КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ЭЛЕКТРОСТАТИКА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ



ЭЛЕКТРОСТАТИКА



Лекция 1







ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ







ЭЛЕКТРОСТАТИКА В ВАКУУМЕ







ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД

Первые сведения об электричестве относятся к электрическим зарядам, полученным посредством трения. Электрические же цепи, подводящие ток к… Исходными для всей электродинамики являются такие понятия, как «электрический… Величина заряда определяется в физических измерениях по тем или иным проявлениям электромагнитного взаимодействия.…





ЗАКОН КУЛОНА

,
где - коэффициент пропорциональности . Силы, действующие на заряды, являются… Закон Кулона можно записать в векторной форме:






ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Для характеристики электрического поля вводят понятие напряженности. Напряженностью в каждой точке электрического поля называется вектор , численно… Пробный заряд, который вносится в поле, предполагается точечным. Он не… Если на пробный точечный заряд поле действует силой , то напряженность






ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Рассмотрим поле, созданное системой точечных зарядов . В механике рассматривался принцип независимости действия сил. Согласно этому принципу,… . (1.1.1)
Однако известно, что ; и , где - напряженность результирующего поля; - напряженность поля, создаваемого одним зарядом…





ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПОЛЕЙ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА СУПЕРПОЗИЦИИ. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДИПОЛЯ

Электрическим диполем называется система равных по величине и противоположных по знаку электрических зарядов и , расстояние между которыми мало по сравнению с расстоянием до рассматриваемых точек поля.
Молекулы диэлектриков по своим свойствам подобны диполям.
Плечом диполя называется вектор , направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному и численно равен расстоянию между ними. Произведение положительного заряда диполя на плечо называется электрическим моментом диполя :.
Вектор совпадает по направлению с плечом диполя .
Согласно с принципом суперпозиции полей напряженность в произвольной точке диполя равна , где и - напряженности полей зарядов и соответственно.
1.Если точка расположена на оси диполя (рис.1.1.4), то векторы и направлены вдоль этой оси в противоположные стороны,
, ,
где и - радиус-векторы, проведенные в точку из концов диполя и , ; . Векторы и совпадают по направлению с , поэтому ; , тогда , ,
Если , то .
2. Найдем напряженность поля диполя в точке , расположенной на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины (рис.1.1.5.). Точка равноудалена от зарядов и , поэтому:

Из подобных треугольников и получаем, что вектор антипараллелен вектору электрического момента диполя : Модуль напряженности , ясно, что , .
Тогда . Величина , ею можно пренебречь, поэтому .
3. В общем случае пусть точка лежит на расстоянии от середины диполя, радиус-вектор образует с осью диполя угол (рис.1.1.6).
Опустим из точки перпендикуляр на . Поместим в точку два точечных заряда и (равных по величине зарядам диполя). Эти заряды компенсируют друг друга и не искажают поле диполя. Четыре заряда, находящихся в точках можно рассматривать как два диполя и , , поэтому . Поэтому электрические моменты диполей соответственно равны:
; .
Для диполя точка лежит на его оси, напряженность, создаваемая этим диполем в точке С равна .
Для диполя точка лежит на перпендикуляре, напряженность поля этого диполя .
Векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому результирующая напряженность равна:

Таким образом, напряженность электростатического поля диполя зависит от направления радиус-вектора относительно оси диполя и убывает пропорционально кубу расстояния от его центра, то есть значительно быстрее, чем в случае поля одного точечного заряда.





