности.

3. Рассчитаем необходимую численность рабочих:

n= (t²*V_у²): Д^2,t- коэффициент доверия (для вероятности 99,7% равен 3);

V_у- коэффициент вариации (12,627% - результат решения задачи 4);

Д²- относительная погрешность, %; (по условию задачи равна 5%).

n=9* (12,627) ²/25=57,399 ? 58 чел.

С вероятностью 99,7% можно утверждать, что численность выборки, обеспечивающая относительную погрешность не более 5%, должна составлять не менее 58 чел.

Задача 7

Имеются данные о стаже работы рабочих и их выработке (приложения А, графа *, Б-графа *).

Составьте линейное уравнение регрессии, вычислите его параметры, рассчитайте коэффициенты корреляции и эластичности. По полученному уравнению регрессии рассчитайте теоретические (выравненные) уровни. Результаты расчетов оформите в виде таблицы. Сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение связи в случае линейной зависимости имеет вид:

у_х=а₀+а₁х

Параметры уравнения а₀ и а₁ определяют методом наименьших квадратов. Для этого необходимо решить систему уравнений:

na₀+a₁?x=?y;

a₀ ?x+ a₁?x²=?xy.

Расчет необходимых данных выполним в табл.6

Подставим полученные данные в систему уравнений:

10а₀+39а₁=1450

39а₀+247а₁=5557

а₀=149,02741; а₁= - 1,03267

Уравнение связи между стажем и выработкой имеет вид:

у_х = 149,02741 - 1,03267х

Таблица 6. - Расчет данных для уравнения регрессии

Интерпретация полученного уравнения связи:

Коэффициент регрессии а₁ = - 1,03267, следовательно, связь между стажем и выработкой в данной совокупности обратная: при увеличении стажа на 1 год выработка снижается на 1,03267 шт.

Степень тесноты связи в случае линейной зависимости определяется с помощью линейного коэффициента корреляции:

где ?xy: n = 5557: 10 = 555,7; 9,27; 150,67;

у²= = 247/10 - (9,27) ² = 61,2329

= 215296/10 - (150,67) ² = 1171,8489;

Коэффициент корреляции равен:

Коэффициент корреляции равен -3,1396.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при увеличении факторного признака на 1%.

Э =

При увеличении стажа на 1% выработка снижается на 0,06354%.

Графическое изображение связи - рис.4.

Задача 8

На основании данных в приложении Г проанализировать ряд динамики, исчислив:

абсолютные приросты, темпы роста и прироста по месяцам и к первому месяцу;

абсолютное содержание 1% прироста;

средний уровень ряда;

среднегодовой темп роста и прироста.

Результаты отразить в таблице. Изобразить ряд динамики графически. Сделать выводы.

РЕШЕНИЕ:

Поскольку в данном нам динамическом ряду каждый уровень характеризует явление за определенный отрезок времени, то такой ряд динамики называется интервальным.

Для расчета цепного абсолютного прироста используем формулу:

Дy _{февраль-январь}=412-365= 47; Дy _{март-февраль}=346-412 = - 66; Дy _{апрель-март}=405-346 = 59

и т.д.

Результаты запишем в гр.3 табл.7.

Для расчета базисного прироста используем формулу

где у₀ - уровень периода, принятого за базу сравнения

Дy _{февраль-январь}=412-365=47; Дy _{март-январь}=346-365=-19; Дy _{апрель-январь}=405-365=40 и т.д.

Результаты запишем в гр.4 табл.7.

2. Темп роста Тр представляет собой отношение текущего уровня у_і к предшествующему уровню у _і-1 или базисному у₁. В первом случае абсолютный прирост называется цепным и рассчитывается по формуле 3, во втором -базисным и рассчитывается по формуле 4.

Тр= (3)

Тр= (4)

Темп роста цепной:

Тр _{февраль-январь}=412Ч100%: 365=112,9%; Тр _{март-февраль}=346Ч100%: 412=84,0%

Тр _{апрель-март}=405Ч100: 346=117,1% и т.д.

Результаты запишем в гр.5 табл.6.

Темп роста базисный:

Тр _{февраль-январь}=412Ч100%: 365=112,9%; Тр _{март-январь}=346Ч100%: 365=94,8%

Тр _{апрель-январь}=405Ч100: 365=111,0% и т.д.

Результаты запишем в гр.6 табл.7.

