47
Содержание.
2.3. Физические модели при отработке техники интегрирования
2.4. Приложения интеграла в физике
Заключение
Библиография
Приложение
Введение.
Как известно, эффективному обучению во многом способствует решение задач с практическим содержанием. Потребность в использовании практических материалов при обучении школьников математике диктуется тем, что возникновение, формирование и развитие математических понятий имеют своим источником ощущения и восприятия, а также и тем, что в познавательной деятельности учащегося имеет место тесная связь логических процессов мышления и чувственных восприятий. Поэтому обращение к примерам из жизни, окружающей обстановке облегчает учителю возможность организовать учебную деятельность учащихся и поддерживать их интерес к обучению. В то же время, бурное развитие математики и физики не могло не наложить определенного отпечатка на уровень развития и направление интересов учащихся. Интерес молодежи к технике, физике и математике растет с каждым днем.
Математика использует физические задачи для иллюстрации некоторых процессов, явлений и их исследования. Физики же не могут обойтись без аппарата математики. Интеграл - не исключение. Определенный класс задач решается с его использованием. Поэтому довольно актуальным становится обучение учащихся математике (в частности изучение темы «Интеграл») через прикладные задачи физики.
Понятие интеграла является одним из основных в математике. Изучение этой темы завершает школьный курс математического анализа, знакомит учащихся с новым инструментом познания мира, а рассмотрение в школе применения интегрального исчисления к важнейшим разделам физики показывает учащимся значение и силу высшей математики.
Понятие интеграла не на много сложнее таких понятий, как «неизвестная величина» или «подобие треугольников», которые незыблемо входят в школьную программу. Давно пора сделать понятие интеграла достоянием всякого культурного человека, чем бы он ни занимался.
Анализ учебников и учебных пособий, содержащих материал по данной теме, показывает наличие разных мнений по поводу изложения этого достаточно сложного материала в школьном курсе и в определении содержания, необходимого для успешного усвоения и понимания основ интегрального исчисления.
Таким образом, актуальность темы работы обусловлена:
· необходимостью полноценного изучения важнейших элементов интегрального исчисления в основной школе в связи с огромной значимостью и важностью этого материала для учащихся;
· недостаточной разработанностью методики преподавания этого материала с помощью использования физических моделей в школьном курсе математики.
Исходя из вышесказанного, для исследования была выбрана тема «Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах».
Проблемой исследования является поиск путей методически грамотного применения физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники вычисления интегралов и изучении приложений с учетом психолого-педагогических основ изучения данной темы.
Объект исследования - процесс изучения основ интегрального исчисления с использованием физических моделей в курсе математики основной школы.
Предмет исследования - физические модели при изучении темы «Интеграл».
Основные цели данной работы - изучить различные подходы к введению понятия интеграла, изучению его свойств и приложений, определить достоинства и недостатки этих подходов, разработать методику изучения интеграла с использованием физических моделей, проанализировать и сделать выводы о правильности и целесообразности разработанной методики.
Гипотеза: изучение основ интегрального исчисления с помощью разработанной методики способствует осознанному качественному усвоению школьниками этого материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в физике.
Задачи исследования:
1. изучить и проанализировать научную, учебно-методическую и психолого-педагогическую литературу по теме исследования;
2. на основе анализа литературы разработать методику изучения некоторых вопросов интегрального исчисления в курсе математики основной школы;
Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных задач были использованы следующие методы:
1. изучение учебных пособий и методической литературы, содержащей этот материал;
2. анализ психологической, педагогической и методической литературы по данной теме.
Практически во всех науках о природе, живой и неживой, об обществе, построение и использование моделей является мощным орудием познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность, и исследование вначале этой модели. Многовековой опыт развития науки доказал на практике плодотворность такого подхода.
Под моделью понимается объект, воплощающий данную идею или интерпретирующий некоторую теорию. Построение объекта называется конкретизацией, или моделированием.