ГУСТОТА ЛИНИЙ НАПРЯЖЕННОСТИ. ПОТОК ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ

Электростатическое поле разобьем на малые области. В каждой такой области проведем площадку , перпендикулярную к линиям напряженности. Через… При выполнении этого условия величина напряженности оказывается связанной с… где , - единичный вектор внешней нормали к поверхности . Для бесконечно малой площадки dS поток вектора напряженности…





ТЕОРЕМА ГАУССА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Вычислим поток вектора через бесконечно малую площадку . Будем считать, что поле создано точечным зарядом в вакууме, находящимся в точке… .
Произведение равно проекции площадки на поверхность, перпендикулярную к . Это произведение положительно, если из видна…





ТЕОРЕМА ГАУССА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Поток вектора через правую грань (1) равен:,
а через левую (2):,
Поэтому поток вдоль оси равен






ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. РАБОТА СИЛ ПОЛЯ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ ЗАРЯДОВ. ЦИРКУЛЯЦИЯ И РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА СТОКСА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда на отрезок , определяется выражением:

Разделив на величину заряда , получим работу по перемещению единичного положительного заряда:
Работа, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда по конечному пути , равна интегралу
. (1.1.2)
Здесь - сила Кулона, которая является центральной силой. Из механики известно, что поле центральных сил консервативно. Следовательно, работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от траектории, а определяется только начальной и конечными ее точками. Работа по замкнутому пути равна нулю. Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным. Тогда из (1.1.2) имеем:
(1.1.3)
- циркуляция вектора по замкнутому пути равна нулю. Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным.
Докажем потенциальный характер электростатического поля.
Рассмотрим сначала работу электрических сил в поле элементарного точечного заряда . Работа этих сил при бесконечно малом перемещении пробного единичного положительного заряда равна:
,
Из рис. 1.1.17 видно, что - это приращение численного значения радиус-вектора , то есть увеличение расстояния пробного заряда от заряда . Поэтому работа может быть представлена как полный дифференциал скалярной функции точки :
,
где - численное значение радиус-вектора . Тогда работа по перемещению единичного положительного заряда из точки в точку по конечному пути равна:
,
где и - расстояния начальной и конечной точек пути от заряда . Таким образом, работа электрических сил на произвольном пути в поле неподвижного элементарного точечного заряда действительно зависит от положений начальной и конечной точек этого пути и не зависит от формы пути. На рис.1.1.18 работа на пути равна работе на пути : избыточная работа, совершаемая на пути при перемещении пробного заряда за пределы сферы радиуса , компенсируется отрицательной работой, совершаемой при последующем приближении пробного заряда к заряду на последнем участке пути . Таким образом, поле неподвижного точечного заряда есть поле потенциальное.
Очевидно, сумма потенциальных полей тоже есть потенциальное поле (так как если работа слагаемых сил не зависит от формы пути, то и работа равнодействующей от нее не зависит). Поле произвольной системы зарядов можно рассматривать как сумму полей каждого из точечных зарядов, поэтому всякое электростатическое поле есть поле потенциальное.
Согласно интегральной форме теоремы Стокса циркуляция векторного поля равна , тогда проекция на произвольное направление поля равна , где - бесконечно малая площадка, проходящая через точку перпендикулярно вектору .
Так как циркуляция вектора по замкнутому контуру равна нулю, , то , или
. (1.1.4)
Так как направление выбрано произвольно, то проекция на любые направления равна 0, поэтому из (1.1.4) во всех точках электростатического поля, то есть электростатическое поле является безвихревым. Это дифференциальная форма теоремы Стокса для электростатического поля. Выражения (1.1.3) и (1.1.4) эквивалентны.

