Алгебра и начало анализа

1. Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной.

2. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х.

3. График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k 0.

4. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

5. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.

Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax² + bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а 0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции y = ax^{2(частный случай)} при а > 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке (- ; 0] и возрастает в промежутке [0; + ).
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции [0; + ).

Свойства функции y = ax² при а < 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х 0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке [0; + ) и возрастает в промежутке (- ; 0].
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (- ; 0].

И, так, график функции y = ax² + bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m = , n= . Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 - вниз.

Ответ 3

Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой , где - коэффициент обратной пропорциональности.

1. Область определения функции - есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. .

2. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.

3. Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.

№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = a^x, где а - некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной.

1. Функция y = a^x при а>1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то a^x > 1;
е) если х < 0, то 0< a^x <1;

2. Функция y = a^x при 0< а <1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0< a^x <1;
е) если х < 0, то a^x > 1.

№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = log_a x называют логарифмической функцией с основанием а.
Свойства функции y = log_a x при a>1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция возрастает;
г) если x = 1, то log_a x = 0;
д) если 0<x<1, то log_a x < 0;
е) если x > 1, то log_a x > 0.
Свойства функции y = log_a x при 0<a<1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция убывает;
г) если x = 1, то log_a x = 0;
д) если 0 < x < 1, то log_a x > 0;
е) если x > 1, то log_a x < 0.

№6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin ).

1. область определения - множество всех действительных чисел;

2. множество значений - [-1; 1];

3. функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех ;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;

5. sin(x) = 0 при x = ;

6. sin(x) > 0 для всех ;

7. sin(x) < 0 для всех ;

8. функция возрастает на ;

9. функция убывает на .

№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos )

1. область определения - множество всех действительных чисел;

2. множество значений - [-1; 1];

3. функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех ;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;

5. cos(x) = 0 при ;

6. cos(x) > 0 для всех ;

7. cos(x) > 0 для всех ;

8. функция возрастает на ;

9. функция убывает на

№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg ).

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида;

2. множество значений - вся числовая прямая;

3. функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;

5. tg(x) = 0 при х = ;

6. tg(x) > 0 для всех ;

7. tg(x) < 0 для всех ;

8. функция возрастает на .

№9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg )

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида ;

2. множество значений - вся числовая прямая;

3. функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;

5. ctg(x) = 0 при x = ;

6. ctg(x) > 0 для всех ;

7. ctg(x) < 0 для всех ;

8. функция убывает на .

Ответ № 10

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а₂ - а₁ = а₃ - а₂ = ... = a_k - a_k-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.

3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (а_n), достаточно знать ее первый член а₁ и разность d.

4. Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.

5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. (1)

6. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: a_n = a₁ + d(n-1). (2)

7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: (3)

8. Если в формулу (3) подставить вместо а_n его выражение по формуле (2), то получим соотношение

9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Ответ № 11

1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b₂:b₁ = b₃:b₂ = ... = b_n:b_n-1 = b_n+1:b_n = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (b_n), достаточно знать ее первый член b₁ и знаменатель q.

4. Если q > 0 (), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b₁= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (b_n) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1)

6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2)

7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: , (3)

8. Если в формулу (3) подставить вместо b_n его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. , (4)

9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b₁b_n = b₂b_n-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при

1. Пусть (x_n) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где и . Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при .

2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула .

№ 12

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a

1. формула для корней уравнения sin(x) = a, где , имеет вид:
Частные случаи:

2. sin(x) = 0, x =

3. sin(x) = 1, x =

4. sin(x) = -1, x =

5. формула для корней уравнения sin²(x) = a, где , имеет вид: x=

Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a

1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.

3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).
sin(x) = 0 если х = ;
sin(x) = -1, если x = >;
sin(x) > 0, если ;
sin(x) < 0, если .

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a

1. Формула для корней уравнения cos(x) = a, где , имеет вид: .

2. Частные случаи:
cos(x) = 1, x = ;
cos(x) = 0, ;
cos(x) = -1, x =

3. Формула для корней уравнения cos²(x) = a, где , имеет вид: .

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);

2. Важным моментом является знание, что:
cos(x) = 0, если ;
cos(x) = -1, если x = ;
cos(x) = 1, если x = ;
cos(x) > 0, если ;
cos(x) > 0, если .

№ 14

Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a

1. Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: .

