Системы счисления и представления типов данных

Содержание

1.Позиционные системы счисления. 3

2.Переходы между основными системами счисления. 5

3.Основные 16‑ичные константы.. 5

4.Реализация целочисленных операций. 7

5.Представление отрицательных чисел. 8

6.Целочисленные типы данных в языке Си. 9

7.Вещественные типы данных в языке Си. 10

8.Кодирование символов. 12

9.Схемы алгоритмов. 14

1. Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления (СС) – это системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в записи числа. Например:

1) шестидесятиричная (Древний Вавилон) – первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1 мин = 60 с, 1 ч = 60 мин);

2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. Число12 – «дюжина»: в сутках две дюжины часов. Счет не по пальцам. а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12;

3) в настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Система счисления – способ записи (изображения) чисел. Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами. Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например: Алфавиты некоторых позиционных систем счисления. Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Двоичная система: {0, 1}

Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Шестнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда. Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления.

Десятичная система: 10⁰
, 10¹
, 10²
, 10³
, 10⁴
,…, 10ⁿ
,…

Двоичная система: 2⁰
, 2¹
, 2²
, 2³
, 2⁴
,…, 2ⁿ
,…

Восьмеричная система: 8⁰
, 8¹
, 8²
, 8³
, 8⁴
,…, 8ⁿ
,…

Свернутой формой записи числа называется запись в виде

A=a_n
-1
a_n
-2
…a₁
a₀
.a_-1
…a_-
m

Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

Пример
. Десятичное число 4718,63, двоичное число 1001,1, восьмеричное число 7764,1, шестнадцатеричное число 3АF16

Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля. В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем десятичном виде:

А= ± (a_n-1
q^n-1
+a_n-2
q^n-2
+ … +a₀
q⁰
+a_-1
q^-1
+a_-2
q^-2
+ … +a_-
m
q^-
m
)

Здесь А – само число, q – основание системы счисления, a_i
– цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n – число целых разрядов числа, m – число дробных разрядов числа. Развернутая форма записи числа – сумма произведений коэффициентов на степени основания системы счисления.

Пример
. Десятичное число А₁₀
= 4718,63 в развернутой форме запишется так:

А₁₀
= 4·10³
+ 7·10²
+ 1·10¹
+ 8·10⁰
+ 6·10^-1
+ 3·10^-2

Двоичное число А₂
= 1001,1 = 1·2³
+ 0·2²
+ 0·2¹
+ 1·2⁰
+ 1·2^-1

Восьмеричное число А₈
= 7764,1 = 7·8³
+ 7·8²
+ 6·8¹
+ 4·8⁰
+ 1·8^-1

Шестнадцатеричное число А₁₆
= 3АF16 = 3·16²
+ 10·16¹
+ 15·16⁰

2. Переходы между основными системами счисления

Основные СС имеют основания 2, 8,10, 16. Системы с основаниями 2, 8 и 16 являются родственными, так как их основания являются степенями двойки. Переходы между ними реализуются легко.

2 ® 8. Двоичное число разбивается справа налево на триады (тройки цифр) и каждая триада заменяется на 8‑ичную цифру.

2 ® 16. Двоичное число разбивается справа налево на тетрады (четверки цифр) и каждая тетрада заменяется на 16‑ичную цифру.

8 ® 16 и 16 ® 8. Преобразование идет через двоичную СС.

Любое основание ® 10. Осуществляется по определению позиционной системы счисления.

10 ® 16. Имеется два способа преобразования.

1. Метод деления «уголком» строит результирующее 16‑ичное число от младших цифр к старшим. Для этого запоминаются целые остатки от деления исходного числа на 16, пока частное не станет равным 0. Записывая эти остатки в обратном порядке, получим ответ.