1.1.10.ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Работа сил электрического поля, созданного зарядом , по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 равна:
.
Работа сил консервативного поля равна убыли потенциальной энергии:
,
тогда потенциальная энергия заряда в поле заряда равна:
.
Значение константы выбирается таким, чтобы при удалении заряда на бесконечность (то есть при ) потенциальная энергия обратилась бы в ноль, поэтому
.
Ясно, что разные пробные заряды и в одной и той же точке поля будут обладать разной потенциальной энергией и . Однако отношение для всех пробных зарядов будет одинаково. Величина называется потенциалом электрического поля и является его энергетической характеристикой. Потенциал поля точечного заряда равен
.
Если поле создается системой точечных зарядов, то работа сил поля над этими зарядами равна
,
где - расстояние от заряда до начального положения заряда , - расстояние от заряда до конечного положения заряда (заряд перемещается силами поля).
Тогда потенциальная энергия заряда в поле системы зарядов:
,
и потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
Зная потенциал, можно найти потенциальную энергию заряда в электрическом поле: . Работа поля над зарядом: работа равна убыли потенциала, умноженной на заряд.
Если заряд удаляется из точки на бесконечность, то работа сил поля равна , следовательно, потенциал численно равен отношению работы, которую совершают силы поля над положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность, к величине этого заряда. Потенциал измеряется в вольтах: .






СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ И ПОТЕНЦИАЛОМ

Так как градиент потенциала направлен в сторону его возрастания, а численная величина градиента является мерой быстроты этого возрастания, то можно… Вернемся к определению работы поля: , , отсюда циркуляция вектора на участке… Для обхода по замкнутому контуру: и - пришли к теореме о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.
…





УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА

Согласно правилам векторного анализа ,

Тогда - это дифференциальное уравнение называется уравнением Пуассона.






ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Если эквипотенциальные поверхности построить таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была одна и та же, то по… Для однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему… Рассмотрим эквипотенциальную поверхность точечного заряда. Потенциал точечного заряда (рис.1.1.19) равен . Таким…

ЛЕКЦИЯ 2







ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Если диэлектрик внести в электрическое поле, то и поле, и диэлектрик претерпевают изменения. В составе атомов и молекул имеются положительные и… Если расстояния превышают размеры молекулы, то действие всех электронов… ,






ДИПОЛЬ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

,
где - электрический момент диполя. Переходя к векторной форме записи,… Момент стремится повернуть диполь так, чтобы его момент установился по направлению поля.






ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ. ОРИЕНТАЦИОННЫЙ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ МЕХАНИЗМЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ. ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ ДЛЯ ПОЛЯРНЫХ И НЕПОЛЯРНЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ

В отсутствии внешнего электрического поля дипольные моменты мо­лекул диэлектрика с неполярными молекулами равны нулю. В диэлектрике с полярными молекулами дипольные моменты распределены по направлениям в пространстве хаотически, и суммарный электрический момент диэлектрика равен нулю.
Под действием внешнего поля диэлектрик поляризуется и его результирующий момент становится отличным от нуля. Степень поляризации оценивают электрическим моментом единицы объема:

Величина называется вектором поляризации диэлектрика. У всех диэлектриков, кроме сегнетоэлектриков, вектор поляризации пропорционален напряженности:
, (1.2.4)
где - независящая от безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью. Для диэлектриков, построенных из неполярных молекул, имеет место деформационный механизм поляризации (под действием поля положительные заряды в молекуле смещаются в направлении поля, отрицательные – против поля, молекула деформируется и приобретает форму диполя) формула (2.4) вытекает из следующих соображений. В пределы объема попадает количество молекул, равное , где - число молекул в единице объема. Каждый из моментов молекул определяется как . Тогда . Разделив это выражение на , получим для вектора поляризации . Обозначив , приходим к формуле (1.2.4).
Если диэлектрик построен из полярных молекул, ориентирующему действию внешнего поля препятствует тепловое движение молекул. Оно стремится разбросать дипольные моменты молекул по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая преимущественная ориентация дипольных моментов молекул в направлении поля (ориентационный механизм поляризации), и поляризация пропорциональна напряженности поля, т.е. выполняется соотношение (1.2.4). Диэлектрическая восприимчивость таких диэлектриков обратно пропорциональна абсолютной температуре.
Из сказанного выше ясно, что диэлектрическая восприимчивость характеризует способность вещества поляризоваться, т.е. изменять свою поляризацию под действием электрического поля : .
Диэлектрическая восприимчивость является одним из основных параметров диэлектрика. Если диэлектрик анизотропный, то направления векторов и не совпадают, и представляет собой тензор. В этом случае связь векторов и имеет вид:

1.2.4. ПОЛЕ ВНУТРИ ДИЭЛЕКТРИКА. СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ ПО МУЛЬТИПОЛЯМ. ВЕКТОР ПОЛЯРИЗАЦИИ (ПОЛЯРИЗОВАННОСТИ) ДИЭЛЕКТРИКА И ЕГО СВЯЗЬ С ОБЪЕМНОЙ И ПОВЕРХНОСТНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ СВЯЗАННЫХ ЗАРЯДОВ
Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называются связанными. Под действием поля связанные заряды могут лишь немного смещаться из своих положений равновесия. Покинуть пределы молекул, в состав которых они входят, связанные заряды не могут.
Заряды, находящиеся внутри диэлектрика, которые не входят в состав его молекул, а также заряды, расположенные за пределами диэлектрика, называются свободными или сторонними.
Поле в диэлектрике является суперпозицией поля , создаваемого сторонними зарядами, и поля связанных зарядов. Результирующее поле называется истинным или микроскопическим: .
Микроскопическое поле сильно меняется в пределах межатомных расстояний, а вследствие движения зарядов это поле меняется и со временем. Поэтому в качестве характеристики поля используются усредненные по бесконечно малому объему значения величин:
.
Если сторонние заряды неподвижны, поле обладает теми же свойствами, что и электростатическое поле в вакууме.
Когда диэлектрик неполяризован, объемная плотность и поверхностная плотность связанных зарядов равна нулю. В результате поляризации поверхностная плотность, а в ряде случаев и объемная плотность связанных зарядов, становятся отличными от нуля. Под действием внешнего поля происходит смещение зарядов в неполярных молекулах и поворот диполей в полярных молекулах (рис.1.2.2) так, что положительные заряды смещаются по полю, а отрицательные – против поля. Разноименные связанные заряды, находящиеся внутри однородного диэлектрика, компенсируют друг друга. Связанные же заряды, находящиеся на поверхности диэлектрика, скомпенсированы быть не могут, и на поверхности остается избыточный заряд одного знака. Та поверхность диэлектрика, в которую линии вектора входят, получает отрицательный связанный заряд, а та поверхность, из которой линии вектора выходят, - положительный связанный заряд.
Найдем связь между вектором поляризации и поверхностной плотностью связанных зарядов . Рассмотрим бесконечную плоскопараллельную пластину из однородного изотропного диэлектрика, помещенную в однородное электрическое поле (рис 1.2.3). Выделим в диэлектрике элементарный объем в виде цилиндра, образующие которого параллельны , а основание совпадает с поверхностью пластины. Этот объем равен , где - угол между вектором и внешней нормалью к положительно заряженной поверхности диэлектрика, - толщина пластины, - расстояние между основаниями цилиндров. Объем имеет электрический момент , где - модуль вектора поляризации. Этот объем эквивалентен диполю, образованному зарядами и , отстоящими друг от друга на расстояние . Его электрический момент , тогда , и
(1.2.5)
где - составляющая вектора поляризации по внешней нормали к соответствующей поверхности. Для правой поверхности (рис.1.2.3) , поэтому , для левой и . Известно, что , тогда
(1.2.6)
где - нормальная составляющая напряженности поля внутри диэлектрика.
Из формулы (1.2.6) следует, что, если - линии напряженности выходят из диэлектрика, то на поверхности появляются положительные связанные заряды . Если - линии напряженности входят в диэлектрик, то на поверхности появляются отрицательные заряды .Формулы (1.2.5) и (1.2.6) справедливы и в общем случае, когда неоднородный диэлектрик произвольной формы находится в неоднородном электрическом поле.
