Погрешности вычислений на ЭВМ

Содержание

1.
Источники и виды погрешностей результата вычислительной задачи

2.
Абсолютные и относительные погрешности

3. Правила записи приближенных чисел

4.
Погрешность суммы и разности приближенных чисел

5.
Погрешности произведения и частного приближения чисел погрешности

6.
Погрешность функции

7.
Погрешность функции нескольких переменных

8.
Обратная задача теории погрешностей

Список литературы

1. Источники и виды погрешностей результата вычислительной задачи

Погрешности вычислений на
ЭВМ

Цель работы: изучение
влияния различных видов погрешностей на результаты вычислений на ЭВМ

При решении задачи на ЭВМ
практически невозможно получить точное решение. Получаемое численное решение
почти всегда содержит погрешность, т.е. является приближенным. Погрешности
решения задач на ЭВМ объясняются следующими причинами:

1)  математическая модель задачи является
приближенным описанием реального объекта или процесса. Поэтому получаемые
результаты также всегда будут приближенными, а их погрешности зависят от
степени адекватности моделей реальному объекту или процессу;

2)  исходные данные при решении
вычислительной задачи, как правило, содержат погрешности. Это объясняется тем,
что исходные данные получают в результате экспериментов, наблюдений, измерений
или в результате решения вспомогательных задач;

3)  применяемые для решения
вычислительных задач методы в большинстве случаев являются приближенными, так
как получить аналитическое решение задачи обычно не удается;

4)  использование ЭВМ вносит ошибки,
которые появляются при  вводе-выводе данных в процессе вычислений.

С учетом указанных выше причин погрешность решения вычислительной задачи
на ЭВМ складывается из трех составляющих:

- неустранимая
погрешность;

- погрешность метода;

- вычислительная
погрешность.

Неустранимая погрешность
соответствует первым двум причинам и единственный способ уменьшить эту
погрешность заключается в переходе к более точной модели или в использовании
более точных входных данных.

Погрешность метода определяется третьей причиной,
причем появление этой погрешности практически неизбежно при любых вычислениях.

Вычислительная
погрешность возникает в основном из-за округления чисел при вводе-выводе, а
также при выполнении арифметических операций в ЭВМ. Это обусловлено
ограниченной разрядностью ЭВМ и особенностями представления данных в памяти
машины.

2. Абсолютные и относительные погрешности

Рассмотрим числовые
характеристики погрешностей. Будем считать, что результат решения задачи на ЭВМ
является приближенным числом.

Пусть А – точное число,
которое может быть и неизвестным. Тогда приближенным числом а будем называть
такое число, которое незначительно отличается от точного А и заменяет его в
вычислениях. При этом говорят, что число а является приближением числа А, что
обозначается как А » а.

Например, пусть p - точное число. Тогда различные приближения можно
задать следующим образом:

; ;
.

Разность А - а между
точным числом А и его приближением а называется погрешностью или ошибкой
приближенного числа а.

Поскольку возможно, что а
> А или а < А вводится понятие абсолютной погрешности приближенного
числа, которая обозначается как Dа =½А - а½.

Возможны два случая вычисления
абсолютной погрешности:

1) когда точное число
известно, например

2) если точное число не известно, то
для оценки погрешности приближения используется понятие предельной абсолютной
погрешности:

 или .

Если предельная
абсолютная погрешность задана, то ее значение позволяет установить границы в
которых находится точное число А:

 или .

Очевидно, что значение абсолютной погрешности приближенного числа не
позволяет оценить степень его приближения к точному значению. Для этого
используют понятие относительной погрешности приближенного числа, которая вычисляется
следующим образом:

.

Из этой формулы видно,
что величина  может быть вычислена
только при известном значении точного числа А. Если точное значение числа не
известно, то используется понятие предельной относительной погрешности

.

В практике вычислений
величина  определяется по формуле

.

Полагают, что эта формула
применима, если , В частности,
считается нормальным, если  или,
что то же самое, . В грубых расчетах
допускается . Иногда требуется, чтобы .

3.
Правила записи приближенных чисел

Для решения инженерных задач часто
приходится определять различные числа, как точные, так и приближенные. При этом
требуется, чтобы погрешность, возникающая при округлении была бы минимальной.

Пусть некоторое десятичное число представлено его
разложением

,

где 10^S –
единица разряда S, a_S – цифра разряда, S – номер разряда.

Все цифры числа от первой
слева, неравной нулю, до последней цифры справа называются значащими цифрами.

Например, пусть заданы
следующие числа:

a₁ = 2.67; a₂
= 0.267; a₃ = 0.00267; a₄ = 0.26700

Тогда для a₁,
a₂, a₃ имеем 3 значащие цифры и для a₄ - 5
значащих цифр.

Если крайние справа нули
не считают значащими, то число записывают в экспоненциальной форме:

,

где m - экспонента, p – порядок числа.

Значащая цифра числа a_S называется верной, если абсолютная
погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда S, т. е.

.

Если абсолютная погрешность числа не указана, то все его значащие цифры
считают верными.

Под округлением числа а
будем понимать его замену числом а’, которое имеет меньшее количество значащих цифр,
чем исходное число а. Округление должно производиться таким образом, чтобы
возникающая ошибка была минимальной.

Для оценки величины
ошибки вводят следующие характеристики:

- абсолютная погрешность
округления ;

- относительная
погрешность округления .

При необходимости могут
использоваться их предельные значения:

; .

