Вступ

Страхування як економічне явище існує впродовж декількох тисячоліть. Спочатку головною формою страхування була страхова взаємодопомога. Вона носила характер одноразових угод про взаємодопомогу в області торгівлі. У подальшому взаємне страхування набуває більш досконалої форми, тобто воно базується на основі регулярних платежів, які призводять до акумуляції грошових засобів і створення страхового фонду. Пізніше починається процес диференціації страхування.

Сьогодні інтенсивно розвиваються нові види та підвиди, форми та варіанти страхування. Характерним є інтернаціоналізація страхування та загострення боротьби за зовнішні страхові ринки.

У сучасному підприємництві та бізнесі життєво необхідно оцінювати ризики, пов’язані з випадковими подіями. Кваліфікацію для цього має так званий актуарій – фахівець з даних питань. У багатьох країнах актуарії активно працюють і в області фінансів та інвестицій.

Від терміну актуарій отримала назву актуарна математика, предметом якої є опис фінансових операцій, що носять ймовірносний характер.

До предмету актуарна математика відносяться нетто-премії для елементарних видів страхування, які сплачуються поетапно, тим самим дозволяючи страхувальнику поступово виконувати свої зобов’язання.

Використання комутаційних функцій в актуарних розрахунках

З метою спрощення актуарних розрахунків на практиці часто використовують спеціальні функції, які називаються комутаційними. Для них складаються спеціальні таблиці, які є різними для чоловіків та жінок, а також для різних процентних ставок. Вони приведені у кінці курсової робити.

Перша з комутаційних функцій Dx, яка визначається за формулою:

Зміст цієї функції заключається в тому, що якщо при народженні групи дітей чисельність l₀
їх страхують на дожиття з умовою виплати у певному віці одиничної страхової суми, то очікувана поточна вартість суми страхових виплат запишеться у вигляді:

За допомогою таблиць смертності розраховують значення для різних процентних ставок. Потім, вже не звертаючись до таблиць смертності, використовують готові значення D_x
для актуарних розрахунків.

Приклад використання

Немовля (хлопчик) застраховане на дожиття. Йому передбачається виплатити суму 15000 при досягненні ним повноліття, Визначити:

1) очікувану поточну вартість суми страхових виплат

2) величину внеску.

Приймаємо, що і=0.065.

1)

2)

Отже, щоб у 18 років хлопчик отримав 15000 грн., при йогонародженні слід внести 4694,31 грн.

Для уникнення проміжних розрахунків по страхуванню рентивикористовують іншу комутаційну функцію:

Тоді формули для звичайної та приведеної рент запишуться:

ä

Приклад використання.

Визначити вартість довічної ренти з виплатою 5000 наприкінці кожного року для чоловіка віком 60 років. Річна відсоткова ставка 0.065.

Тоді вартість ренти складе:

Для спрощення розрахунків по страхуванню життя на випадок смерті використовують наступні комутаційні функції:

Отже, очікувана поточна вартість виплат при страхуванні життя на років, яка обчислюється наступним чином:

при використанні комутаційних функцій запишеться:

Приклад використання.

Чоловік у віці 40 років придбав поліс на страхування життя на термін 10 років. За цим полісом, у разі його смерті, його діти отримають 50000 грн. Приймемо, що ставка доходності і=0.065. Визначити вартість полісу.

Таким чином, на 1грн. виплати складуть 3 коп. Тоді вартість полісу становитиме:

Нетто-премії для елементарних видів страхування

Довгострокові контракти по страхуванню життя у більшості випадків оплачуються поетапно (щорічно, щоквартально, щомісячно). При періодичній сплаті внесків страхувальник виконує свої зобов’язання поступово.

Нетто-премії для елементарних видів страхування бувають таких видів:

1. На чисте дожиття.

2. Страхування рент.

3. Страхування рент на випадок смерті.

4. Нетто-премії змішаного страхування життя.

