Задача 1 (16.88)
Минимизировать функцию f(x) на всей числовой оси методом Ньютона. Критерием достижения требуемой точности считать выполнение неравенства
Решение:
Найдем первую и вторую производные исходной функции:
Выберем начальное приближение
Результаты запишем в таблице
n | | | |
0 | 0 | 2 | 1 |
1 | -0,2 | 1,91 | -0,1649 |
2 | -0,175697 | 1,908525 | -0,0032 |
3 | -0,17520305 | 1,908524 | -0,0000013 |
n=1
n=2
n=3
n=4
Далее мы заканчиваем вычисления, потому что данная точность
Осуществим проверку при помощи встроенной функции Minimize:
Ответ:
Задача 2 (16.115)
Выписать матрицу Q квадратичной функции f(x), найти ее градиент
Решение:
Запишем исходную функцию в следующем виде:
где
Тогда матрица Q примет вид:
Найдем градиент
Подставляя в полученную матрицу
Теперь убедимся в выпуклости f(x) в
Так как
Проверка в Mathcad:
Проверка на выпуклость и нахождение градиента в точке x0
Ответ: градиент равен
Задача 3 (16.136)
Минимизировать квадратичную функцию методом наискорейшего спуска, заканчивая вычисления при
Решение:
Тогда производные исходной функции будут иметь вид:
Выберем начальное приближение
Для нахождения точки минимума функции
Зная
И так далее по выше описанной цепочке.
Реализуем решение данной задачи в математическом пакете Mathcad.
Функция имеет вид:
Тогда коэффициенты будут равны
Возьмем следующие начальное приближение
Далее пишем программу
В результате получаем искомое решение
Ответ:
Задача 4 (16.155)
Минимизировать функцию f(x) методом сопряженных направлений, заканчивая вычисления при
Решение:
Тогда частные производные исходной функции будут иметь вид:
Решение будем искать по следующему алгоритму:
Шаг 1.
Выбрав начальное приближение
Для нахождения точки минимума функции
=>>
Шаг 2.
Для нахождения точки минимума функции
=>>
откуда
Шаг 3.
Для нахождения точки минимума функции
=>>
Шаг 4.
следовательно требуемая точность достигнута и
Ответ:
Задача 5 (16.193)
Решить задачу линейного программирования графическим методом.
Решение:
Изобразим на плоскости
Линии AB соответствует уравнение
Направление убывания функции
Ответ:
Задача 6 (16.205)
Решить задачу линейного программирования в каноническом виде графическим методом.
Решение:
Матрица системы будет иметь следующий вид:
Ранг этой матрицы равен
Исключая с помощью полученной системы переменные
С учетом условия неотрицательности
Изобразим на плоскости
Линии AB соответствует уравнение
Направление убывания функции
Тогда любая точка минимума
где
Ответ: бесконечное множество решений
Задача 7 (16.216)
Решить задачу линейного программирования симплекс - методом, находя начальную угловую точку методом искусственного базиса.
Решение:
Матрица системы имеет вид
Ее ранг равен 3. Введем дополнительные переменные
Считая дополнительные переменные
| | | | ||
| 3 | -2 | 3 | 2 | 9 |
| 1 | 2 | -1 | 1 | 0 |
| -1 | -1 | 2 | 1 | 6 |
-3 | 1 | -4 | -4 | -15 |
Произведем преобразования исходной симплекс-таблицы симплекс-методом следующим образом:
смотрим на нижнюю строку – выбираем тот столбец, в котором нижний элемент отрицательный, если таких столбцов несколько, то выбираем любой (в нашем случае выбираем первый столбец
далее смотрим на последний и выбранный столбцы – сравниваем отношения элементов последнего и выбранного столбцов (в выбранном столбце берем только положительные числа), и выбираем тот элемент выбранного столбца, где отношение элементов будет наименьшим (в нашем случае 9/3 и 0/1, так как второе отношение наименьшее, следовательно, опорным элементом будет 1);
меняем местами переменные
на место опорного элемента ставим отношение 1/(опорный элемент);
на остальных местах разрешающей строки записываем соответствующие элементы исходной таблицы, деленные на опорный элемент;
на свободные места разрешающего столбца ставим со знаком минус соответствующие элементы исходной таблицы, деленные на опорный элемент;
оставшиеся свободные места в новой симплекс-таблице заполняем построчно следующим образом: из строки элементов исходной таблицы вычитаем произведение ее элемента из разрешающего столбца на уже заполненную разрешающую строку новой таблицы.
Производя преобразования симплекс-метода, получим такую последовательность симплекс-таблиц:
| | | | ||
| -3 | -8 | 6 | -1 | 9 |
| 1 | 2 | -1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 2 | 6 |
3 | 7 | -7 | -1 | -15 |
| | | | ||
| -2 | -6 | 5 | 1 | 9 |
| 1 | 2 | -1 | 1 | 0 |
| -1 | -3 | 3 | -2 | 6 |
4 | 9 | -8 | 1 | -15 |
| | | | ||
| -2/5 | -6/5 | 1/5 | 1/5 | 9/5 |
| 3/5 | 4/5 | 1/5 | 6/5 | 9/5 |
| 1/5 | 3/5 | -3/5 | -13/5 | 3/5 |
4/5 | -3/5 | 8/5 | 13/5 | -3/5 |
| | | | ||
| 0 | 2 | -1 | -5 | 3 |
| 1/3 | -4/3 | 1 | 14/3 | 1 |
| 1/3 | 5/3 | -1 | -13/3 | 1 |
1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
В нижней строке последней симплекс-таблицы нет отрицательных элементов, следовательно, минимум вспомогательной целевой функции достигнут и
Ответ:
Задача 8 (16.237)
Решить полностью целочисленную задачу линейного программирования методом Гомори.