Моделирование представляет собой обязательный этап процесса научного познания. Между моделью и моделируемым объектом имеется определенное отношение - модельное отношение. Это отношение показывает, в каком смысле оригинал и его модель подобны, аналогичны.[9]
Применение метода моделирования при изучении математики в школе дает возможность получить наиболее достоверные (поскольку доказательство некоторых математических фактов в школьном курсе не предусмотрено) и наглядные результаты, раздвинуть границы знаний учащихся об окружающем мире, развивать их мышление.
Модель должна быть наилучшим образом приспособлена к восприятию учащихся и учитывать их психологические особенности. В процессе обучения учитель обязан помогать учащимся формировать научный взгляд на мир. В процессе моделирования учащиеся могут научиться таким операциям, как анализ изучаемого объекта, выполнение доказательств, объяснений и т.п.[9]
Операции над моделями учат школьников умению абстрагировать, конструировать, обобщать, т.е. способствуют развитию мышления. Таким образом, моделируя, учащиеся развивают свое логическое мышление.
В моделировании есть два заметно разных пути. Модель может быть похожей копией объекта, выполненной из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Модель может, однако, отображать реальность более абстрактно - словесным описанием в свободной форме, описанием, формализованным по каким-то правилам, математическими соотношениями и т.д.
Современная физика - часть общечеловеческой культуры, характеризующей интеллектуальный уровень общества, степень понимания основ мироздания. Среди других наук физика по-прежнему сохраняет роль лидера естествознания, определяя стиль и уровень научного мышления. [9]
Поэтому среди возможных моделей при изучении математики в школе (в частности темы «Интеграл») наиболее актуальными являются физические модели. В работе были использованы:
· известные законы физики (например, второй закон Ньютона в импульсном представлении, всемирный закон притяжения);
· модели физических явлений, выраженные формулами, известными из школьных учебников физики (например, формула мощности постоянного тока, силы взаимодействия между зарядами);
· задачи с физическим содержанием (например, задача о вытекании воды из сосуда, давлении жидкости на стенку).
1.2. Психолого - педагогические и методические основы изучения интеграла в школьном курсе математики
Необходимость изучения интеграла в школе характеризуется тем, что:
1. если изучать только производную, но не изучать интеграл, то цикл анализа одной переменной не будет завершен;
2. в приложениях (в том числе в физике) гораздо чаще, чем задачи на вычисление производной, её применение, используются задачи с использованием интеграла, интеграла и производной;
3. понятие интеграла очень существенно для общего образования учащихся (человек раньше стал решать интегральные задачи).
Целью изучения математического анализа (в том числе интегрального исчисления) в общеобразовательной школе является:
1. овладение основными понятиями (в частности, понятием интеграла);
2. обучение решению простейших задач на применение начал анализа в других школьных дисциплинах, в практике;
При рассмотрении понятия интеграла в школах с углубленным изучением математики возможно также и обучение простейшим методам интегрирования (технике вычисления интеграла).
Учителю в своей работе необходимо учитывать факторы, влияющие на успешность обучения.
Во-первых, следует тщательно отбирать теоретический материал, сочетая научность и доступность изложения. И хотя полностью реализовать принцип научности при изучении интеграла не удается, у учащихся все же формируются правильные представления о процессе познания и его закономерностях.
Содержание, формы и методы обучения должны учитывать реальные возможности учащихся, но, тем не менее, иметь достаточно высокий уровень трудности.
Во-вторых, необходимо учитывать общий уровень математической подготовки учащихся, особенности их мышления и восприятия и, в соответствие с этим, выбирать тот или иной путь изложения материала.
В-третьих, для лучшего запоминания материала, развития наблюдательности, для иллюстрации мыслей необходимо применять на уроке различные виды наглядности (чертежи, графики…)
И, наконец, в-четвертых, важную роль играет систематичность и последовательность в обучении.
Стройное, логичное изложение теоретического материала, а также хорошо подобранная система упражнений способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи учащихся, формирует такие специальные качества, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их. Т. е., является одним из средств достижения цели общего образования.
