Численные методы расчетов в Exel

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Северо-Западный государственный заочный

технический университет

Институт управления производственными и

инновационными программами

Кафедра информатики

Контрольная работа по дисциплине

«Математика. Часть 2.»

Тема: “ Численные методы и расчеты в EXCEL.”

Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.

Анализ и прогнозирование в EXCEL.

Задача 2.
Решение систем уравнений в EXCEL.

Задача 3. Комплексные числа.

Выполнила студентка: Шестакова Мария Дмитриевна

ИУПиИП

Курс: II

Специальность: 80502.65

Шифр: 578030493

Преподаватель: Ходоровская Валентина Сергеевна

Подпись преподавателя:

Санкт-Петербург

2007

Тема .

Численные методы и расчеты в EXCEL.

Задача 1.

Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.

Анализ и прогнозирование в EXCEL.

I. Написать выражение для интерполяционного полинома Ньютона

.

II. Составить программу для вычисления значения функции в заданных точках

x₁

; x₂

; x₃

; x₄

:

1)

при помощи полинома Ньютона

для реализации ее в EXCEL


;

2)

при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений

(ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ)

.

Функция задана таблицей с равноотстоящими узлами

:

Основные понятия.

Цель работы:

научиться пользоваться программой EXCEL


для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучение режимов экстраполяции данных в EXCEL


.

Задача интерполяции

сводится к требованию точного совпадения в узловых

точках функции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов (полиномов)

.

По определению интерполяция — это отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям.


Само слово интерполяция

происходит от латинского “interpolation”

, что в переводе значит “изменение, переделка”

.

Экстраполяция — это процедура аналогичная интерполяции, но при условии, что x лежит вне интервала (x₀
, x_n
)


. Происходит от “экстра…”

и латинского “polio”

, что значит “приглаживаю, изменяю”

.

Аппроксимация — это замена одних математических объектов (например, чисел или

функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными).


Слово происходит от латинского“approximo”

, что значит “приближаюсь”

.

Графически задача интерполяции

заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию

, которая бы проходила через все узлы интерполяции.

Чаще всего в качестве интерполирующей функции

F (x)

используются многочлены

P_n
(x).

Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен P_n
(x),

обеспечивающий требуемую интерполяцию

е

.

Наиболее успешно для интерполяции

используется полином Ньютона

, для записи которого в случае интерполяции

функции с равноотстоящими

узлами

используются конечные разности

.

Термин “полином”

имеет то же значение, что и слово “многочлен”

и происходит от “поли…” —

часть сложных слов, указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо (от греческого “polys”

– многий, многочисленный, обширный) и латинского “nomen”

, т.е. имя
.

Конечной разностью

первого порядка
называется разность:

Дy_i


= yi + 1
- y_i

, i
= 0,1, .... , n
– 1

Аналогично определяются конечные разности

второго
и более высоких
порядков.

Интерполяционный полином Ньютона.

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов

записывается в виде:

P_n
(x) = y₀
+ (x-x₀
) · Дy₀
/1!h + (x-x₀
)(x-x₁
) · ДІy₀
/2!hІ+....+ (

x

-

x

₀


)(

x

-

x

₁


)…..(

x

-

x<sub>n


-1</sub>


) ·

Д

ⁿ


y

₀


/

n

!

hⁿ

Решение.

Выполнение задания I.

Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютона

для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечные
разности
указаны в “Приложение 2”
.
Из таблицы видно, что значения x

являются равноотстоящими узлами, так как возрастают равномерно с шагом h

= 0,05
.
Степень полинома

определяется числом (порядком) конечных
разностей
( в данном случае их девять ).

P_n
(x
) = P₉
(x)= y₀
+ (x-x₀
) Дy₀
/ 1!h + (x-x₀
) (x-x₁
) ДІy₀
/2!h²
+..

