Одно из свойств программы, которое нас может интересовать, чтобы избежать возможных ошибок в ПС, является ее завершимость, т.е. отсутствие в ней зацикливания при тех или иных исходных данных. В рассмотренных нами структурированных программах источником зацикливания может быть только конструкция повторения. Поэтому для доказательства завершимости программы достаточно уметь доказывать завершимость оператора цикла. Для этого полезна следующая
Теорема 9.7. Пусть F - целочисленная функция, зависящая от состояния информационной среды и удовлетворяющая следующим условиям:
(1) если для данного состояния информационной среды истинен предикат Q, то ее значение положительно;
(2) она убывает при изменении состояния информационной среды в результате выполнения оператора S.
Тогда выполнение оператора цикла
ПОКА Q ДЕЛАТЬ S ВСЕ ПОКА завершается.
Доказательство. Пусть is - состояние информационной среды перед выполнением оператора цикла и пусть F(is)=k. Если предикат Q(is) ложен, то выполнение оператора цикла завершается. Если же Q(is) истинен, то по условию теоремы k>0. В этом случае будет выполняться оператор S один или более раз. После каждого выполнения оператора S по условию теоремы значение функции F уменьшается, а так как перед выполнением оператора S предикат Q должен быть истинен (по семантике оператора цикла), то значение функции F в этот момент должно быть положительно (по условию теоремы). Поэтому в силу целочисленности функции F оператор S в этом циклене может выполняться более k раз. Теорема доказана.
Например, для рассмотренного выше примера оператора циклаусловиям теоремы 9.7 удовлетворяет функция f(n, m)= n-m. Так как перед выполнением оператора цикла m=1, то тело этого цикла будет выполняться (n-1) раз, т.е. этот оператор цикла завершается.