Задача 1

Визначити величину річних внесків при страхуванні на чисте дожиття протягом 10 років чоловікові віком 45 років на суму 10000грн. при річній ставці і = 0,06.

Тоді величина річних внесків

Задача 2

За умовою попередньої задачі річні внески сплачуються протягом лише 5 років.

Отже, величина річних внесків зі скороченням строку їх сплати у два рази збільшилася на 245грн. або 1,03 рази.

Задача 3

Визначити величину квартального внеску для жінки віком 55 років при страхуванні на чисте дожиття протягом 8 років на суму 15000грн., q=4.

Задача 4

Розрахувати величину щомісячного внеску для хлопців віком 18 років при страхуванні на чисте дожиття протягом 10 років на суму 50000 грн., q=12, i=0,07.

;

;

;

.

Задача 5

Жінка у віці 35 років уклала договір страхування пенсії зі страховою компанією, згідно з яким довічно буде виплачуватися пенсія в розмірі 10000 грн., починаючи з 55 років. Виплати згідно договору будуть проводитись щорічно на початку року. Жінка повинна сплачувати внески, починаючи з 35 до 55 років, i=0,65.

Задача 6

За умовою попередньої задачі чоловік у віці 35 років уклав такій самий договір зі страховою компанією, i=0,065.

Таким чином, за інших рівних умов чоловікові доведеться сплачувати на 712,44 грн. або у 1,26 більше.

Задача 7

Чоловік у віці 38 років уклав договір страхування довічної ренти при досягненні віку 60 років, коли довічно буде виплачуватися пенсія у розмірі 5000 грн. Внески ним згідно договору сплачуються на протязі 10 років. Визначити величину щорічного внеску, і=0,075.

Для цього використаємо формулу, за якою визначимо величину щорічного внеску, якщо період сплати внесків менший за термін відстрочки:

Задача 8

Жінка віком 45 років уклала договір термінової ренти, згідно з яким, починаючи з 55 років до 65 років буде отримувати пенсію у розмірі 3250 грн. щорічно, сплачуючи внески, починаючи з 45 до 55 років щорічно на початку кожного року, і=0,055. Для обчислення внеску страхувальника скористаємося наступною формулою:

Задача 9

Студент юридичного факультету КПІ віком 20 років уклав довічний договір страхування з умовою виплати страхових внесків щороку. Страхова сума згідно договору рівна 10000 грн., і=0,075. Розрахувати величину щорічного внеску за допомогою наступної формули:

Задача 10

За умовою попередньої задачі припустимо, що період сплати внесків при довічному страхуванні обмежений до віку 45 років. Коефіцієнт розстрочки буде мати вигляд:

Тоді внесок при обмеженому періоді сплати буде обчислюватися за формулою:

Отже, сплачуючи щорічно 57,43грн. з 18 до 43 років, цей отримає 10000 грн. у випадку своєї смерті.

Висновки

При виконанні курсової роботи ми пересвідчились що комутаційні функції використовуються для розрахунку нетто-премій для елементарних видів страхування, зокрема страхування на чисте дожиття, страхування рент та страхування рент на випадок смерті.

При страхуванні на чисте дожиття, коли вичікувальний період відсутній і сплата страхової премії відбувається протягом усього часу дії договору строк страхування на певну кількість років рівний початку періоду сплати премій. Іншими словами величина зносу з одиничної страхової суми рівна одночасній вартості страхування, поділеній на коефіцієнт розстрочки (виплат).

Різновидом страхування на дожиття є страхування рент, коли передбачений ряд виплат протягом певного періоду, а також довічно. Довічно виплати сплачуються за умови дожиття страхувальником до віку, коли починаються виплати.

У страхуванні на виплату смерті відсутній вичікувальний період. Це пов’язане з тим, що страховим випадком при даному виді страхування є смерть застрахованого.

Комбінація цих трьох видів страхування являється змішаним страхуванням життя. Премія при такому страхуванні рівна сумі премій на дожиття та одноразових премій страхування на випадок смерті.