..+ (x-x₀
)
(x-x₁
) (x-x₂
) (x-x₃
) (x-x₄
) (x-x₅
) (x-x₆
) (x-x₇
) (x-x₈
) (x-x₉
)
Д
⁹

y₀
/ 9!
h⁹
=

0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) · 0,001 / 2! ·
0,05 ²
+

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3! · 0,05 ³
+(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) · (-0,001) / 4! · 0,05 ⁴
+

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) · 0 / 5! · 0,05 ⁵
+

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 ⁶
+

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05+

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) · 0,047 / 8!
· 0,05 ⁸
+

(
x
- 0,15) (
x
- 0,20) (
x
- 0,25) (
x
- 0,30) (
x
- 0,35) (
x
- 0,40) (
x
- 0,45) (
x
- 0,50) (
x
- 0,55) · (-0,119) / 9!
· 0,05 ⁹
.

Выполнение задания II.

1)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона.

Шаг первый:

Подготовка исходных данных электронной таблицы в EXCEL
:

а

)
Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1 : N4).

б

)
Введем номера по порядку в ячейки A5 : A14.

в

)
Введем исходные данные в ячейки B5 : C14.

Таким образом подготовлена таблица для выполнения работы.

Шаг второй:

Ввод формул:

а

)
Ввод формул для вычисления конечных разностей первого порядка
:

а.1)

в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy_{0 =}
y₁
– y₀
,
которая примет вид: =C6–C5
;

a.2)

копируем эту формулу в ячейки D6 : D13. В результате в ячейке D6

получаем формулу =C7-C6
(т.е.Дy₁
=y₂
- y₁
= 0,779 – 0,819 = -0,040
),в ячейке D7

получаем формулу =C8-C7
(т.е. Дy₂
= y₃
– y₂
= 0,741 – 0,779= -0,038
) и т.д. до ячейки D13, где

получаем формулу

=C14-C13
(т.е. Дy₈
= y₉
– y₈
= 0,549 – 0,577= -0,028
)

б)

Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка
:

б.1)

в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула

=D6-D5
(т.е. ДІy₀
= Дy₁
- Дy₀
= -0,040 - ( -0,041) = 0,001
). Копируем эту формулу в ячейки E6 : E12.

В ячейке E12 получаем формулу =D13 - D1
(т.е. ДІy₇
= Дy₈
- Дy₇
= - 0,028 - ( -0,029) = 0,001
).

в)

Ввод формул для вычисления конечных разностей вплоть до девятого
порядка
:

для вычисления всех конечных разностей
необходимо ввести только одну формулу(в ячейке D5), все

остальные будут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, из F5 в G5 и т.д.

Отображение в режиме формул см. в “Приложении 1”.

Отображение в режиме значений см. в “Приложении 2”
.

Шаг третий:

Ввод формул:

а)

Ввод формул для вычисления промежуточных коэффициентов:

а.1)

для вычисления первого промежуточного коэффициента (x-x₀
/1!h)

в ячейку M5 введем формулу

=($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2
. В ячейке N2 находится текущее значение x

. При копировании адрес этой ячейки изменять нельзя, поэтому мы используем абсолютный адрес (значок $). В ячейке F2 находится шаг интерполяции
, адрес этой ячейки тоже абсолютный (значок $).

а.2)

для вычисления второго промежуточного коэффициента

(x-x₀
) (x- x₁
)/2!h

І

= (x-x₀
)/1·h · (x-x₁
)/ 2·h = a · b,

гдеa

коэффициент в ячейке M5, a = (x-x₀
)/1h,

b

коэффициент, на который нужно умножить M5, b = (x-x₁
) / 2h,

вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 – B6) / (A6 + 1) / $F$2
.

а.3)

после ввода данных в M5 и M6, для вычисления остальных промежуточных коэффициентов

копируем формулу из M6 в остальные 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу:

=M6*($N$2 – B7) / (A7 + 1) / $F$2 ,
в ячейке M8 мыувидим формулу: =M7*($N$2 – B8) / (A8 + 1) / $F$2
и

т.д.

