Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Содержание

1. Предел числовой последовательности

2. Предел функции

3. Второй замечательный предел

4. Сравнение бесконечно малых величин

Литература

1. Предел числовой последовательности

Решение многих математических и прикладных задач приводит к последовательности чисел, заданных определенным образом. Выясним некоторые их свойства.

Определение 1.1. Если каждому натуральному числу по какому-то закону поставлено в соответствие вещественное число , то множество чисел называется числовой последовательностью.

Исходя из определения 1, видно, что числовая последовательность всегда содержит бесконечное число элементов. Изучение различных числовых последовательностей показывает, что с ростом номера их члены ведут себя по-разному. Они могут неограниченно увеличиваться или уменьшаться, могут постоянно приближаться к какому-то числу или вообще не проявлять какой-либо закономерности.

Определение 1.2. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого числа существует такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для всех номеров числовой последовательности выполняется условие .

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся. В этом случае пишут .

Очевидно, для выяснения вопроса о сходимости числовой последовательности необходимо иметь критерий, который был бы основан только на свойствах ее элементов.

Теорема 1.1. (теорема Коши о сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы числовая последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для любых двух номеров числовой последовательности и , которые удовлетворяют условию и , было бы справедливо неравенство .

Доказательство. Необходимость. Дано, что числовая последовательность сходится, значит, в соответствии с определением 2, у нее существует предел . Выберем какое-то число . Тогда, по определению предела числовой последовательности, существует такой ее номер , что для всех номеров выполняется неравенство . Но так как произвольно, то будет выполняться и . Возьмем два каких-то номера последовательности и , тогда

.

Отсюда следует, что , то есть необходимость доказана.

Достаточность. Дано, что . Значит, существует такой номер , что для данного условия и . В частности, если , а , то или при условии, что . Это значит, что числовая последовательность для ограничена. Следовательно, по крайней мере, одна из ее подпоследовательностей должна сходиться. Пусть . Докажем, что сходится к также.

Возьмем произвольное . Тогда, согласно определению предела, существует такой номер , что для всех выполняется неравенство . С другой стороны, по условию дано, что у последовательности существует такой номер , что для всех и будет выполняться условие .

Выберем и зафиксируем некоторое . Тогда для всех получим:

.

Отсюда следует, что , что и требовалось доказать.

Определение 1.3. Числовая последовательность называется монотонно возрастающей, если выполняется неравенство , и монотонно убывающей, если .

Теорема 1.2. Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху числовая последовательность имеет предел.

Аналогичная теорема есть и для монотонно убывающей числовой последовательности.

2. Предел функции

При исследовании графиков различных функций можно видеть, что при неограниченном стремлении аргумента функции к какой-то величине, то ли конечной, то ли бесконечной, сама функция также может принимать ряд значений, неограниченно приближающихся к некоторой величине. Следовательно, для функции также можно ввести понятие предела.

Определение 2.1. Число называется пределом функции в точке , если для любого существует такое число , что из условия следует, что .

Данное условие записывается в виде: . Отметим, что интервал длины , который содержит в себе точку , называется -окрестностью точки .

Аналогичным образом вводится понятие предела функции и при стремлении к . Так же как и в случае числовой последовательности, для функции существует теорема Коши, которая определяет существование у нее предела.

Теорема Коши о существовании предела. Для того чтобы функция , где , имела предел при , где , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое число , что из условия вытекало условие .

Доказательства теоремы приводить не будем. В качестве предела функции могут служить как конечные, так и бесконечные величины.

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в следующем. Возьмем некоторое , для которого . Тогда, согласно теореме, . Представим данное неравенство следующим образом: . Иначе говоря, как только станет отличаться от меньше, чем на , сама функция окажется в полосе шириной , расположенной на линии .

В приведенном определении предела и теореме Коши может стремиться к произвольным образом. Однако во многих случаях это стремление происходит с какой-то одной стороны. Для этого вводятся понятия односторонних пределов.

Определение 2.2. Если стремится к , оставаясь все время меньше его, и при этом стремится к , то это число называется пределом функции слева и обозначается .

Определение 2.3. Если стремится к , оставаясь все время больше его, и при этом стремится к , то это число называется пределом функции справа и обозначается .

Необходимо иметь в виду, что не всегда пределы слева и справа в точке равны между собой.

