Развитие компьютерной техники сделало возможным эффективно применять известные уже более полутора-одного столетия математические методы численного решения систем дифференциальных уравнений. При этом достигается точность вычислений, во многих случаях превосходящая необходимую. Вполне удобной является организация ввода данных и интерпретация результатов. Среди средств, которые удобно применить именно к задачам теории автоматического регулирования, относятся следующие.
1.Среда программирования HP VEE for Windows (Hewlett-Packard Visual Engineering Environment) и её развитие – среда VEE PRO. Они отличаются широким математическим обеспечением, расширенными сервисными возможностями и позволяют пользователю конструировать программы путём соединения между собою типовых пиктограмм из фондов системной библиотеки и представлять данные в естественной для инженерного и научного исследования форме. На рис.6.1 приведен пример модели для решения задачи анализа системы «обьект-ПИД-регулятор».
Рис.6.1. Модель «объект - ПИД-регулятор» в среде HP VEE.
При работе в этой среде возникают некоторые затруднения, если в задаче рассматривается система с обратными связями, которые, однако, преодолеваются по приобретении некоторого опыта.
2. Пакет математических программ Maple 6 и его развития. Он позволяет производить, помимо многого другого, решение задач в символьной форме (если такие решения возможны), что очень важно, например, при нахождении передаточной функции системы звеньев. Запись программ на языке этого пакета максимально приближена к традиционным математическим выражениям. Очень хорошо оформлена программа помощи пользователю, содержащая множество примеров. Ниже приведена программа решения задачи анализа САР 4 порядка с ПИД-регулятором с промежуточными результатами нахождения передаточной функции САР по возмущению, а на рис.6.2 - результаты решения (графики переходных процессов). Ещё ниже показана программа для некоторой нелинейной системы 3 порядка, а на рис.6.3 – переходные процессы в ней.
САР 4 ПОРЯДКА С ПИД-РЕГУЛЯТОРОМ
Дифференциальные уравнения
ОР (T0p+1)Y=KxX-KzZ
ЧЭ (T22p^2+T1p+1)X1=-Y
ИМ+РО pX=Kp*pX1+KiX1+Kdp^2X1
Передаточные функции
> restart; Wx:=Kx/(T0*p+1):Wz:=-Kz/(T0*p+1):W1:=1/(T22*p^2+T1*p+1):W2:=Ki/p+Kp+Kd*p:Wp:=W1*W2:wc:=Wz/(1+Wx*Wp);s:=simplify(wc):Ws:=collect((s),p);
>
with(plots):T0:=1:Kx:=1:Kz:=1:T22:=0.05:T1:=0.2:Kp:=2.0:Ki:=2:Kd:=0.5: sys:=T0*diff(y(t),t)+y(t)=Kx*x(t)-Kz*1(t), T22*diff(x1(t),t$2)+T1*diff(x1(t),t)+x1(t)=-y(t),diff(x(t),t)=Kp*diff(x1(t),t)+Ki*x1(t)+Kd*diff(x1(t),t$2):fcns:={y(t),x1(t),x(t)}:p:=dsolve({sys,y(0)=0,x1(0)=0,D(x1)(0)=0,x(0)=0},fcns,type=numeric,method=rkf45):odeplot(p, [[t,x(t)],[t,x1(t)],[t,0(t)],[t,y(t)],[t,1(t)]],0..10,thickness=1,numpoints=101,color=black,labels=[t,y]);
>
Рис.6.2. Переходные процессы в САР 4 порядка.
> restart;
> with(plots):a:=0.15:c:=0.5:b:=a+c:T0:=2:T1:=0.2:Tc:=0.25:Kx:=2:Kp:=5:pn:=501:z(t):=0.25(t):e(t):=x1(t)-x(t):f(t):=piecewise(e(t)<-b,-c,e(t)>=-b and e(t)<-a, c*(e(t)+a)/(b-a),e(t)>=-a and e(t)<a,0,e(t)>=a and e(t)<b,c*(e(t)-a)/(b-a),c): sys:=T0*diff(y(t),t)+y(t)=Kx*x(t)-z(t),T1*diff(x1(t),t)+x1(t)=-Kp*y(t),Tc*diff(x(t),t)=f(t):fncs:={y(t),x1(t),x(t)}: p:=dsolve({sys,y(0)=0,x1(0)=0,x(0)=0},fncs,type=numeric,method=rkf45):odeplot(p,[[t,y(t)],[t,x1(t)],[t,z(t)],[t,x(t)],[t,e(t)],[t,f(t)]],0..10,numpoints=pn,labels=[t,"y,x1,z,x,(x1-x),f"],thickness=2,title=`red=y, green=x1, yellow=z, blue=x, magenta=(x1-x), aquamarine=f`);
Warning, the name changecoords has been redefined
Рис.6.3. Переходные процессы в нелинейной САР.
3. Пакет математических программ MATLAB, начиная с 6 версии. Чрезвычайно мощное средство решения огромного круга задач. Содержит в своём составе пакет SIMULINK, специализированный для решения задач автоматического регулирования. В пакете SIMULINK имеется обширная библиотека элементов систем автоматики, включающая линейные и нелинейные, непрерывные и дискретные элементы. Решение задачи сводится к построению структурной схемы системы, указанию параметров отдельных элементов, выбору предпочтительного варианта отображения результатов и запуску на расчёт. Пакет содержит меню численных методов решения, допускающее автоматический выбор шага (постоянного либо переменного). Гарантированная относительная погрешность решения составляет 1*10-14. Имеется развитая структура помощи пользователю. Ёмкость пакета SIMULINK, обладающего самостоятельностью функционирования, без консультационной документации составляет около 200 мегабайт.
На рис.6.4 показана структура, набранная для исследования работы системы регулирования частоты вращения вала главного судового дизеля в условиях волнения моря для двух различных схем включения регулятора: предельной и всережимной.
Рис.6.4. Модели САР с регуляторами,
включёнными по различным схемам.
Результаты решения (графики процессов) выводятся в форме, предпочитаемой исследователем, например, аналогично тому, как это выполняется в среде Maple. При этом имеются возможности очень гибкого изменения масштабов в широком диапазоне.
Рекомендуемая литература
1. Бесекерский В.А., Попов Е.В. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972.- 767 с.
2. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Ч.1. М.: Энергия, 1965.- 396 с.
3. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Ч.2. М.: Энергия, 1966.- 384 с.
4. Гитис Э.И., Данилович Г.А., Самойленко В.И. Техническая кибернетика. М.: Советское радио, 1969.- 486 с.
5. Под ред. Пономарёва В.М. и Литвинова А.П. Основы автоматического регулирования и управления. М.: Высшая школа, 1974.- 439 с.
6. Под ред. Солодовникова В.В. Техническая кибернетика. Книга 1 .- 768 с., Книга 2.- 679 с., Книга 3, Ч.1.- 607 с.,Ч.2.- 367 с. М.: Машиностроение, 1967 – 1968.
7.Юревич Е.И. Теория автоматического управления. Л.: Энергия, 1975.- 404 с.