Систему упражнений нужно строить так, чтобы способствовать усвоению основных понятий, активизировать мыслительную деятельность учащихся и постоянно поддерживать их интерес к уроку. Этому помогут задачи на исследование, доказательство.
При формировании основного понятия (интеграла) необходимо учитывать, что оно даётся в достаточно общей, абстрактной форме. Потому главная трудность состоит в конкретизации, т. е. в умении видеть за математическими терминами и их определениями конкретные образы. Здесь большую помощь ученику должны оказать хорошо подобранные примеры.
Так как изучаемое понятие достаточно сложно, то существует несколько стадий его усвоения. Хорошо овладеть понятием интеграла учащимся помогут специально подобранные упражнения.
Помимо знания определения понятия ученик должен, по возможности, иметь о них зрительное представление (например, определенный интеграл - перемещение точки за промежуток времени). Раз усвоенные физические образы, рисующие картину рассматриваемого явления, надолго остаются в памяти и живут в воображении изучающего.
Каждый теоретический факт, даже и доказанный учащимися самостоятельно, следует по возможности немедленно закреплять при выполнении конкретных упражнений.
Важно показывать учащимся прикладную значимость материала при изучении других школьных дисциплин, в частности, различных разделов физики.
1.3. Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа
Проведём анализ некоторых школьных учебников алгебры и начал анализа с точки зрения использования различных подходов введении понятия интеграла, рассматриваемых в них приложений интеграла в физике.
В учебниках, как правило, используются следующие подходы к введению понятия определенного интеграла:
1. Интеграл как предел интегральных сумм.
Этот подход предполагает введение операции интегрирования как независимой операции; при этом интеграл определяется как предел последовательности, составленной из интегральных сумм. Начинается изучение в этом случае с рассмотрения конкретных задач, например, задачи о площади под кривой; задачи о работе силы и др. Затем, обобщив полученные результаты, переходят к определению интеграла как предела интегральных сумм.
Хотя данное определение громоздко, но идея метода наглядна (геометрическая интерпретация - площадь криволинейной трапеции). Вместе с определением интеграла получают и способ его вычисления. Но на практике для вычисления интеграла используют формулу Ньютона - Лейбница, которую при данном подходе необходимо доказать.
1) В учебнике А. Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа» при введении интеграла рассматривается задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Автор приводит в учебнике два способа вычисления площади криволинейной трапеции: с помощью теоремы о площади криволинейной трапеции и с помощью интегральных сумм. Второй способ сводится к определению интеграла. С помощью интегральных сумм выводятся также формулы для вычисления объемов тел, работы переменной силы, а также нахождения массы стержня и центра масс.
Среди применений интеграла в данном учебнике выводится формула для нахождения работы переменной силы, формула вычисления массы стержня и центра масс. Все формулы выводятся одним способом: с помощью интегральных сумм. Для самостоятельного решения учащимся предлагается задача о нахождении кинетической энергии стержня и несколько задач на уже рассмотренные формулы. Причем задачи делятся на несколько уровней сложности, в том числе задачи повышенной трудности.
2) В учебнике Мордковича А. Г. «Алгебра и начала анализа» при введении понятия «Определенный интеграл» рассматриваются задачи, приводящие к данному понятию, а именно задача о вычислении площади криволинейной трапеции, задача о вычислении массы стержня и задача о перемещении точки. Все три задачи при их решении приводятся к одной и той же математической модели. При чем говорится о том, что многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Далее дается математическое описание этой модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для непрерывной на отрезке [a; b] функции y=f(x):
1) разбивают отрезок [a; b] на n равных частей;
2) составляют сумму
Sn=f(x0)Дx0+f(x1) Дx1+…+f(xk) Дxk+…+f(xn-1) Дxn-1;
3) вычисляют .
Автор учебника поясняет, что в курсе математического анализа доказано, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a; b].
После чего автор учебника возвращается к трем рассмотренным ранее задачам и результат, полученный при их решении, переписывает следующим образом:
· , где S - площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x);
· , где m - масса неоднородного стержня с плотностью p(х);
· , где s - перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t).