3. Темп прироста равен отношению абсолютного цепного или базисного прироста к предшествующему или базисному уровню. В первом случае называется цепным, во втором - базисным. Темп прироста рассчитывается по формуле 5:

Тпр = Тр_% - 100 (5)

Темп прироста цепной:

Тпр _{февраль-январь}=112,9%-100%=12,9%; Тпр _{март-февраль}=84,0%-100%=-16%;

Тр _{апрель-март}=117,1% -100%=17,1% и т.д.

Результаты запишем в гр.7 табл.7.

Темп прироста базисный:

Тр _{февраль-январь}=112,9%-100%=12,9%; Тр _{март-январь}=94,8%-100%=-5,2%;

Тр _{апрель-январь}=111%-100%=11,0% и т.д.

Результаты запишем в гр.8 табл.7.

4. Абсолютное содержание 1% прироста определяется как отношение цепного абсолютного прироста к темпу прироста и рассчитывается по формуле 6:

б= 0,01*у_{і-1 (}6).

б _{февраль}= 0,01Ч365=3,65; б _март= 0,01Ч412=4,12; б _апрель= 0,01Ч346=3,46 и т.д.

Результаты запишем в гр.9 табл.7.

Таблица 7. - Динамика реализации творога на рынках города в 2001 г. (тыс. кг)

Средний уровень ряда:

Средний абсолютный прирост:

Средний темп роста:

Средний темп прироста:

100,344% -100%= 0,344%

Вывод:

На основании табл.7 можно сделать выводы о том, что в 2001 г. среднемесячный объем реализации творога на рынках города составил 413,8 тыс. кг. Ежемесячно этот показатель в среднем увеличивался на 1,27 тыс. кг или на 0,344%.

Изобразим графически ряд динамики на рис.5.

Задача 9

Используя данные задачи 8, произведите: аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой.

РЕШЕНИЕ:

Осуществим аналитическое выравнивание для выражения основной тенденции по прямой. В случае линейной зависимости уравнение прямой имеет вид:

y_t=а₀+а₁t,

где а₀, а₁ - параметры уравнения;

t - параметр времени.

Определим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров а_{0, а1}:

n а₀ + а₁Уt =Уy

а₀Уt+ а₁ Уt²= Уyt

Параметру t придаем для удобства расчетов такое значение, чтобы Уt=0.

Тогда:

а₀= Уy: n= 4966: 12=413,83;

а₁= Уyt: Уt² = 659: 576= 1,144

Расчет данных выполним в табл.8.

Уравнение тенденции имеет вид:

у_t=413,83+1,144t

Подставим в полученное уравнение вместо параметра t его значения и вычислим теоретические значения уровней ряда динамики. Результаты вычислений запишем в гр.6 табл.8

Таблица 8

Расчет данных для выравнивания по прямой

Задача 10

Имеются данные о производстве изделий и себестоимости единицы изделия на промышленном предприятии за два месяца.

Исчислить:

Индивидуальные индексы физического объема, себестоимости и затрат.

Общие индексы физического объема продукции, себестоимости и затрат. Проверьте взаимосвязь общих индексов. Проанализируйте полученные результаты.

Размер абсолютного и относительного изменения затрат на производство за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема.

РЕШЕНИЕ:

Определяем индивидуальные индексы физического объема по формуле:

i_q=q₁: q₀

Изделие А i_q=12890: 12589=1,02;

Изделие Б i_q=10894: 11921=0,91

Определяем индивидуальные индексы себестоимости по формуле:

i_z=z₁: z₀

Изделие А i_z=0,6: 0,57=1,05; Изделие Б i_z=0,68: 0,65=1,05

Определяем индивидуальные индексы затрат по формуле:

i_zq= z₁q₁: z₀ q₀

Изделие А i_zq= 0,57Ч12589: 0,6Ч12890=0,9282;

Изделие Б i_zq=0,65Ч11921: 0,68Ч10894=1,0460

Взаимосвязь между индексами: i_zq =i_q Ч i_z

Изделие А i_zq=0,9282 или 92,82%;

Изделие Б i_zq=1,0460 или 104,60%

Таким образом, по изделию А затраты снизились на 7,18% (i_zq=92,82). Вследствие повышения себестоимости единицы продукции произошло повышение затрат на 5,0% (i_zq=1,05). По изделию Б затраты также увеличились на 5,0% (i_zq=105,0%), в том числе в результате снижения физического объема - на 9% (i_zq=91%), в результате роста себестоимости единицы продукции затраты выросли на 5,0% (i_zq=105,0).

Таблица 8. - Динамика затрат на производство за два месяца по изделиям А и Б