2. Метод «вычерпывания» состоит из нескольких итераций. На каждой итерации исходное число х оценивается снизу максимальной степенью m нового основания p= 16: х ≥ 16^m
. Затем определяем число r вхождений степени 16^m
в число х. Наконец, 16‑ичную цифру r записываем в результирующее число в разряд с номером m. Число x заменяем на меньшее число х – r · 16^m
. Если новое число х = 0, то алгоритм заканчивается, и остальные разряды результата заполняем нулями. В противном случае, переходим к следующей итерации.

3. Основные 16‑ичные константы

Большинство числовых констант, которые встречаются в компьютерной технике, являются круглыми шестнадцатеричными числами. Эти числа обычно записывают в десятично-буквенном виде, имеющем формат ab, где а – десятичное число, b – буква.

Таблица 1.Шестнадцатеричные константы

Следующая таблица содержит популярные степени числа 2, а также их русские и английские названия.

Таблица 2. Степени числа 2

Последние строки кратных единиц были дополнены ГОСТом в 1991. Вычисления с числами, представленными в десятично-буквенном виде, можно осуществлять без перехода в десятичную СС. Например, 32 Т / 256 К = 2⁴⁵
/ 2¹⁸
= 2²⁷
= 128 М.

Таблицы 1 и 2 позволяют переводить 16‑ичные числа в десятично-буквенную запись без применения вычислительных средств. Например,
0х7D8A30 = 7·0x100000 + 13·0x10000 + 8·0x1000 + 10·0x100 + 3·16 = 7 M + 13·64 K + 8·4 K + 10·(K/4) + 48 = 7 M + 866,5 K + 48.

Отметим, что для десятично-буквенных чисел не выполняется дистрибутивный закон, то есть 1 М + 100 К не равен 1,1 М.

4. Реализация целочисленных операций

Представление чисел в компьютере осуществляется в двоичной СС. Однако для краткости записи чисел используют родственную 16‑ичную СС.

Определение 1
. Логическим адресом ячейки памяти в ОЗУ с 20‑битной адресной шиной называется запись xxxx:yyyy, где хххх – шестнадцатеричный сегментный адрес, yyyy – шестнадцатеричное смещение. Физическим адресом этой ячейки называется число xxxx0 + yyyy.

Пример
. Область кода программы расположена с ячейки 55А3:3000 по ячейку 9EEF:A0FF. Оценить размер области в килобайтах.

Решение
. Физический адрес начала области 0х55А30 + 0х3000 = 0х58A30, конца области 0х9EEF0 + 0хA0FF = 0хA8FEF. Размер этой области равен 0хA8FEF– 0х58A30 + 1 = 0x505C0 = 5·64 К + 0·4 К + 10· (К/4) + 12·16= (320 + 2,5) К + 192 = 322,5 К + 192.

Определение 2
. Нормализованным адресом ячейки памяти ОЗУ с 20‑битной адресной шиной называется запись xxxx:yyyy, где хххх – шестнадцатеричное число, yyyy – шестнадцатеричное смещение, не превосходящее размера параграфа, то есть из диапазона от 0 до 15.

Арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления с 16‑ичными числами осуществляются аналогично 10‑ичным числам, то есть «столбиком». Однако, имеются некоторые отличия.

Пример
. Критерии деления 16‑ичного целого числа на 3 и на 5 выглядят одинаково: сумма цифр должна делится, соответственно, на 3 и на 5.

Пример
. Оказывается в 16‑ичной СС 0x11²
= 0x121, 0x12²
= 0x144, 0x13²
= 0x169.

Пример
. Десятичное число 0,1 нельзя представить в виде конечной 2‑ичной дроби A= 0, a_-1
…a_-
m
= a_-1
2^-1
+ a_-2
2^-2
+… + a_-
m
2^-
m
. В противном случае, умножая равенство 0,1 = А на 10·2^m
, получим 2^m
= 10·(a_-1
2^m
-1
+
a_-2
2^m
-2
+… + a_-
m
2⁰
). Последнее равенство невозможно, так как правая часть делится на 5, а левая – нет.