В учебнике в физических приложениях интеграла приводятся те же задачи, что и при введении понятия интеграла, а именно задачи о массе стержня и перемещении точки. Этим автор учебника и ограничивает изучение приложений интеграла в физике.
3) В учебнике М. И. Башмакова «Алгебра и начала анализа» тема «Интеграл и его применение» выделена в отдельную главу. Автор дает следующее определение интеграла: «Пусть дана положительная функция f, определенная на конечном отрезке [a; b]. Интегралом от функции f на отрезке [a; b] называется площадь её подграфика». Далее показывается, как вычислить эту площадь с помощью интегральных сумм и делается вывод, что интеграл равен пределу интегральных сумм. Иллюстрируется этот метод на задаче о нахождении объема лимона и нахождении работы по перемещению точки.
В данном учебнике рассмотрены наиболее разнообразные примеры приложений интеграла в физике. Задачи о работе силы, перемещении точки, о вычислении массы стержня, электрического заряда и нахождение давления воды на плотину приводятся в учебнике вместе с их теоретическим обоснованием (выводом). Без вывода представлены формулы нахождения работы по известной мощности и количества теплоты по известной теплоемкости. Однако, для самостоятельного решения учащимся предлагается мало задач.
4) В учебнике Никольского С. М. «Алгебра и начала анализа» рассмотрение задачи о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к понятию интегральных сумм и пределу от них, после чего вводится определение определенного интеграла. Теоретическое обоснование применения определенного интеграла рассматривается в таких физических задачах, как задачи на работу силы, работу электрического заряда, на вычисление массы стержня переменной плотности, давления жидкости на стенку и центра тяжести. Среди приложений интеграла в физике рассматриваются следующие задачи (вместе с теоретическим их обоснованием): задачи о работе силы, работе электрического заряда, задача о массе стержня переменной плотности, задача о давлении жидкости на стенку, задача о нахождении центра тяжести системы материальных точек. Однако, автор учебника приводит очень скупую систему упражнений, при чем не использует в практических задачах и половины тех формул, которые были ранее выведены.
2. Интеграл как приращение первообразной.
Этот подход предполагает введение операции интегрирования как операции, обратной дифференцированию. При этом формула Ньютона - Лейбница практически служит определением интеграла.
При этом подходе не требуется специально выводить формулу Ньютона - Лейбница, с помощью которой доказываются многие свойства интеграла. Однако в этом случае идея метода суммирования отходит на второй план. Недостаток этого подхода состоит в том, что появляются затруднения при изучении приложений интеграла. В итоге все - таки приходится рассматривать интеграл как предел интегральных сумм, чтобы получить единый, достаточно общий метод решения задач геометрии, механики, электродинамики и других разделов физики. Это рассмотрение можно провести либо сразу после введения понятия интеграла, объяснив учащимся, что не всегда возможно найти первообразную данной функции, либо непосредственно при изучении приложений интеграла, рассмотрев этот метод на одной из задач.
5) В учебнике Ш. А. Алимова «Алгебра и начала анализа» перед введением понятия интеграла рассматривается задача о нахождении площади криволинейной трапеции, где вычисление площади сводится к отысканию первообразной F(х) функции f(x). Разность F(b)- F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b]. Далее автор рассматривает вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм, говорит о том, что такой способ приближенного вычисления интеграла требует громоздких вычислений и им пользуются в тех случаях, когда не удается найти первообразную функции. В качестве примеров применения интеграла приведены задачи о вытекании воды из бака и нахождении работы силы. Задачи для самостоятельного решения однотипны и их очень мало.
Задачи приложений, приведенные в выше рассмотренных учебниках, это наиболее распространенные примеры применения интеграла, однако, они не описывают и половины всех возможных приложений интеграла в физике.
1.4. Физические модели при введении понятия интеграла
Рассмотрим выше описанные подходы на наиболее распространенных среди авторов учебников примерах физических моделей из разных разделов физики (механика, электродинамика, кинематика и др.).