Шаг четвертый:

Ввод формул:

а)

Ввод формул для вычисления полинома Ньютона:

а.1)

для вычисления первого полинома Ньютона
, который равен (x-x₀
) · Дy₀
/ 1!h = (x-x₀
) / 1h ·Дy₀
,

содержимое ячейки M5 надо умножить на содержимое ячейки D5, где хранятся конечные разности первого порядка
. Вводим в ячейку N5 формулу =M5*D$5
. Знак $
перед номером строки необходим, т.к. в полиноме
Ньютона
находятся только конечные разности
с индексом ноль, т.е. все конечные
разности
берутся только из строки с номером 5;

а.2)

для ввода остальных членов полинома Ньютона
копируем формулу из N5 в остальные 8 нижестоящих ячеек (включительно по N13). Получаем в N6 формулу =M6*E$5
, в N7 формулу =M7*F$5
, в N8 формулу =M8*G$5
и т.д. до ячейки N13.

Шаг пятый

:

Ввод формул:

а)

Ввод формул для вычисления суммы коэффициентов полинома Ньютона:

а.1)

объединим ячейки A16 : M16, затем в объединенные ячейки введем комментарий

"Сумма коэффициентов полинома”;

а.2)

в ячейку N16 вводим формулу =СУММ(N5:N13)
. Теперь в N16 будет сумма всех членов полинома Ньютона, кроме y₀
.

При x

=

0,149
в ячейке N16 получается число 0,001.

Шаг шестой:

Ввод формул:

а)

Ввод формул для вычисления значения полинома:

а.1)

объединим ячейки A18 : M18, затем в объединенные ячейки введем комментарий "Значение полинома"
;

а.2)

в ячейку N18 вводим формулу =N16+C5
. В ячейке N18 появится число 0,861
, которое и есть значение полинома, вычисленное в точке x =

0,149

Шаг седьмой:

Вычисление сумм коэффициентов полинома
и значений полинома

при x =

0,240
; x =

0,430
; x =

0,560.

а)

в ячейку N2 вводим 0,240
. Результат:

в ячейке N16 — (-0,073);
в ячейке N18 — (0.787);

б)

в ячейку N2 вводим 0,430
. Результат:

в ячейке N16 — (-0,209);
в ячейке N18 — (0,651);

в)

в ячейку N2 вводим 0.560
. Результат:

в ячейке N16 — (-0,287);
в ячейке N18 — (0,573).

Шаг восьмой:

Для удобства полученные данные занесем в нашу таблицу.

Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 1”.

Режим значений — “Приложение 2.

2)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).

Экстраполяция (прогнозирование) с помощью функции аппроксимации кривой.

Табличный процессор EXCEL

предоставляет возможность аппроксимации

с использованием “функций аппроксимации кривой”

Пусть в узлах x₀
, x₁
, …, x _n


известны значения f(x₀
), f(x₁
), … ,f(x _n
).

Необходимо осуществить экстраполяцию

(прогнозирование), т.е. вычислить значения f(x _n+1
), f(x _n+2


), … .

В категории Статистические функции EXCEL

для этого используются две функции: ТЕНДЕНЦИЯ

и ПРЕДСКАЗАНИЕ

, осуществляющие линейную аппроксимацию кривой для данных массивов

x (x₀
, x₁
, … , x _n
)

и y (y₀
,y₁
, … , y _n
)

методом наименьших квадратов.

Функция ТЕНДЕНЦИЯ

имеет структуру:

ТЕНДЕНЦИЯ (y

массив, x

массив,
x

список)

y

массив , x
массив
— даны из условия.

x

список
-- это те значения x

, для которых требуется сосчитать значения функции f(x).

