Интересные примеры в метрических пространствах

Интересные примеры

в метрических пространствах:

1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром , то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.

Единичная сфера S в пространстве l₂ дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:

е₁=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),

е₂=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),

…………………………,

е_n=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),

………………………….

Расстояние между любыми двумя точками е_n и е_м (nm) равно . Поэтому последовательность {е_i} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной -сети ни при каком <2/2.

Рассмотрим в l₂ множество П точек

x=(x₁, x₂, , x_n, ...),

удовлетворяющих условиям:

| x₁|1, | x₂|1/2, ,| x_n|1/2^n-1, ...

Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l₂. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.

Пусть >0 задано. Выберем n так, что 1/2^n-1</2. Каждой точке x=(x₁, x₂, , x_n, ...)

из П сопоставим точку x*=(x₁, x₂, , x_n, 0, 0, ...)

из того же множества. При этом

(x,x*)<1/2^n-1</2.

Множество П* точек вида x*=(x₁, x₂, , x_n, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную /2-сеть. Она будет в то же время -сетью во всем П. Докажем это.

Доказательство: для , выберем n так, что 1/2^n-1</2.

xП: x=(x₁, x₂, , x_n, ...) сопоставим

x*=(x₁, x₂, , x_n, 0, 0, ...) и x*П. При этом (x,x*)</2. Из пространства П выберем x**: (x*,x**)</2.

Тогда: (x,x**)(x,x*)+(x*,x**)</2+/2=.

Множество П* содержит точки вида x*=(x₁, x₂, , x_n, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную /2-сеть. Она будет -сетью в пространстве П, так как (x,x**)<.