Если округляется приближенное число, то погрешность полученного числа
включает две составляющие:

- погрешность округления;

- погрешность исходного
числа.

Округление чисел
производится по следующим правилам.

1.  Если первая из отбрасываемых цифр
меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется.

2.  Если первая из отбрасываемых цифр
больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.

3.  Если первая из отбрасываемых цифр
равна 5, и за ней идут не нули, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на
1.

4.  Если первая из отбрасываемых цифр
равна 5 и все значащие цифры, идущие за ней равны нулю, то последняя
сохраняемая цифра увеличивается на 1, если она нечетная, и не изменяется, если
она четная.

4. Погрешность суммы и разности приближенных чисел

Абсолютная погрешность
алгебраической суммы или разности нескольких приближенных чисел не превышает
суммы абсолютных погрешностей этих чисел:

;

.

Предельная абсолютная
погрешность суммы или разности определяется следующим образом:

;

.

Оценим относительную
погрешность  суммы приближенных чисел.
Пусть Х₁, Х₂ - точные числа одного знака, х₁,
х₂ - их приближения. Тогда

 £  (1)

где .

Предельная относительная
погрешность суммы двух чисел вычисляется как

, (2)

где .

Формулы (1) и (2) можно
обобщить на случай произвольного количества слагаемых:

Таким образом, при
суммировании чисел одного знака не происходит потери относительной точности,
что видно из приведенных соотношений.

Оценка относительной
погрешности для разности двух чисел осуществляется по формуле

 £ nd_max,

Где

; .

Формулы для предельных
относительных погрешностей имеют вид:

Очевидно, что для
разности приближенных чисел относительные погрешности возрастают в n раз, где n > 1. При этом возможна
существенная потеря точности, которая происходит в том случае, если числа X₁, X₂ настолько близки, что их сумма
значительно превышает их разность . Тогда
n >> 1, что приводит к полной
или почти полной потере точности. Такая ситуация называется катастрофической
потерей точности.

5. Погрешности произведения и
частного приближенных чисел

Формулы для оценки абсолютной погрешности произведения
и частного является более сложными, чем для суммы и разности. Поэтому для
частного и произведения абсолютные погрешности обычно определяют, используя известную
формулу

,

для a = x₁x₂...x_n или a = x₁/x₂, где относительная погрешность произведения приближенных
чисел определяется следующим образом:

Формула показывает, что относительные погрешности нескольких приближенных
чисел складываются при выполнении операции умножения над этими числами.

Для предельной относительной
погрешности формула имеет вид:

Аналогичным образом можно получить
оценки погрешности частного двух приближенных чисел:

;

6. Погрешность функции

Основная задача теории
погрешностей заключается в следующем: по известным значениям погрешностей
исходных данных определить погрешность некоторой функции от этих величин.

Пусть задана функция
f(x), значение которой требуется вычислить для приближенного значения аргумента
, имеющего известную
предельную абсолютную погрешность . Если
функция f(x) дифференцируема в точке x₀, то
погрешность ее значения в этой точке можно оценить как

погрешность вычислительный приближенный функция

.

Считается, что формула
справедлива, если относительные ошибки аргумента и результата малы по сравнению
с единицей, т.е.

dx₀ << 1 и df(x₀) << 1.

Нетрудно заметить, что
вычисление функции в точке с большим модулем производной может привести к
значительному увеличению погрешности результата по сравнению с погрешностью
аргумента (катастрофическая потеря точности).

7. Погрешность функции нескольких переменных

Пусть y = f(x₁, x₂, …, x_n) – приближенное значение функции от приближенных аргументов, , …, , которые имеют абсолютные
ошибки , , …, .

Для определения  используют принцип
наложения ошибок, согласно которому учитывают влияние погрешностей каждого из
аргументов в отдельности, а затем полученные погрешности суммируют. Для этого
вначале временно предполагают, что все аргументы, кроме x₁ являются точными числами, и находится соответствующая
частная ошибка, вносимая только погрешностью этого аргумента :

,

где производная
определяется по x₁. Затем вычисляется частная ошибка,
вносимая аргументом :

.

В итоге искомая
погрешность функции , определяется
суммой всех частных ошибок:

.

Условиями применимости
этой формулы считается выполнение следующих неравенств:

dx_i << 1 (i = ); d f(x₁, x₂, …, x_n) << 1.

8. Обратная задача теории погрешностей

Обратная задача теории
погрешностей заключается в определении погрешностей исходных данных по заданной
погрешности результата. С использованием понятия функции нескольких переменных
эта задача формулируются следующим образом: определить предельные погрешности
аргументов функции, чтобы погрешность функции в целом не превышала бы заданной
величины.

Эта задача является математически
неопределенной, так как одна и та же погрешность результата может быть получена
при разных погрешностях исходных данных. В простейшем случае для решения этой
задачи используют принцип равных влияний, согласно которому в формуле для
определения предельной абсолютной погрешности функции нескольких аргументов
вида

.

все слагаемые из правой части
принимаются равными:

Отсюда значения предельных
абсолютных погрешностей аргументов определяются следующим образом:

Список литературы

1. 
Адаптивные
телеизмерительные системы, под ред. А. Б. Фремке, М. 1981 г.

2. 
Левин, Плоткин,
Цифровые системы передачи информации, 1982 г.

3. 
Свиридов Н. Г.
Проектирование РТС передачи информации Рязань, РРТИ, 1988 г.