Функция ПРЕДСКАЗАНИЕ

имеет структуру:

ПРЕДСКАЗАНИЕ ( x
; y
массив; x
массив)

После аппроксимации

эта функция возвращает только одно прогнозируемое значение y

(для одного из заданных значений аргументов.

Работа с функцией ТЕНДЕНЦИЯ.

Шаг первый:

Создадим электронную таблицу в EXCEL
, используя исходные данные.

Шаг второй:

Для того, чтобы поместить результат в список итоговых ячеек C6:F6, выделим эти ячейки.

Шаг третий:

Далее необходимо щелкнуть по пиктограмме Мастер функций

.

Шаг четвертый:

а)

В первом окне выберем категорию Статистические
, функцию ТЕНДЕНЦИЯ,

затем щелкнем по OK.

б)

В окне “Известные значения
y”

введем адрес блока ячеек C3:L3.

в)

В окне “Известные значения

x”

введем адрес блока ячеек C2:L2.

г)

В окне “Новые значения

x”

укажем адрес блока ячеек C5:F5.

Шаг пятый:

Для подтверждения этой функции одновременно нажмем клавиши SHIFT / CTRL и ENTER. В ячейках C6:F6 мы увидим прогноз.

В режиме формул:в ячейке C6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;C5)

в ячейке D6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;D5)

в ячейке E6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;E5)

в ячейке F6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;F5)

В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8610

в ячейке D6 — 0,7951

в ячейке E6 — 0,6576

в ячейке F6 — 0,5635

Таблицы прилагаются.

Режим формул — “Приложение 3”
.
Режим значений “Приложение 4”.

Работа с функцией ПРЕДСКАЗАНИЕ.

Шаг первый:

Создадим электронную таблицу в EXCEL
, используя исходные данные.

Шаг второй:

Для размещения результата активизируем ячейку С6.

Шаг третий:

а)

При помощи Мастера функций
вызовем функцию ПРЕДСКАЗАНИЕ,

категория Статистические.

б)

В окне “x”
укажем адрес ячейки C6.

в)

В окне “Известные значения

y”

укажем адрес блока ячеек C3:L3.

г)

В окне “Известные значения

x”

укажем адрес блока ячеек C2:L2.

Шаг четвертый:

Для подтверждения этой функции щелкнем по OK
. В ячейке C6 появится результат. Для появления результата в остальных ячейках, проделаем все то же самое, поочередно активизируя ячейки D6, E6, F6.

В результате мы увидим:

В режиме формул:

в ячейке C6 — =ПРЕДСКАЗ(C5;C3:L3;C2:L2)

в ячейке D6 — =ПРЕДСКАЗ(D5;C3:L3;C2:L2)

в ячейке E6 — =ПРЕДСКАЗ(E5;C3:L3;C2:L2)

в ячейке F6 — =ПРЕДСКАЗ(F5;C3:L3;C2:L2)

В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8506

в ячейке D6 — 0,7877

в ячейке E6 — 0,6564

в ячейке F6 — 0,5665

Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 5”.

Режим значений — “Приложение 6”.

Итоговая сравнительная таблица.

Для сравнения значений функции в точках:

x ₁


= 0,149;

x ₂


= 0,240;

x ₃


= 0,430;

x ₄


= 0,560;

полученных при помощи трех разных способов:

1

полинома Ньютона,

2

функции ТЕНДЕНЦИЯ,

3

функции ПРЕДСКАЗАНИЕ;

создадим сравнительную таблицу,

*
Результаты вычислений округлены до двух знаков после запятой.

Вывод:


значение функции в заданных четырех точках мы получили тремя разными способами. Для наглядности все полученные данные мы свели в итоговую сравнительную таблицу. Видно, что результаты получились не совсем одинаковые. Но однако в целом, отклонения в значениях в пределах 0,01 , что вполне допустимо для наших данных. Для того, чтобы получить более точные значения функции в определенной точке, необходимо, чтобы исходные данные были представлены более широким спектром узлов.