2. Частные случаи:
tg(x) = 0, x = ;
tg(x) = 1, ;
tg(x) = -1, .

3. Формула для корней уравнения tg²(x) = a, где , имеет вид:

Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).

2. Важно знать, что:
tg(x) > 0, если ;
tg(x) < 0, если ;
Тангенс не существует, если .

№ 15

1. Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов , , , , выражаются через значения sin , cos , tg и ctg .

2. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

1. Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:
a) при переходе от функций углов , к функциям угла название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;
при переходе от функций углов , к функциям угла название функции сохраняют;
б) считая острым углом (т. е. ), перед функцией угла ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов , , .

Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:
Любая тригонометрическая функция угла 90°n + по абсолютной величине равна той же функции угла , если число n - четное, и дополнительной функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n + . положительна, когда - острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.

№ 16

1. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

Рис.1 Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол и на угол (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов и . Пусть координаты точки В равны х₁ и y_1, координаты точки С равны х₂ и y_{2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы} и . По определению скалярного произведения векторов:
= х₁х_{2 +} y₁y₂. (1)
Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов и . Из определения косинуса и синуса следует, что
х₁ = R cos , y₁ = R sin , х₂ = R cos , y₂ = R sin .
Подставив значения х₁, х₂, y₁, y₂ в правую часть равенства (1), получим:
= R²cos cos + R²sin sin = R²(cos cos + sin sin).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
= cos BOC = R²cos BOC.
Угол ВОС между векторами и может быть равен - (рис.1), - ( - ) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos ( - ). Поэтому
= R² cos ( - ).
Т.к. равно также R²(cos cos + sin sin), то
cos( - ) = cos cos + sin sin.

cos( + ) = cos( - (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = cos cos - sin sin.
Значит,
cos( + ) = cos cos - sin sin.

2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

sin( + ) = cos( /2 - ( + )) = cos(( /2 - ) - ) = cos( /2 - ) cos + sin( /2 - ) sin = sin cos + cos sin.
Значит,
sin( + ) = sin cos + cos sin.

sin( - ) = sin( + (-)) = sin cos(-) + cos sin(-) = sin cos - cos sin.
Значит,
sin( - ) = sin cos - cos sin.

№ 17

Формулы двойных углов

Формулы сложения позволяют выразить sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 через тригонометрические функции угла .
Положим в формулах
sin( + ) = sin cos + cos sin ,
cos( + ) = cos cos - sin sin ,
,
.
равным . Получим тождества:

sin 2 = 2 sin cos ;
cos 2 = cos² - sin² = 1 - sin² = 2 cos² - 1;
; .

№ 18

Формулы половинного аргумента

1. Выразив правую часть формулы cos 2 = cos² - sin² через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2 = 1 - sin² , cos 2 = 2 cos² - 1.
Если в данных соотношениях положить = /2, то получим:
cos = 1 - 2 sin² /2, cos 2 = 2 cos² /2 - 1. (1)

2. Из формул (1) следует, что
(2), (3).

3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
(4).

4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2.

5. Полезно знать следующую формулу:
.

№ 19

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin , положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x и y, получим х = , y = .
Следовательно,
sin + sin = 2 sin cos .
Аналогичным образом выводят формулы:
sin -sin = 2 cos sin ;
cos + cos = 2 cos cos ;
cos + cos = -2 sin sin .

№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0, где , достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить . Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение = - q .
Оно отличается от простейшего уравнения x² = m только внешним видом: стоит вместо x и - q - вместо m. Находим = . Отсюба х = - . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q . Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если = q . Возращаемся к обычному виду .
1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х₁ + х₂ = -р, а х₁х₂ = q .
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р и х₁х₂ = q , то х_{1 и} х₂ - корни уравнения x² + px + q = 0.

№ 21

Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.
Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов:

1. ;

2. ;

3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
.
Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
x = , y = .
Перемножим почленно эти равенства, получаем:
xy = = .
Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.

4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
.
Ход доказательства аналогичен доказательству п.3

5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
.
При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

№ 22

1. Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в точке х₀ к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: .

2. Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х₀ только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х₀, включая эту точку.

3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.

4. Существование производной функции f в точке х₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х₀ ; f(х₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом состоит геометрический смысл производной.

5. Механический смысл производной f (x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

№ 23

1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:
.

2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀ то их производные дифференцируемы в этой точке и
.

3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
.

4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х₀ и
.