Интеграл как предел интегральных сумм.
1. Работа переменной силы.
Довольно распространенный пример практической задачи, решение которой сводится к вычислению определенного интеграла, это задача о работе переменной силы. [2], [8]
Задача. Предположим, что на точку, движущуюся по оси х, действует некоторая сила F, направленная по той же оси. Мы знаем, что если сила F постоянна, то работа равна Fs, где s - путь, пройденный точкой. Предположим теперь, что F меняется от точки к точке и нам известно её значение F(х) в каждой точке х некоторого промежутка [a; b]. Как найти работу А по перемещению точки из а в b?
Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке сила постоянна. В качестве постоянной силы на отрезке [xk-1; xk] можно взять значение функции F в одной из точек этого отрезка, например в точке xk. Работу на k - отрезке пути приближенно можно представить как произведение F(xk)Дxk, а на всем отрезке - суммой:
An=F(x1) Дx1+…+F(xn) Дxn. (1)
2. Задача о вычислении массы стержня.
Довольно популярна среди авторов учебников задача о вычислении массы стержня. [8], [10]
Задача. Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность которого в точке x вычисляется по формуле p=p(x). Найти массу стержня.
Рассмотрим массу стержня на отрезке [a; b]. Разобьём отрезок на n равных частей. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке плотность постоянна. В качестве постоянной плотности на отрезке [xk-1; xk] можно взять значение функции р в одной из точек этого отрезка, например в точке xk. Массу на k - отрезке приближенно можно представить как произведение р(xk)Дxk, а на всем отрезке - суммой:
mn=p(x1) Дx1+…+p(xn) Дxn. (2)
1.5. Различные методы изучения приложений интеграла в
физике.
Авторы различных учебников по-разному выводят формулы при изучении приложений интеграла. Рассмотрим несколько различных методов получения (вывода) формул.I. Составление интегральных сумм.Масса стержня переменной плотности.Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью с(х)0, где с(х) - непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая масса этого отрезка,где a=x0<x1<…<xn=b, Дxi =xi+1-xi.Аналогично можно вывести формулы для нахождения работы силы, работы электрического заряда, давления жидкости на стенку, центра тяжести системы материальных точек. [11]Центр масс.При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:Координата центра масс системы материальных точек А1, А2,…, Аn с массами m1, m2,…, mn, расположенных на прямой в точках с координатами x1, x2,…, xn, находится по формуле.2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив её в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.Пусть вдоль стержня - отрезка [a; b] оси Ох - распределена масса плотностью с(х), где с(х) - непрерывная функция. Покажем, что координата центра масс равна .Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей точками a=x0<x1<…<xn=b. На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равной с(xk-1) на k-м отрезке (в силу непрерывности с(х) ). Тогда масса k-отрезка примерно равна , а масса всего стержня равна . Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы mk, помещенной в точке xk-1, получим, что координата центра масс приближенно находится так:
.
Теперь осталось заметить, что при числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) - к интегралу . [8]
Аналогично можно вывести формулу для нахождения работы силы.
II. Метод дифференциалов.
Электрический заряд.
Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Как вычислить заряд q, переносимый за интервал времени [a; b] через сечение проводника? Если бы сила тока I не менялась со временем, то изменение заряда q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I=I(t) в зависимости от времени. Тогда на малом интервале времени [t; t+dt] можно считать силу тока постоянной и равной I(t). Тогда дифференциал заряда запишем так: dq=I(t)dt. Отсюда получаем, что весь заряд, переносимый за интервал времени [a; b] можно записать в виде интеграла:
.
Аналогично выводятся и формулы для нахождения работы силы, перемещения точки, вычисления массы стержня, электрического заряда и давления воды на плотину. [2]
III. Рассмотрение практической задачи.
Работа силы.
Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для её сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н. [1]
По закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. F=kx, где x - величина растяжения или сжатия (в м), k - постоянная. Из условия задачи находим k. Так как при х=0,01 м и сила F=10 Н, то . Следовательно, F(x)=kx=1000x.