5. Представление отрицательных чисел

Целые отрицательные числа хранятся в компьютере в двоичном «дополнительном» коде: положительное двоичное число необходимо побитово инвертировать и прибавить единицу.

Этот код основан на простом соображении, что x+ (-x) = 0 при сложении двоичных чисел столбиком. При этом единица, которая переходит из старшего 7‑го бита в несуществующий 8‑ой бит, пропадает. Например, для однобайтного числа x = 5 имеем

x = 5 = 0000 0101

+

– x = -5 = **** ****

____________________

0 = 0 = 0000 0000

Теперь конструируем число -5 = 1111 1011.

6. Целочисленные типы данных в языке Си

Таблица 3. Целочисленные типы данных

По умолчанию целые десятичные константы имеют тип int. Поэтому все целые числа должны содержаться в диапазоне -32758… 32757. Например, запись x = 100000 будет ошибочна независимо от типа переменной x. Для обозначения целой константы типа long используется суффикс l. Тогда инициализация longx = 100000l будет корректна.

Компилятор не проверяет выход результата целочисленного выражения за диапазон типа. Запись longx = 20000 + 20000 будет ошибочна, так как 40000 не содержится в диапазоне типа int. Это будет «хорошо скрытая» ошибка. Реально x будет содержать значение
40000 – 64 К. Запись longx = 20000l + 20000 будет уже корректна, так как результат будет иметь уже тип long.

Построим область корректного сложения для типа char.

char x, y, z;

x = y = 100;

z = x + y;

Нарисуем в системе координат (x, y) множество, для которого z будет содержать корректный ответ. Имеем систему

решением которой является шестиугольник.

Рис. 1. Диапазон корректного сложения

7. Вещественные типы данных в языке Си

Вещественные типы всегда имеют знак.

Определение 3
. Нормализованной формой ненулевого числа x называется запись x = M×10^p
, где M– мантисса, 0,1 £½M½ < 1, p – порядок числа х.

Нормализованная форма числа единственна.

Таблица 4. Вещественные типы данных

Определение 4
. Машинным нулем для данного вещественного типа называется минимальное положительное число того же типа

m₀
= min {x: x > 0}.

Определение 5
. Машинным эпсилон для данного вещественного типа называется минимальное число того же типа, для которого 1 + x > 1

m_e
= min {x: 1 + x > 1}.

Определение 6
. Машинной бесконечностью для данного вещественного типа называется максимальное число того же типа

m_¥
= max{x}.

По диапазону типа можно определить m₀
, m_¥
. Машинный эпсилон определяется размером мантиссы. Так, например, для типа float имеем

m₀
= 3,4×10^-38
, m_¥
= 3,4×10³⁸
, m_e
» 10^-8
.

Определение 7
. «Правым соседом» числа x данного вещественного типа назовем минимальное число y того же типа, для которого x < y

«Правый сосед» х = min {y: x < y}.

«Правый сосед» числа х больше самого х на величину равную

m_e
× 10^{порядок числа х}
.

Приближенно можно считать, что «правый сосед» числа х » х + m_e
×x.

Например, для типа float «правый сосед» числа 10¹⁰
» 10¹⁰
+ 10^-8
× 10¹⁰
= 10¹⁰
+ 100.

Таким образом, вещественные числа данного типа расположены на числовой прямой неравномерно, чем больше числа, тем больше расстояние между соседними числами. Этот факт следует учитывать при организации циклов: шаг цикла должен быть больше, чем расстояние между соседними числами.

Параметры типа в таблице 4 связаны между собой.

Задача
. Вещественный тип doom занимает 15 байт, под порядок отведено 30 бит. Определить остальные параметры этого типа.

Решение
. Порядок занимает 30 бит, поэтому минимальное двоичное значение порядка равно -2²⁹
. Для перевода этого числа к десятичному основанию решим показательное уравнение -2²⁹
= -10^х
. Логарифмируя по основанию 10, получаем х = 29 ×lg2 » 29 × 0,3010 = 8,729. Таким образом, m₀
равен » 0,5 × 10^{-
161290865,49}
» 1,54 × 10^-
161290865
.