Найдем объемную плотность связанных зарядов, возникающих внутри неоднородного диэлектрика. В неоднородном изотропном диэлектрике с неполярными молекулами рассмотрим воображаемую малую площадку (рис 1.2.4). Пусть в единице объема диэлектрика имеется n одинаковых частиц с зарядом и одинаковых частиц с зарядом . В небольшой окрестности поле и диэлектрик можно считать однородными. Поэтому при включении поля все положительные заряды, находящиеся вблизи , сместятся в направлении на расстояние , а отрицательные - противоположно на расстояние . При этом через площадку пройдет в направлении нормали к ней некоторое количество зарядов одного знака (положительных, если , или отрицательных, если ).
Площадку пересекут все заряды , которые до включения поля отстояли от нее более, чем на , то есть все заряды , заключенные в косом цилиндре объемом . Число этих зарядов равно , а переносимый ими в направлении нормали к площадке заряд равен (при заряд, переносимый за счет смещения положительных зарядов, будет отрицательным). Аналогично, площадку пересекут все заряды , заключенные в косом цилиндре объемом .Эти заряды перенесут в направлении нормали к площадке заряд (при заряды перенесут через в направлении, противоположном , заряд , что эквивалентно переносу в направлении заряда ).
Таким образом, при включении поля через площадку переносится заряд в направлении нормали:
. (1.2.7)
Ясно, что - это расстояние, на которое смещаются друг относительно друга положительные и отрицательные связанные заряды в диэлектрике. В результате этого смещения каждая пара зарядов приобретает дипольный момент . Число таких пар в единице объема равно . Тогда модуль вектора поляризации равен
. (1.2.8)
С учетом формулы (1.2.8) выражение (1.2.7) принимает вид: . Диэлектрик изотропный, поэтому направления и совпадают, и есть угол между и , поэтому , и для бесконечно малой площадки : - это связанный заряд, который проходит при включении поля через элементарную площадку в направления нормали к ней.
Рассмотрим замкнутую поверхность , расположенную внутри диэлектрика. При включении поля эту поверхность пересечет и выйдет наружу связанный заряд: причем, - это поток вектора поляризации через: поверхность . В результате выхода заряда в объеме, ограниченном поверхностью , останется избыточный связанный заряд: . Этот заряд равен , где - объемная плотность связанных зарядов. Интеграл бёрется по объему , ограниченному поверхностью . Тогда . Применим к этому выражению теорему Стокса, получаем: , или
(1.2.9)
- объемная плотность связанных зарядов равна дивергенции вектора , взятой с обратным знаком.
Точки с (рис. 1.2.5) служат источниками поля вектора , из этих точек линии вектора расходятся. Точки с (рис.1.2.6) служат стоками поля вектора , к этим точкам линии сходятся. При поляризации диэлектрика положительные связанные заряды смещаются в направлении вектора , а отрицательные связанные заряды - в противоположном. В результате в местах с положительной дивергенцией образуется избыток отрицательных связанных зарядов, а в местах с отрицательной - избыток положительных связанных зарядов.
Связанные заряды отличаются от сторонних лишь тем, что не могут покинуть пределы молекул, в состав которых они входят. В остальном их свойства не отличаются от свойств других зарядов. Поэтому, если плотность связанных зарядов отлична от нуля, теорему Гаусса для вектора следует писать в виде:
, (1.2.10)
тогда уравнение Пуассона принимает вид , где - плотность сторонних (свободных) зарядов. Из (1.2.9) имеем