Работа силы F(x) при перемещении тела из точки а в точку b равна
.
Используя данные задачи, получаем:
(Дж).
Рассмотрим достоинства и недостатки каждого из выше перечисленных методов.
Если учащиеся знакомились с понятием интеграла как предела интегральных сумм, то первый метод изучения приложений будет наиболее логичным и понятным. Если же понятие интеграла вводилось с помощью приращения первообразной, то использование данного метода получения формул стоит обосновать для учащихся и рассмотреть довольно подробно с введением понятия интегральных сумм, что довольно громоздко, но необходимо.
Достоинством второго метода при введении понятия интеграла с помощью приращения первообразной состоит в том, что он не такой громоздкий, как первый и с его помощью можно вывести много формул даже в рамках урока. Однако, в таком случае вычисление интеграла с помощью интегральных сумм остается за рамками изучения, что является не совсем корректным. При введении понятия интеграла с помощью интегральных сумм рассмотрение данного метода при изучении приложений необходимо пояснить.
Третий метод применим только в классах курса А. Здесь нет необходимости выводить формулы, достаточно дать общее представление.
Подводя итоги первой главы можно сделать следующие выводы.
Как выяснилось, существуют различные методы введения понятия интеграла и изучения его приложений и выбор одного из них - задача учителя. Но для полноценного изучения интеграла, для возможности предоставить учащимся более полноценную, наиболее обоснованную и понятную картину рассматриваемого явления учителю необходимо использовать различные методы в совокупности, различную литературу, т.к. в рамках школьного учебника и методов, которые каждый из них предлагает учителю, это невозможно. В каждом из выше рассмотренных учебников есть свои недостатки при введении понятия и изучении его приложений, которые описаны выше. В некоторых из них не рассматриваются ни свойства, ни техника интегрирования.
Проанализировав школьные учебники относительно использования физических моделей при изучении понятия интеграла, можно сделать вывод, что при изучении свойств и техники интегрирования ни один автор не использует физических задач, а при введении понятия интеграла авторы ограничиваются использованием следующих физических моделей: вычисление работы переменной силы, перемещения точки, массы стержня переменной плотности. На самом деле существует огромный запас задач из других разделов физики, которые можно использовать при введении понятия интеграла, а при изучении его свойств обосновывать их с помощью физических задач, при рассмотрении техники интегрирования демонстрировать методы на примерах всё тех же физических задач. Таким образом, все понятия, свойства, методы не только будут предоставлены учащимся как факты, но будут и обоснованы, и продемонстрированы, и покажут межпредметную связь физики и математики.
Глава 2
Физические модели при изучении темы «Интеграл»
2.1. Введение понятия интеграла с помощью физических моделей
После анализа достоинств и недостатков школьных учебников математики относительно темы «Интеграл», после ознакомления с некоторыми учебниками физики и, учитывая психолого-педагогические и методические основы изучения интеграла, мною была разработана методика изучения понятия интеграла с использованием физических моделей в школьном курсе математики, представленная в данной главе.
Нижеследующая методика введения понятия интеграла с помощью задач физики разрабатывалась мной на основе следующего факта.
Физические величины, вычисляемые с помощью интеграла, можно разделить на два типа, в зависимости от того, как они естественно определяются. К первому типу относятся «первичные» величины (длина пути, масса, количество электричества, количество теплоты и т. п.), т. е. такие величины, для которых другие, связанные с ними («вторичные») величины (соответственно скорость, линейная плотность, величина тока, удельная теплоемкость и т. п.) определяются как производные этих величин. Ко второму типу относятся такие, которые определяются естественным образом как интегралы от «первичных» по отношению к ним величин (например, площадь, работа). Для первого типа величин интегральная формула для их вычисления может и должна быть доказана, опираясь на известное из предыдущего материала определение «вторичной» величины как производной от данной «первичной». Для второго типа интегральная формула появляется по определению.[5]
В соответствии с этим рассмотрим описанные в первой главе подходы на конкретных физических моделях из разных разделов физики (механика, электродинамика, кинематика и др.), уделив особое внимание второму подходу, поскольку в школьных учебниках он практически не используется.