Мантисса в двоичной системе счисления занимает 90 бит, из которых один бит определяет знак мантиссы. Так как первые знаки двоичной мантиссы равны 0,1 и всегда одинаковы, то под них память не отводится. Поэтому остальные 89 бит мантиссы занимают разряды с номерами от -2 до -90. «Правый сосед» единицы равен 0,100…001₂
× 2¹
, где последняя единица стоит в -90‑ом разряде. Тогда

m_e
= 2^-89
= 10^{-89
×
lg
(2)}
= 10^-26
,
7
9
= 6,17 ×10^-26

8. Кодирование символов

Для кодирования символов с помощью одного байта используется ASCII‑таблица (AmericanStandardCodeforInformationInterchage)

В ASCII‑таблице содержатся различные символы и соответствующие им коды. Например, символу ‘0’ соответствует код 0x30 = 48. Символы и строки хранятся в памяти в виде соответствующих кодов из ASCII‑таблицы. Например, строка «123» в памяти будет храниться в виде последовательности байт 0х31 0х32 0х33 0х00. Иногда строки, у которых 0 является признаком конца, называют asciiz‑строками.

Таблица 5. ASCII – таблица символов

Основная таблица ASCII	Расширенная таблица ASCII

Символу ‘b’ соответствует «ASCII‑код» 0x62. В десятичной системе это будет 98, а в двоичной – 01100010. Код символа ‘b’ вы можете посмотреть из ASCII‑таблицы. Таблицы символов для разных шрифтов можно найти с помощью программы Таблица Символов: Пуск – Стандартные – Системные утилиты – Таблица Символов).

В русской кодировочной странице 866 буква Ё имеет код 0xF0, а буква ё – код 0хF1.

В языке Си символьные константы обозначаются ‘\xxx’, где ххх – код этого символа, записанный в восьмеричной СС. Иначе говоря,
‘\xxx’ – это код символа, у которого код равен ххх.

Примеры
. 1. Количество букв в английском алфавите равно
‘Z’ – ‘A’ + 1.

2. Количество букв в русском алфавите равно ‘Я’ – ‘А’ + 2.

9. Схемы алгоритмов

Для облегчения вычерчивания и нахождения на схеме символов рекомендуется поле листа разбивать на зоны. Размеры зон устанавливают с учетом минимальных размеров символов, изображенных на данном листе. Допускается один символ размещать в двух и более зонах, если размер символа превышает размер зоны. Координаты зоны проставляют: по горизонтали – арабскими цифрами слева направо в верхней части листа; по вертикали – прописными буквами латинского алфавита сверху вниз в левой части листа. Координаты зон в виде сочетания букв и цифр присваивают символам, вписанным в поля этих зон, например: A1, A2, A3, B1, B2, B3 и т.д. Если поле листа не разбито на зоны, символам присваивают порядковые номера.

Линии потока должны быть параллельны линиям внешней рамки схемы. Направления линий потока сверху вниз и слева направо принимают за основные и, если линии потока не имеют изломов, стрелками можно не обозначать. В остальных случаях направление линии потока обозначать стрелкой обязательно.

Сокращения слов и аббревиатуры, кроме стандартных и общепринятых, должны быть расшифрованы в нижней части поля схемы или в документе, к которому эта схема относится. Записи внутри символа должны быть представлены так, чтобы их можно было читать слева направо и сверху вниз, независимо от направления потока. (вид а

должен быть прочитан как вид б

).