Задача 2.

Решение систем уравнений в EXCEL.

Решить заданную систему уравнений:

1)

методом обратной матрицы;

2)

методом простых итераций.

0,1 x₁

+ 4,6 x₂

+ 7,8 x₃

= 9,8

2,8 x₁

+ 6,1 x₂

+ 2,8 x₃

= 6,7

4,5 x₁

+ 5,7 x₂

+ 1,2 x₃

= 5,8

Цель работы:

научиться решать в EXCEL


системы конечных уравнений методом обратной матрицы и простых итераций.

Основные понятия.

Уравнение


— это
математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения данных функций равны. Аргументы, от которых зависят функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, называются решениями (корнями).

Матрица


— это прямоугольная таблица каких-либо элементов a_ik
(чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n , то матрица называется квадратной.

Детерминант (определитель) — это число detA, которое можно сопоставить квадратной матрице А.

Минором некоторого элемента а_ij
определителя n-го порядка называется определитель n первого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij
определителя называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, и со знаком “-“ , если эта сумма нечетная.

Итерация


— это повторное применение каких-либо математических операций.


Происходит от латинского “iteratio”

,что в переводе значит “повторение”.

Решение.

1).

Математический расчетрешения системы уравнений
методом
обратной матрицы.

Дана система трех линейных уравнений
с тремя неизвестными
.

а).

Рассмотрим матрицы:

— матрица системы
(составлена из коэффициентов при неизвестных
):

0,1 4,6 7,8

А = 2,8 6,1 2,8

4,5 5,7 1,2

— матрица неизвестных:

x₁

X =x₂

x₃

— матрица свободных членов:

9,8

B = 6,7

5,8

б).

Найдем детерминант


(определитель) матрицы
А.

Поопределению: det
A = a₁₁
· A₁₁
+ a₁₂
· A₁₂
+ a_{13 ·}
A₁₃


,

где a₁₁
, a₁₂
, a₁₃
—

элементы первой строки матрицы
A
,

A₁₁
, A₁₂
, A₁₃


— их алгебраические дополнения
.

- если detA = 0,

то обратной матрицы не существует
;

- если detA ≠ 0,

то обратная матрица существует
.

Для того, чтобы найти детерминант
необходимо сосчитать алгебраические дополнения.

По определению: A_ik
= (-1)^i+k
· M_ik
,

где i

- номер строки матрицы,

k

- номер столбца матрицы,

M

- минор.

- если сумма i+k
четная, то A_ik
= 1 · M_ik

A₁₁
=

6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64

A₁₂
=

2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24

A₁₃


=
2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49

Теперь мы можем сосчитать детерминант.

detA

= 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982

detA ≠ 0 =>

обратная матрица
существует и можно продолжать вычисления.

в).

Найдем обратную матрицу А^-1


.

Поопределению:

A₁₁
A₂₁
A₃₁

A^-1
= A₁₂
A₂₂
A₃₂
· 1/ detA ,

A₁₃
A₂₃
A₃₃

где А₁₁
, …, А₃₃


- алгебраические дополнения матрицы А

.

Для нахождения обратной матрицы А^-1


, сначала сосчитаем все алгебраические
дополнения матрицы А

:

A₂₁


= 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = +
38,94

5,7 1,2

A₂₂


= 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98

4,5 1,2

A₂₃


= 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13

4,5 5,7

A₃₁


= 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7

6,1 2,8

A₃₂


= 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56

2,8 2,8

A₃₃


= 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = - 12,24

2,8 6,1

Теперь мы можем сосчитать обратную матрицу А^-1


, подставив в формулу полученные данные:

1/detA

= 1 / - 47,982 = - 0,0208411

- 8,64 38,94 - 34,7 0,1800675 - 0,8115543 0,72318786 A^-1


= - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722 0,7290234 0,44933516

- 11,49 20,13 - 12,27 0,2394647 - 0,4195323 0,25572089

Чтобы узнать правильно ли мы нашли обратную матрицу
, необходимо сделать проверку. Если выполняется равенство:

A^-1
· A = E,

где E

- единичная матрица
, то обратная матрица
найдена верно.