или , и
. (1.2.11)
Из выражения (1.2.11) следует, что объемная плотность связанных зарядов может быть отлична от нуля в двух случаях: - если диэлектрик неоднороден, ; и, - если в данном месте диэлектрика плотность сторонних зарядов отлична от нуля, .
Если внутри диэлектрика сторонних (свободных) зарядов нет, имеем:
.





ВЕКТОР ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СМЕЩЕНИЯ (ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ). ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКОВ

(1.2.12)
Вектор называют электрическим смещением или электростатической индукцией.… (1.2.13)






ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СМЕЩЕНИЯ

(1.2.15)
В направлении касательной к поверхности раздела никакого дополнительного поля… . (1.2.16)






ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

1. Поле внутри плоской пластины. Пусть поле создано в вакууме двумя бесконечными разноименно заряженными плоскостями. Напряженность этого поля ; электрическое смещение . Внесем в это поле пластину из однородного диэлектрика и расположим ее так, как показано на рис. 1.2.9. Под действием поля диэлектрик поляризуется, и на его поверхностях появятся связанные заряды плотности . Эти заряды создадут внутри пластины однородное поле, напряженность которого . Вне диэлектрика . Напряженность поля . Оба поля направлены навстречу друг другу, следовательно, внутри диэлектрика напряженность результирующего поля равна: , вне диэлектрика .
Поляризация диэлектрика обусловлена полем . Оно перпендикулярно к поверхности пластины и , тогда , и , или - то есть диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз ослабляется поле за счет диэлектрика.
Умножив на , имеем - внутри пластины электрическое смещение равно напряженности поля свободных зарядов, умноженной на , то есть совпадает с электрическим смещением внешнего поля . Вне пластины и .
Найдем поверхностную плотность связанных зарядов : , , тогда , и .
2.Поле двух параллельных плоскостей, заряженных разноименно с поверхностными плотностями зарядов и . Пространство между пластинами заполнено двумя слоями диэлектриков, относительные диэлектрические проницаемости которых и , а толщины и соответственно (рис.1.2.10). Расстояние между пластинами равно , поэтому . Из симметрии в распределении свободных зарядов на плоскостях и в расположении слоев диэлектрических сред ясно, что всюду векторы и должны быть параллельны оси , то есть , . В каждом из слоев диэлектрика поле однородно. Поляризованы эти слои тоже однородно. Поэтому в них имеются только поверхностные поляризованные заряды. Плотности этих зарядов на плоских поверхностях каждого диэлектрика отличаются только знаком.
Напряженность поля связанных зарядов отлична от нуля только внутри самого слоя диэлектрика. Вне конденсатора (при и ) поля нет, , .
Найдем напряженность поля в пространстве между пластинами . Выберем цилиндрическую гауссову поверхность, показанную на рис.1.2.10 штриховой линией. Образующие цилиндра параллельны оси , а основания параллельны заряженным плоскостям. Площадь каждого основания .
Левое основание находится в области , где , а правое проходит через точку поля с координатой , в которой вычисляется поле. Поток смещения через поверхность цилиндра равен потоку только через правое основание: . Внутри гауссовой поверхности находится свободный заряд, размещенный на площадке левой плоскости и равный . Тогда по теореме Гаусса , отсюда .
В первом слое напряженность поля равна при .
Во втором слое при . График зависимости при представлен на рис. 1.2.11.
3. Поле равномерно заряженной сферы радиуса , окруженной концентрическими слоями двух разных диэлектрических сред. Наружный радиус первой среды с относительной диэлектрической проницаемостью равен , а второй среды равен (рис. 1.2.12).
За пределами второй среды - вакуум. Поверхностная плотность свободных зарядов на сфере радиуса равна .
Центр заряженной сферы и концентрических слоев диэлектриков является центром симметрии поля. Поэтому в любой точке поля векторы и направлены радиально от центра , если , или к центру , если , то есть ; . Выберем в качестве гауссовой поверхности сферу радиуса с центром в точке О. Во всех точках этой поверхности , где - проекция вектора на радиус-вектор , проведенный из центра в рассматриваемую точку поля на поверхности . Из симметрии поля следует, что во всех точках поверхности значения одинаковы. Поэтому поток смещения через поверхность равен:
.
С другой стороны, согласно теореме Гаусса, этот поток равен , причем , если . Таким образом, при и , то есть при .
Для проекции вектора на направление радиуса имеем: . Внутри сферы при ; в первой среде при , во второй среде при ; за пределами второй среды при . Таким образом, терпит разрыв дважды: на границе «первая и вторая среда» и «вторая среда - вакуум». Зависимость представлена на рис. 1.2.13.
4.Поле внутри шарового слоя. Окружим заряженную сферу концентрическим шаровым слоем из однородного диэлектрика (рис.1.2.14). На внутренней поверхности слоя появится связанный заряд , распределенный с плотностью , на наружной поверхности заряд , распределенный с плотностью . Знак заряда совпадает со знаком заряда сферы, знак ему противоположен. Внутри сферы при ; в первой среде при , во второй среде при ; за пределами второй среды при .
Напряженность поля внутри диэлектрика равна