При введении понятия интеграла как предела интегральных сумм довольно наглядным и понятным для учащихся является пример задачи о давлении жидкости на стенку.
Задача. Бассейн высоты H наполнен водой. Вычислить давление воды на прямоугольную стенку бассейна с основанием прямоугольника, равным а.
Разделим высоту Н на n равных частей (Дh). Стенка разделится на «элементы». Так как кубометр воды весит тонну, то давление столба жидкости высоты hi м, имеющего сечение 1 м2, равно hi тоннам.
Давление же воды на элемент, находящийся на глубине hi, равно произведению hi на площадь элемента: hia Дh. Обозначим произведение hia через F(hi). Тогда величина давления на всю стенку приближенно равна
Pn? F1(h1)Дh1+…+Fn(hn) Дhn.
Данную сумму называют интегральной суммой функции F(h) на отрезке [0; H]. При этом предполагается, что функция F(h) непрерывна на отрезке [0; H] и может принимать любые значения. Если и высоты «элементов» стремятся к нулю, то точное выражение суммы равно . Его называют определенным интегралом от функции F(h) на отрезке [0; H] и обозначают .
Далее понятие определенного интеграла обобщается на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b].
Рассмотрим несколько задач с физическими моделями, где интеграл определяется как приращение первообразной.
1. Задача о перемещении точки.
Пусть v=v(t) скорость прямолинейного движения точки, заданная на некотором промежутке времени [t1; t2]. При этом пусть v(t)>0. Как выразится длина пути, пройденного точкой за данный промежуток времени?[5]
Обозначим координату движущейся точки в момент t через S(t). Тогда, так как движение при v>0 происходит только в положительном направлении (или иначе, т. к. S(t) - функция возрастающая, ввиду того, что ), то искомое расстояние будет выражаться числом S(t2)-S(t1). С другой стороны S(t) есть первообразная функции v(t) (). Таким образом вычисление длины пути, пройденного точкой за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной S(t) функции v(t), т. е. к интегрированию функции v(t).
Разность S(t2)-S(t1) называют интегралом от функции v(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:
.
2. Импульс силы.
Пусть на тело массой m в течение времени t действует какая-то сила F(t). Найти количество движения тела при заданной зависимости силы от времени за промежуток времени [t1; t2].
Как известно из физики второй закон Ньютона в импульсном представлении выражает уравнение
ДР=FДt.
Произведение P=mv(t) массы на скорость называется «количеством движения». Так как скорость тела зависит от времени, то за промежуток времени [t1; t2] искомое количество движения может быть найдено так: Р(t2)-Р(t1). С другой стороны Р(t) есть первообразная функции F(t). Таким образом вычисление количества движения тела за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной Р(t) функции F(t).
Разность P(t2)-P(t1) называют интегралом от функции F(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:
.
Величина называется также «импульсом силы» за время [t1; t2]. Словесная формулировка результата: изменение количества движения равно импульсу силы.
3. Количество электричества.
Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Вычислим количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b] через сечение проводника. Если бы сила не менялась со временем, то изменение количества электричества q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I=I(t) в зависимости от времени. Тогда количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b], равно q(b)-q(a). С другой стороны на малом промежутке времени можно считать силу тока постоянной и равной I(t), а dq=I(t)dt, следовательно, вычисление количества электричества за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной функции I(t).
Разность q(b)-q(a) называют интегралом от функции I(t) на отрезке [a; b] и обозначают так:
.
4. Вытекание воды из сосуда.
Данная задача проста и наглядна в своей постановке для учащихся.
Представим себе сосуд, из которого вытекает вода. В момент времени t поток воды вычисляется по формуле q=q(t). Найдем объем воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2]. Объем воды, находящейся в сосуде, обозначим через V. Этот объем со временем меняется, т. е. V есть функция времени t.