Решение:
Введем дополнительные переменные
Считая дополнительные переменные
| | | | ||
| 1 | 0 | 2 | 1 | 8 |
| 1 | 1 | 0 | -1 | 4 |
| -1 | 2 | 1 | 3 | 6 |
-1 | -3 | -3 | -3 | -18 |
Произведем преобразования исходной симплекс-таблицы симплекс-методом следующим образом: смотрим на нижнюю строку – выбираем тот столбец, в котором нижний элемент отрицательный, если таких столбцов несколько, то выбираем любой (в нашем случае выбираем первый столбец
| | | | ||
| 4/3 | -2/3 | 5/3 | -1/3 | 6 |
| 2/3 | 5/3 | 1/3 | 1/3 | 6 |
| -1/3 | 2/3 | 1/3 | 1/3 | 2 |
-2 | -1 | -2 | 1 | -12 |
| | | | ||
| 1 | 1 | 2 | 0 | 8 |
| 3/2 | -5/2 | -1/2 | -1/2 | 1 |
| -1/2 | 3/2 | 1/2 | 1/2 | 3 |
-5/2 | 3/2 | -3/2 | 3/2 | -9 |
| | | | ||
| 1/2 | 1/2 | 1/2 | 0 | 4 |
| 7/4 | -9/4 | 1/4 | -1/2 | 3 |
| -3/4 | 5/4 | -1/4 | 1/2 | 1 |
-7/4 | 9/4 | 3/4 | 3/2 | -3 |
| | | | ||
| -2/7 | 8/7 | 3/7 | 1/7 | 22/7 |
| 4/7 | -9/7 | 1/7 | -2/7 | 12/7 |
| 3/7 | 2/7 | -1/7 | 2/7 | 16/7 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Как видим, в последней строке таблицы все элементы положительны, то есть получаем решение
Где
где фигурные скобки означают дробную часть.
Таким образом, мы получаем следующую таблицу:
| | | | ||
| -2/7 | 8/7 | 3/7 | 1/7 | 22/7 |
| 4/7 | -9/7 | 1/7 | -2/7 | 12/7 |
| 3/7 | 2/7 | -1/7 | 2/7 | 16/7 |
| 2/7 | -1/7 | -3/7 | -1/7 | -1/7 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Так как
Для перехода к допустимому базисному решению производятся следующие операции:
а) строка с отрицательным свободным членом
б) если все коэффициенты
в) совершается преобразование симплекс-таблицы с опорным элементом
Если в новой таблице по-прежнему есть хотя бы один отрицательный свободный член, то описанная процедура повторяется, начиная с операции а), необходимое число раз.
Применяя данные правила к нашей симплекс-таблице, мы получаем следующие преобразования:
| | | | ||
| -2/7 | 8/7 | 3/7 | 1/7 | 22/7 |
| 4/7 | -9/7 | 1/7 | -2/7 | 12/7 |
| 3/7 | 2/7 | -1/7 | 2/7 | 16/7 |
| 2/7 | -1/7 | -3/7 | -1/7 | -1/7 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| | | | ||
| 2 | 8 | -3 | -1 | 2 |
| -2 | -9 | 4 | 1 | 3 |
| 1 | 2 | -1 | 0 | 2 |
| -2 | -7 | 3 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Полученная симплекс-таблица не только соответствует допустимому базисному решению, но и дает решение рассматриваемой задачи:
Ответ:
Задача 9 (16.258)
Решить задачу дробно - линейного программирования.
Знаменатель
Вводим новые переменные
и получаем следующую задачу линейного программирования:
Неизвестные параметры мы можем уже из этих выражений найти:
Ответ:
Задача 10 (16.268)
Решить задачу квадратичного программирования.
Решение:
Матрица
На основании теоремы Куна-Таккера точка минимума
удовлетворяющее условию неотрицательности:
Применяя выше описанные условия, мы преобразуем исходную задачу в следующий вид:
Будем искать угловую точку множества, определяемого этой системой, методом искусственного базиса. Введем дополнительные переменные
Вспомогательную целевую функцию
Последовательность симплекс-таблиц, приводящих к решению задачи, приведена ниже. Рамками обведены опорные элементы, а те свободные переменные, которые на данном шаге нельзя переносить в базисные из-за условий
Как видим, в последней строчке нет отрицательных чисел, следовательно, мы нашли решение и оно имеет вид
Ответ:
Контрольная работа | Концепция информатизации Российской Федерации |
Контрольная работа | Причины агрессивного поведения. Методы работы с агрессивными детьми |
Контрольная работа | Алгоритм выбора и реализации предпринимательской идеи |
Контрольная работа | Современные методы арт-терапии |
Контрольная работа | Системы управления взаимоотношения с клиентами |
Контрольная работа | Учет материальных затрат в бухгалтерском учете |
Контрольная работа | Геополитическое положение России |
Контрольная работа | Особенности вознаграждения работников в организации |
Контрольная работа | Виды запасов |
Контрольная работа | Психоанализ |
Контрольная работа | Развитие и размещение ведущих отраслей промышленности Центрального федерального округа |
Контрольная работа | Социально-экономическое развитие Китая |
Контрольная работа | Основные принципы построения локальных вычислительных сетей |
Контрольная работа | Управление персоналом |
Контрольная работа | Введение в программирование |