и противоположна по направлению напряженности . Напряженность результирующего поля убывает по закону . Поэтому , где - напряженность поля в диэлектрике в непосредственной близости к внутренней поверхности слоя, именно эта напряженность определяет величину (в каждой точке поверхности ). Тогда
,
и , тогда . Так как поле внутри диэлектрика изменяется по закону , то , тогда , или . Следовательно, поля, создаваемые этими зарядами на расстояниях , взаимно уничтожают друг друга, так что вне шарового слоя , .
Таким образом, однородный диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями, то вектор электрического смещения совпадает с вектором напряженности поля свободных зарядов, умноженным на , и напряженность поля внутри диэлектрика в раз меньше, чем напряженность поля свободных зарядов.






СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЗАРЯД В ДИЭЛЕКТРИКЕ

. (1.2.19)
Чтобы заряженное тело поместить в поле, созданное в диэлектрике, надо в этом… Вычисляя силу, действующую на заряженное тело в жидком или газообразном диэлектрике, нужно учитывать электрострикцию –…

ЛЕКЦИЯ 3







ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ







РАВНОВЕСИЕ ЗАРЯДОВ НА ПРИВОДНИКЕ. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОСТАТИКИ ПРОВОДНИКОВ. ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И СИЛОВЫЕ ЛИНИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ МЕЖДУ ПРОВОДНИКАМИ

Очень часто на практике приходится встречаться с ситуациями, в которых распределение зарядов неизвестно, но заданы потенциалы проводников, их форма и относительное расположение. И требуется определить потенциал в любой точке между проводниками. Это основная задача электростатика проводников. Теорема единственности говорит о том, что эта задача имеет единственное решение. Из этой теоремы следует также, что заряд на поверхности проводника тоже распределяется единственным способом.
В проводниках электрические заряды могут свободно перемещаться под действием поля. Силы, действующие на свободные электроны металлического проводника, помещенного во внешнее электростатическое поле, пропорциональны напряженности этого поля. Поэтому под действием внешнего поля заряды в проводнике перераспределяются так, чтобы напряженность поля в любой точке внутри проводника была равна нулю.
На поверхности заряженного проводника вектор напряженности должен быть направлен по нормали к этой поверхности, иначе под действием составляющей вектора , касательной к поверхности проводника, заряды перемещались бы по проводнику. Это противоречит их статическому распределению. Таким образом:
1. Во всех точках внутри проводника , а во всех точках его поверхности , .
2. Весь объем проводника, находящегося в электростатическом поле, является эквипотенциальным, в любой точке внутри проводника:
и .
Поверхность проводника также эквипотенциальна, так как для любой линии поверхности
3. В заряженном проводнике нескомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника. Действительно, проведем внутри проводника произвольную замкнутую поверхность , ограничивающую некоторый внутренний объем проводника (рис.1.3.1). Тогда согласно теореме Гаусса суммарный заряд этого объема равен: , так как в точках поверхности , находящихся внутри проводника, поля нет.
Определим напряженность поля заряженного проводника. Для этого выделим на его поверхности произвольную малую площадку и построим на ней цилиндр высоты с образующей, перпендикулярной к площадке , с основаниями и , параллельными . На поверхности проводника и вблизи нее векторы и перпендикулярны к этой поверхности, и поток вектора сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю. Поток электрического смещения сквозь также равен нулю, так как она лежит внутри проводника, и во всех ее точках .
Поток смещения сквозь всю замкнутую поверхность цилиндра равен потоку сквозь верхнее основание :
По теореме Гаусса этот поток равен сумме зарядов , охватываемых поверхностью: ,где - поверхностная плотность зарядов на элементе поверхности проводника. Тогда , и , так как .
Таким образом, если электростатическое поле создается заряженным проводником, то напряженность этого поля на поверхности проводника прямо пропорциональна поверхностной плотности зарядов, находящихся в нем.
Исследования распределения зарядов на проводниках различной формы, находящихся в однородном диэлектрике вдали от других тел показали, что распределение зарядов во внешней поверхности проводника зависит только от ее формы: чем больше кривизна поверхности, тем больше плотность зарядов ; на внутренних поверхностях замкнутых полых проводников избыточные заряды отсутствуют и .
Большая величина напряженности поля вблизи острого выступа на заряженном проводнике приводит к электрическому ветру. В сильном электрическом поле около острия положительные ионы, имеющиеся в воздухе, движутся с большой скоростью, сталкиваясь с молекулами воздуха и ионизируя их. Возникает все большее число движущихся ионов, образующих электрический ветер. Вследствие сильной ионизации воздуха около острия оно быстро теряет электрический заряд. Поэтому для сохранения заряда на проводниках стремятся, чтобы поверхности их не имели острых выступов.