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8

A^-1
· A

= - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 ·
2,8 6,1 2,8

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2

Произведем промежуточные вычисления:

С₁₁

= 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1

C₁₂

= 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0

C₁₃

= 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0

C₂₁

= (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0

C₂₂

= (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1

C₂₃

= (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0

C₃₁

= 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0

C₃₂

= 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0

С₃₃

= 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1

1
0 0

A^-1
· A

= 0 1
0 = E

0 0 1

Обратную матрицу
нашли верно.

г).

Найдем матрицу X
(матрицу неизвестных).

По определению: X = A^-1
· B

,

где B — исходная матрица B
(матрица свободных членов).

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737

X

= - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 ·
6,7 = 0,391105

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069

Матрицу X

нашли, соответственно корни уравнений
:

x₁


= 0,521737

x₂


= 0,391105

x₃


= 1,019069

д).

Проверка. Подставим в исходную
систему уравнений
полученные значения:

0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8

2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7

4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8

Система уравнений
методом обратной матрицы
решена верно.

1.1).

Составление программы для решения системы уравнений
методом обратной матрицы

в EXCEL.

Шаг первый:

Для решения системы уравнений в EXCEL
необходимо подготовить таблицу с исходными
данными:

а).

Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:E10).

Шаг второй:

Необходимо обратить матрицу А

.
Применяемая для обращения матрицы функция
МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.

а).

Выделим ячейки А11:С13, куда будет помещена обратная матрица
.

б).

При помощи Мастера функций
вызовем функцию МОБР, категория Математические.

в).

В окне “Массив”

укажем адрес массива исходной матрицы
A6:C8.

г).

Для того, чтобы вставить формулу во все выделенные ячейки (A11:C13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В ячейках A11:C13 появится:

— в режиме формул — =МОБР(А6:C8)
;

— в режиме значений — массив обратной
матрицы
.

Шаг третий:

Для умножения обратной матрицы
на столбец свободных членов
:

а).

Выделим ячейки E11:E13.

б).

При помощи Мастера функций
выберем функцию МУМНОЖ, категория Математические
.

в).

В окно “Массив 1”

введем адрес массива обратной матрицы
A11:C13.

г).

В окно “Массив 2”

введем адрес массива матрицы свободных членов
E6:E8.

д).

Для вставки Формулы во все выделенные ячейки (E11:E13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В ячейках E11:E13 появится:

— в режиме формул — =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8)
;

— в режиме значений — компоненты векторов решения x₁
, x₂
, x₃
.

Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 7”.

Режим значений — “Приложение 8”.

1.2).

Проверка — сравнение результатов, полученных разными способами.

Для наглядности создадим сравнительную таблицу:

1.3).

Вывод.

Сначала предложенную нам систему уравнений
мы решили методом обратной
матрицы
. Затем в EXCEL

составили специальную программу, позволяющую решить систему уравнений
путем обращения матрицы
.

Для наглядности полученные результаты занесли в сравнительную таблицу.

Из таблицы видно, что результаты получились практически одинаковыми. Отклонения в значениях расходятся в столь малых пределах, что являются допустимыми для нашего случая. Однако это произошло из-за того, что при выполнении математических расчетов значения округлялись.

Таким образом, мы выявили, что в EXCEL

результаты получаются более точные
.

2)

Решение заданной системы уравнений методом простых итераций.

Для того, чтобы решить систему
трех линейных уравнений методом простых итераций,
необходимо ее преобразовать так, чтобы диагональные коэффициенты матрицы
x₁
, x₂
, x₃


были максимальными по модулю. Этим выполняется 1-е условие сходимости итерационного процесса

.