Рис. 2. Эквивалентные фрагменты схемы алгоритма

Таблица 6. Соединитель

Обозначение	Комментарии	Использование
	E5 , B1 , A , 5 – идентификаторы соединителей в виде: буквы и цифры (координаты зоны листа)	При большой насыщенности схемы символами отдельные линии потока между удаленными друг от друга символами допускается обрывать. При этом в конце (начале) обрыва должен быть помещен символ «Соединитель»
	буквы
	цифры

Таблица 7. Межстраничный соединитель

Обозначение	Комментарии	Использование
	Первая строка внутри межстраничного соединителя определяет номер листа схемы, вторая – координату символа	а) связываемые линией потока символы находятся на разных листах
	A3 – определяет зону на данном листе, где расположен символ «Комментарий» 010E3 – определяет номер листа и зону расположения, связываемую с символом E3	б) в случае связи некоторого символа со многими другими символами, расположенными на разных листах, на входе этого символа помещают один символ «Межстраничный соединитель», внутри которого на первой строке помещают знак #, а на второй строке – координаты символа «Комментарий». Внутри символа «Комментарий» указывают номера страниц и координаты символов, связанных с поясняемым символом

Таблица 8. Линии потока

Обозначение	Комментарии	Использование
	Применяют для указания направления линии потока: можно без стрелки, если линия направлена слева направо и сверху вниз; со стрелкой – в остальных случаях
	Излом линии потока под углом 90о	Обозначает изменение направлений линии потока
	Пересечение линий потока	Применяется в случае пересечения двух несвязанных линий потока
	Слияние линий потока. Место слияний линий потока обозначено точкой	Применяется в случае слияния линий потока, каждая из которых направлена к одному и тому же символу на схеме. Место слияния линий потока допускается обозначать точкой или цифрой 0.
	Место слияний линий потока обозначено цифрой 0

Таблица 9. Возможные варианты отображения решения

Обозначение	Комментарии	Использование
	A = B , P ≥ 0 – условия решений; A , B , P – параметры	При числе исходов не более трех признак условия решения (Да, Нет, =, >, <) проставляют над каждой линией потока или справа от линии потока
	yi – условие i ‑го исхода, 011T1 , 016A3 , 005B5 , 015T4 – адреса исходов. Структура адреса имеет вид:	При числе исходов более трех условие исхода проставляется в разрыве линии потока. Адрес исхода проставляется в продолжении условия исхода и отделяется от него пробелом
	B5 – знак, указывающий, что условия решения даются в виде таблицы или символа «Комментарий», расположенных на данном листе в зоне B5	в символе «Соединитель» указывают координату зоны, куда должна помещаться таблица или символ «Комментарий»

Таблица 10

Символы в схемах алгоритмов

Название символа	Обозначение	Использование
1. Процесс		Выполнение операции или группы операций, в результате которых изменяется значение, форма представления или расположение данных
2. Решение		Выбор направления выполнения алгоритма или программы в зависимости от некоторых переменных условий
3. Модификация		Выполнение операций, меняющих команды, или группы команд, изменяющих программу
4. Предопреде ленный процесс		Использование ранее созданных и отдельно описанных алгоритмов или программ
5. Ручной ввод		Ввод данных вручную при помощи неавтономных устройства с клавиатурой, переключателей, кнопок
6. Ввод-вывод		Преобразование данных в форму, пригодную для обработки (ввод) или отображения результатов обработки (вывод)
7. Документ		Ввод-вывод данных, носителем которых служит бумага
8. Файл		Представление организованных на основе общих признаков данных, характеризующих в совокупности некоторый объект обработки данных. Символ используется в сочетании с символами конкретных носителей данных, выполняющих функции ввода-вывода.
9. Линия потока		Указание последовательности связей между символами
10. Соединитель		Указание связи между прерванными линиями потока, соединяющими символы
11. Пуск-останов		Начало, конец, прерывание процесса обработки данных или выполнения программы
12. Комментарий		Связь между элементом схемы и пояснением
13. Межстраничный соединитель		Указание связи между разъединенными частями схем алгоритмов и программ, расположенных на разных листах

Размер a должен выбираться из ряда 10, 15, 20 мм. Допускается увеличивать размер a на число, кратное 5. Размер b равен 1,5 × a. При ручном выполнении схем алгоритмов и программ допускается устанавливать b равным 2 × a.