ПРОВОДНИК ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЗАЩИТА

Индуцированные заряды распределяются по внешней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равномерном распределении…





ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКОВ

Поверхность проводника разобьем на бесконечно малые элементы , заряд каждого такого элемента равен , и его можно считать точечным. Потенциал поля… (1.3.1)
Для точки, лежащей на поверхности проводника, является функцией координат этой точки и элемента . В этом случае…





ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ КОНДЕНСАТОРОВ

Рассмотрим систему, составленную из близко расположенных проводников, заряды которых численно равны, но противоположны по знаку. Обозначим разность… ,
где - взаимная электроемкость двух проводников:






СОЕДИНЕНИЯ КОНДЕНСАТОРОВ


Заряд всей батареи . Но, с другой стороны , где С емкость батареи, тогда .
2. Последовательное соединение. Рассмотрим батарею конденсаторов, соединенных последвательно, т.е. противоположно…

Лекция 4







ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ







ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ. ТЕОРЕМА ИРНШОУ

Рассмотрим теперь систему из трех взаимодействующих точечных зарядов. Работа, которую совершают все силы взаимодействия при элементарных… Найдем выражение для энергии . Для системы из трех зарядов получаем .…






ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДНИКА

Заряжая некоторый проводник, необходимо совершить определенную работу против кулоновских сил отталкивания между одноименными электрическими… Рассмотрим проводник, имеющий электроемкость , заряд и потенциал . Работа,… .






ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО КОНДЕНСАТОРА. ОБЪЕМНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Рассмотрим плоский конденсатор. Энергия, заключенная в единице объема электростатического поля называется объемной плотностью энергии. Эта объемная… Найдем энергию сферического конденсатора. На расстоянии от центра заряженного… .






ЭНЕРГИЯ ПОЛЯРИЗОВАННОГО ДИЭЛЕКТРИКА. ОБЪЕМНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКЕ

Если поле напряженностью создано в вакууме, , то объемная плотность энергии этого поля в точке с напряженностью равна:

Докажем, что объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика в этой точке выражается формулой: .






ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДНИКОВ







ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В НЕСЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ

Закон сохранения энергии для малого изменения состояния системы при постоянной температуре и постоянной плотности среды имеет вид:
.
Здесь: - работа внешних сил; - работа источников электрической энергии; - изменение энергии электростатического поля…