Заданная нам система имеет вид:

0,1x₁

+ 4,6x₂

+ 7,8x₃



= 9,8

2,8x₁

+ 6,1x₂



+ 2,8x₃

= 6,7

4,5x₁



+ 5,7x₂

+ 1,2x₃

= 5,8

a)

Достаточно хорошо видно, что для преобразования нам достаточно только поменять местами первое и третье уравнения
. Получится система вида:

4,5x₁



+ 5,7x₂

+ 1,2x₃

= 5,8

2,8x₁

+ 6,1x₂



+ 2,8x₃

= 6,7

0,1x₁

+ 4,6x₂

+ 7,8x₃



= 9,8

б)

Для решения системы уравнений методом простых итераций
необходимо представить полученную систему уравнений
в итерационной форме
, записав каждое из трех уравнений
в виде решения относительно той неизвестной переменной, которая имеет наибольший по модулю коэффициент.

4,5x₁

+ 5,7x₂

+ 1,2x₃

= 5,8

x₁


= - 5,7x₂

/ 4,5 - 1,2x₃

/ 4,5 + 5,8 / 4,5

2,8x₁

+ 6,1x₂

+ 2,8x₃

= 6,7

x₂


= - 2,8x₁

/ 6,1 - 2,8x₃

/ 6,1 + 6,7 / 6,1

0,1x₁

+ 4,6x₂

+ 7,8x₃

= 9,8

x₃


= - 0,1x₁

/ 7,8 - 4,6x₂

/ 7,8 + 9,8 / 9,7

В итерационной форме
получили систему:

x₁

= - 5,7x₂

/ 4,5 - 1,2x₃

/ 4,5 + 5,8 / 4,5

x₂

= - 2,8x₁

/ 6,1 - 2,8x₃

/ 6,1 + 6,7 / 6,1

x₃

= - 0,1x₁

/ 7,8 - 4,6x₂

/ 7,8 + 9,8 / 9,7

в)

Проверка выполнения первого условия сходимости метода для данной системы.

При использовании итерационного метода
решения необходимо обязательно проверить два условия сходимости
метода для данной системы. Первое условие
у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x₁
, x₂
, x₃

в полученной системе являются максимальными по модулю).

г)

Проверка выполнения второго условия сходимости метода для данной системы (условие “НОРМА”).

Теперь необходимо проверить условие “НОРМА”
(обозначается ║C
║), т.е. необходимо оценить сходимость
метода для данной системы
, которая зависит только от матрицы коэффициентов
[ C ].
Процесс сходится
только в том случае,если норма матрицы
[ С ]
меньше единицы
, т.е.

║C║=√Σa_aj
²
<1

В итерационной форме
имеем систему:

x₁

= - 5,7x₂

/ 4,5 - 1,2x₃

/ 4,5 + 5,8 / 4,5

x₂

= - 2,8x₁

/ 6,1 - 2,8x₃

/ 6,1 + 6,7 / 6,1

x₃

= - 0,1x₁

/ 7,8 - 4,6x₂

/ 7,8 + 9,8 / 7,8

или

x₁

= 0 - 5,7x₂

/ 4,5 - 1,2x₃

/ 4,5 + 1,288889

x₂

= 2,8x₁

/ 7,8 - 0 - 2,8x₃

/ 6,1 + 1,0983607

x₃

= 0,1x₁

/ 7,8 - 4,6x₂

/ 7,8 - 0 + 1,2564103

Проверка выполнения второго условия
“НОРМА”
:

0 - 5,7 / 4,5 - 1,2 / 4,5

[C] = - 2,8 / 6,1 0 - 2,8 / 6,1

- 0,1 / 7,8 - 4,6 / 7,8 0

║C║ = √ У a_ij
²
< 1

║C║ = √ (-5,7 / 4,5)²
+ (-1,2 / 4,5)²
+ (-2,8 / 6,1 )²
+ (-2,8 / 6,1)²
+ (-0,1 / 7,8)²
+ (-4,6 / 7,8)²

║C║= √ (-1,2666667)²
+(-0,2666667)²
+(-0,4590164)²
+(-0,4590164)²
+(-0,0128205)²
+(-0,5897436)²

║C║= √ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) + (0,3477975)

║C║ =√ 2,4449144

║C║ = 1,5636222 > 1

Таким образом, условие “НОРМА” не выполнено.

