Аналітична геометрія на площині

Реферат на тему:

Аналітична геометрія на площині

Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння

y
= k
×
x
+ b
(2.3)

де k=tg
a ‑ нахил цієї прямої до осі O
X (рис 2.3,а).

Часткові випадки розташування прямої (y=kx
, x=a
, y=b
) показані, відповідно, на рис.2.3б-г.

y y y y

b

b

x
135⁰
x x x

a

а б в г

Рис.2.3

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд

Ax + By + C
= 0 (2.2)

Якщо B
¹0 , то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1).

Приклади
. Побудувати графіки прямих y
=1-x
та 2x
-y
+2=0. У першому прикладі k=tg
a
=
-1, отже a=135⁰
(рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо y
=2x
+2 , отже, k=tg
a
=
2 (рис. 2.4,б).

y y

2x
-y
+2=0

y
=1-x
2

1

a=135⁰

1 x
-1 x

а б

Рис. 2.4

Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.

Пряма, яка проходить через дві задані точки (x
₁
;y
₁
) та (x
₂
;y
₂
):

, (2.3)

або, що те саме,

. (2.3¢)

Пряма, яка проходить через задану точку (x
₁
;y
₁
) паралельно до заданої прямої y=ax+b
:

y-y
₁
=a
(x-x
₁
) (2.4)

Пряма, яка проходить через задану точку (x₁
;y₁
) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b
:

(2.5)

Рівняння прямої у відрізках

(2.6)

Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень.

Приклад
. Загальне рівняння прямої має вигляд 2x-y
+2=0.

Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:

-2x+y
=2,

.

Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:

y
=2x
+2.

Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x
₁
;y
₁
)=(-1;0) та (x
₂
;y
₂
)=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки:

.

Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині.

Кут між прямими y
=a
₁
x
+b
₁
та y
=a₂
x
+b
₂
обчислюється за формулою

Прямі y
=a
₁
x
+b
₁
та y
=a
₂
x
+b
₂
отже, є паралельними, якщо a
₁
=a
₂
, та перпендикулярними, якщо a
₁
×a
₂
= -1.

Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь

.

Відстань від точки M
(x
₁
;y
₁
) до прямої Ax+By+C
=0 визначають за формулою

.

Приклад
. Попит Q
(кількість товару, що буде куплено) на товар залежно від його ціни p
на ринку задається формулою p=p
(Q
)=500-10Q
. Пропозицію Q
(кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає формула p
=p
(Q
)=50+5Q
.

Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги.

Маємо такий графік (рис.2.5).

p

500

Пропозиція

p
^*

Попит

50

Q
^*
Q

Рис. 2.5.

Ціну рівноваги p
^*
(а також рівноважний випуск Q
^*
) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних рівнянь

.

Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p
^*
=200 та Q
^*
=30 .

Приклад
. Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p
=10. Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, V
_c
=5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять F
_c
=40. Визначити обсяг виробництва Q
, за якого фірма матиме прибуток.

Загальні витрати фірми на виготовлення Q
одиниць продукції описуються залежністю

T
_c
= F
_c
+ Q
×
V
_c
= 40+5Q .

Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить

T
_R
= p
×Q =10Q
.

Визначимо такий випуск Q
^*
, за якого доход фірми збігається з її витратами:

T
_R
= T
_C
,

10Q
= 40+5Q ,

Q
^*
= 8 .

Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q
^*
>8 і далі необмежено зростає (рис. 2.6).

T
_c
,T
_R

T
_R
(доход)=10Q

T
_c
(витрати)=40+5Q

40

Q
^*
=8 Q

Рис. 2.6.

Розглянемо також основні криві другого порядку
та їхні рівняння. Це такі криві, рівняння яких містять змінні x
²
і/або y
²
.

Рівняння кола
з центром у точці (a
;b
) та радіусом r
має вигляд

(x-a
)²
+(y-b
)²
=r
²
.

У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку координат) це рівняння спрощується:

x
²
+y
²
=r
²
.

Рівняння еліпса
(геометричного місця точок, сума відстаней до яких від двох заданих точок є сталою) записується так (рис. 2.7):

A
(x;y
)

c

F
₁
F
₂

Рис. 2.7.

Точки F
₁
(-c
;0) та F
₂
(c
;0) називаються при цьому фокусами
.

Виконуються такі властивості:

- для довільної точки A
на еліпсі ;

- c
²
=a
²
-b
²
.

Рівняння гіперболи
(геометричного місця точок (x;y
), для яких різниця відстаней до фокусів F
₁
та F
₂
є сталою) має вигляд (рис. 2.8):

Для гіперболи виконуються такі властивості:

- для довільної точки A
на гіперболі ;

- c
²
=a
²
+b
²
.

y

A
(x
;y
)

x

F
₁
(-c
;0) F
₂
(c
;0)

Рис. 2.8.

Рівняння параболи
(геометричного місця точок, однаково віддалених від заданої точки і заданої прямої ) є таким (рис. 2.9):

y
= 2px

B
A
(x
;y
)

p
/2 p
/2

F

Рис. 2.9.

Тут для довільної точки A
(x
;y
) параболи y
= 2px
виконується рівність , де ‑ відстань від точки A
до прямої .