Применение графиков в решении уравнений Основная часть: Применение графиков в решении уравнений. I)Графическое решение квадратного уравнения: Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0; Перепишем его так: x2=-px-q. (1) Построим графики зависимостей: y=x2 и y=-px-q.
График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения: чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.
Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности. Примеры: 1. Решить уравнение: 4x2-12x+7=0 Представим его в виде x2=3x-7/4. Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4. Рисунок 1.
Для построения прямой можно взять, например, точки(0; -7/4) и (2; 17/4). Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0. 8 и x2=2. 2 (см. рисунок 1). 2. Решить уравнение : x2-x+1=0. Запишем уравнение в виде: x2=x-1.
Построив параболу у=х2и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней. Рисунок 2. Проверим это. Вычислим дискриминант: D=(-1)2-4=-3 А поэтому уравнение не имеет корней. 3. Решить уравнение: x2-2x+1=0 Рисунок 3.
Если аккуратно начертить параболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1; уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением). II) Системы уравнений.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0. 5х2 –2 –парабола, уравнения х2 +у2=4 – окружность, и т. д... Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого–многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения. Пример1: решить систему ? x2 +y2 =25 (1) ? y=-x2+2x+5 (2)
Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4): Построим в одной системе координат графи) х2 +у2=25 и у=-х2+2х+5
Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т. е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2, 2; -4, 5), В(0; 5), С(2, 2; 4, 5), D(4; -3). Следовательно, система уравнений имеет четыре решения: х1? -2, 2 , у1? -4, 5; х2? 0, у2? 5; х3? 2, 2 , у3? 4, 5; х4? 4, у4? -3.
Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье– приближёнными. III)Тригонометрические уравнения:
Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере. Рисунок5.
Пример1: sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx. (рисунок 5) Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2рп, где пЄZ и х=р/2+2рk, где kЄZ(Обязательно проверить это вычислениями). Рисунок 6.
Пример2: Решить уравнение: tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего. Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=рп, пЄZ u x=2рk/3, где kЄZ. (Проверить это вычислениями) Применение графиков в решении неравенств. 1)Неравенства с модулем. Пример1. Решить неравенство |x-1|+|x+1|
На интеграле(-1; -? ) по определению модуля имеем |х-1|=-х+1, |х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству–2х-2. Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2; -1). На отрезке [-1, 1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2
На интеграле (1; +? ) опять получаем линейное неравенство 2х
Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4. Рисунок 7.
На интеграле (-2; 2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)
Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.
Например, неравенствоvа+х+vа-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенствоv1+х + v1-х>1.
Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения. Пример1: Решить неравенство|х-а|+|х+а|0.
Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций. Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.
Очевидно, что при b2|a|, то прямая y=b пересекает график функции y=f(x) в двух точках (-b/2; b) u (b/2; b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при–b/2 Ответ: Если b Если b>2|a|, то x €(-b/2; b/2). III) Тригонометрические неравенства:
При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2р. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a, sin x
Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2р. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2рп, пЄZ. Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2. (рисунок 10)
Сначала решим это неравенство на отрезке[-р/2; 3р/2]. Рассмотрим его левую часть–отрезок [-р/2; 3р/2]. Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно решение х=-р/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если–р/2sin(-р/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства. На оставшемся отрезке [р/2; 3р/2] функция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7р/6. Следовательно, если р/2sin(7р/6)=-1/2, т. е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є[7р/6; 3р/2] имеем sin x
В силу периодичности функции sin x с периодом 2р значения х из любого интеграла вида: (-р/6+2рn; 7р/6 +2рn), nЄZ, также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются . Ответ: -р/6+2рn Рисунок 10.