3. Второй замечательный предел

Рассмотрим числовую последовательность , где , С ростом основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении сказать нельзя. Для вычисления воспользуемся выражением для бинома Ньютона:

.

В нашем случае

.

Из полученного выражения следует, что с увеличением величина растет. Действительно, перейдем от к . Это приведет к тому, что число слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенных в скобки, тоже возрастет, так как . Но если увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то . Значит, числовая последовательность монотонно возрастает.

Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида единицей. Так как , то

.

Кроме того , ,..., . Значит,

.

В правой части неравенства после цифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма первых членов такой прогрессии равна: . В нашем случае . С ростом величина будет, очевидно, стремится к единице. Значит, , то есть, ограничено сверху.

Итак, мы получили, что . Но так как монотонно возрастающая последовательность ограниченная сверху, то она имеет предел:

Можно доказать, что данный предел справедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений :

.

Полученное выражение и называется вторым замечательным пределом.

Число используется для введения натуральных логарифмов. Такие логарифмы обозначаются , при этом .

Следствие 3.1.

.

В частности, если , то .

Следствие 3.2.

.

В частности, если , то .

4. Сравнение бесконечно малых величин

Как следует из определения бесконечно малых величин, все они стремятся к нулю, но скорость этого стремления может быть различна. Поэтому все бесконечно малые величины можно сравнивать между собой.

Пусть даны две бесконечно малые величины и при , то есть , .

Определение 4.1. Функции и называются бесконечно малыми величинами одного порядка малости, если .

Определение 4.4. Функция называется бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем , если .

Определение 4.3. Функция называется бесконечно малой величиной более низкого порядка малости, чем , если .

Тот факт, что , например, имеет более высокий порядок малости, чем , можно обозначить следующим образом: .

Определение 4.4. Функция называется бесконечно малой величиной го порядка малости относительно , если .

Определение 4.5. Функции и называются несравнимыми бесконечно малыми величинами, если не существует и не равен .

Определение 4.6. Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными, если .

Очевидно, что это частный случай бесконечно малых величин одного порядка малости. Эквивалентные величины обозначаются следующим образом: .

Понятие эквивалентности имеет практическое приложение. Если, то это значит, что при достаточном приближении к на основании теоремы 9.4.1 можно написать: . Иначе говоря, или .

Полученный результат позволяет следствия первого и второго замечательных пределов представить следующим образом:

;

;

;

;

;

при .

Данный факт значительно облегчает вычисление пределов, связанных с первым и вторым замечательными пределами. Докажем объясняющую это теорему.

Теорема 4.1. Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им величин.

Доказательство. Пусть даны две бесконечно малые величины и при , причем и . Рассмотрим

,

что и требовалось доказать.

Следовательно, при вычислении пределов, используя замены сомножителей на эквивалентные им более простые величины, можно значительно упрощать выражения.

Рассмотрим теперь теорему, дающую достаточно простой признак эквивалентности бесконечно малых величин.

Теорема 4.4. Две бесконечно малые величины и при эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем и .

Доказательство. Обозначим .

Необходимость. Дано, что . Рассмотрим

,

то есть . Аналогично доказывается, что .

Достаточность. Дано, что и . Рассмотрим

,

то есть , что и требовалось доказать.

Рассмотрим еще одну теорему, облегчающую процесс вычисления пределов.

Теорема 4.3. Сумма конечного числа бесконечно малых величин разных порядков малости эквивалентна слагаемому с самым низким порядком малости.

Доказательство. Пусть даны бесконечно малые величины , и при , причем , , . Обозначим . Тогда

,

то есть , что и требовалось доказать.

Литература

1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики. Минск, "Высшая школа", 1973.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., "Наука", 1986.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., "Высшая школа" изд. 5, 1977.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., "Высшая школа" изд. 2.

6. Баврин И.И. Высшая математика - 1980 г.3

7. Дж. Голуб, Ч.Ван Лоун Матричные вычисления. -- М.: Мир, 1999.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. -- М.: Мир, 1969.

9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц (2-е издание). -- М.: Наука, 1966.

10. Ланкастер П. Теория матриц. -- М.: Наука, 1973.

11. Соколов Н. П. Пространственные матрицы и их приложения. -- М.: ГИФМЛ, 1960.