Вывод:

так каквторое условие сходимости итерационного процесса не
выполнено
, то решение данной системы уравнений не может быть
получено методом простых итераций.

Задача 3.

Комплексные числа.

Даны два комплексных числа
, записанные в показательной форме
.

z₁
= 3e ^{-(р/4) i}

z₂
= е ^{(р/4) i}

1). Записать эти числа в тригонометрической форме
;

2). Найти сумму
z₁
+ z₂


и произведение
z₁
· z₂


, переведя их в алгебраическую форму
записи;

3). Изобразить на комплексной плоскости операнды и результаты
.

Основные понятия.

Комплексным числом называется выражение вида

z = x + iy , где

“x” и “y” — действительные числа,

“i” — символ, называемый мнимой единицей и удовлетворяющий условию i²
= -1.

Операнд — величина, представляющая собой объект операции, реализуемой ЭВМ в ходе выполнения программы вычислений.

Решение.

1).

Тригонометрическая форма записи.

Положение точки z

на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами x

, y

, но и полярными координатами r

, ц.

Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

z = r cos
ц
+ i r sin
ц
= r ( cos
ц
+ i sin
ц
),

где cos
ц
+ sin
ц
= e<sup>i


ц</sup>


=>
ц
=
р
/4

При этом r

называют модулем, а ц

- аргументом комплексного числа.

1.1)

z₁
= 3 · (cos
р
/4 ­ i sin
р
/4) = 3√2/2 ­ i 3√2/2

1.2)

z₂
= r · e<sup>i

ц</sup>

= r (cos
р
/4 + i sin
р
/4) = √2/2 + i √2/2

2).

Алгебраическая форма записи:

2.1)

Сумма.

Если z₁
= x₁
+ iy₁
,
а z₂
= x₂
+ iy₂

, то

z₁
+ z₂
= (x₁
+ iy₁
) + (x₂
+ iy₂
) = (x₁
+ x₂
) + i (y₁
+ y₂
)

z₁
+ z₂


= (3√2/2 + √2/2) + i (­3√2/2 + √2/2) = 4√2/2 ­ i 2√2/2= = 2√2 - i√2

2.2)

Произведение.

Если z₁
= x₁
+ iy₁
,
а z₂
= x₂
+ iy₂

, то

z₁
· z₂
= (x₁
+ iy₁
) · (x₂
+ iy₂
) = (x₁
x₂
­ y₁
y₂
) + i (x₁
y₂
+ x₂
y₁
)

z₁
·z₂


=(3√2/2 ·√2/2 + 3√2/2 · √2/2)+ i(3√2/2 · √2/2 - √2/2 · 3√2/2 )=

= 3· 2/4 + 3 · 2/4 + i · 0 = 3

3).Изображение на комплексной плоскости операнд и результатов.

Для упрощения преобразуем значения x

и y

из простых дробей в десятичные.

x₁
= 3√2/2 = 2,1 y₁
= - 3√2/2 = -2,1

x₂
= √2/2 = 0,7 y₂
= √2/2 = 0,7

x₃
= 2√2 = 2,8 y₃
= -√2 = -1,4

x₄
= 3 y₄
= 0

y

0,7

Z₂

0,7

2,1
2,8

0
Z₄

3

x

- 1,4

Z₃

- 2,1

Z₁

Операнды

— Z₁

иZ₂

Результаты

— Z₁
+Z₂
= Z₃

Z₁


·Z₂
= Z₄