Рассмотрим промежуток времени [t1; t2]. Очевидно, что за это время из сосуда вытечет V(t2)-V(t1) воды. С другой стороны, поток воды - это величина, характеризующая скорость изменения количества воды в сосуде, т.е. dV=q(t)dt. Следовательно, вычисление объема воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2], сводится к отысканию первообразной функции q(t).
Разность V(t2)-V(t1) называют интегралом от функции q(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:
.
Все вышерассмотренные модели - это наиболее часто встречающиеся в школьном курсе физики законы и формулы, поэтому они не требуют от учащихся дополнительных знаний по физике, а, следовательно, удовлетворяют как принципу научности, так и принципу доступности материала.
2.2. Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей
При изучении интеграла существенным является отбор свойств, которые необходимо знать ученикам. Их должно быть достаточно для рассмотрения приложений интеграла и в то же время не должны вводиться свойства, без которых можно обойтись в дальнейшем. Доказательство свойств при разных подходах к введению понятия интеграла может быть разным.
Ниже приведенные свойства интеграла рассматриваются на различных физических моделях.
10. .
Рассмотрим доказательство данного свойства на задаче о перемещении точки.
При введении интеграла рассматривается случай, когда нижний предел интегрирования меньше верхнего. Но определенный интеграл можно обобщить и на случай, когда верхний предел меньше нижнего. В этом случае обратимся к определению интеграла как суммы. Разбивая отрезок от [a; b] промежуточными значениями t1, t2, …,tn-1, убедимся, что все Дt теперь отрицательны. Легко убедиться, что
, (1)
так как при любом разбиении отрезка [a; b] соответствующие суммы будут отличаться знаками всех Дt во всех слагаемых. [7]
20. .
| ! | Как писать дипломную работу Инструкция и советы по написанию качественной дипломной работы. |
| ! | Структура дипломной работы Сколько глав должно быть в работе, что должен содержать каждый из разделов. |
| ! | Оформление дипломных работ Требования к оформлению дипломных работ по ГОСТ. Основные методические указания. |
| ! | Источники для написания Что можно использовать в качестве источника для дипломной работы, а от чего лучше отказаться. |
| ! | Скачивание бесплатных работ Подводные камни и проблемы возникающие при сдаче бесплатно скачанной и не переработанной работы. |
| ! | Особенности дипломных проектов Чем отличается дипломный проект от дипломной работы. Описание особенностей. |
| → | по экономике Для студентов экономических специальностей. |
| → | по праву Для студентов юридических специальностей. |
| → | по педагогике Для студентов педагогических специальностей. |
| → | по психологии Для студентов специальностей связанных с психологией. |
| → | технических дипломов Для студентов технических специальностей. |
| → | выпускная работа бакалавра Требование к выпускной работе бакалавра. Как правило сдается на 4 курсе института. |
| → | магистерская диссертация Требования к магистерским диссертациям. Как правило сдается на 5,6 курсе обучения. |
| Дипломная работа | Формирование устных вычислительных навыков пятиклассников при изучении темы "Десятичные дроби" |
| Дипломная работа | Технологии работы социального педагога с многодетной семьей |
| Дипломная работа | Человеко-машинный интерфейс, разработка эргономичного интерфейса |
| Дипломная работа | Организация туристско-экскурсионной деятельности на т/к "Русский стиль" Солонешенского района Алтайского края |
| Дипломная работа | Разработка мероприятий по повышению эффективности коммерческой деятельности предприятия |
| Дипломная работа | Совершенствование системы аттестации персонала предприятия на примере офиса продаж ОАО "МТС" |
| Дипломная работа | Разработка системы менеджмента качества на предприятии |
| Дипломная работа | Организация учета и контроля на предприятиях жилищно-коммунального хозяйства |
| Дипломная работа | ЭКСПРЕСС-АНАЛИЗ ФИНАНСОВОГО СОСТОЯНИЯ ООО «АКТ «ФАРТОВ» |
| Дипломная работа | Психическая коммуникация |