Моделирование систем управления Задание на курсовое проектирование
1. Провести полный факторный эксперимент вида 3^3 с моделью BLACK BOX 2. Методом регрессионного анализа получить аналитическую зависимость y=f(x1, x2, t) 3. Составить модель полученного уравнения регрессии.
4. Провести оценку адекватности уравнения регрессии заданной модели по критерию Фишера дляa=0, 05 , рассчитать среднее абсолютное отклонение координат аналитической модели от заданной.
5. Провести оценку значимости коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента дляa=0, 05 6. Получить графики ошибки ym-yr=f(t) ym - выходная координата модели BLACK BOX yr - выходная координата созданной модели Значения параметров: x1= 0. 6 .... -1. 4 x2= 2. 0 .... 0. 6 t = 2 .... 10 b = 1. 1 Экспериментальные данные.
Составим последовательность имитации эксперимента, исходя из данных курсового задания, и представим в матричной форме. Имитационная модель–это модель системы управления с введением случайной переменной погрешности b=1, 1.
Необходимо найти аналитическое уравнение связи параметров системы и числовых знаковых коэффициентов. Уравнение регрессии имеет следующий вид: Y=b0+Sbixi+Sbijxixj+Sbiixi2 bixi – линейная регрессия, bijxixj- неполная квадратичная регрессия, biixi2- квадратичная регрессия.
Схема для проведения экспериментов (приложение №1 Vissim 32) Матричная форма имитационного эксперимента. x0 x1 x2 x3=t x1*x2 x1*x3 x2*x3 x1*x1 x2*x2 x3*x3 1 0, 6 2 10 1, 2 6 20 0, 36 4 100 1 0, 6 2 6 1, 2 3, 6 12 0, 36 4 36 1 0, 6 2 2 1, 2 1, 2 4 0, 36 4 4 1 0, 6 1, 3 10 0, 78 6 13 0, 36 1, 69 100 1 0, 6 1, 3 6 0, 78 3, 6 7, 8 0, 36 1, 69 36 1 0, 6 1, 3 2 0, 78 1, 2 2, 6 0, 36 1, 69 4 1 0, 6 0, 6 10 0, 36 6 6 0, 36 0, 36 100 1 0, 6 0, 6 6 0, 36 3, 6 3, 6 0, 36 0, 36 36 1 0, 6 0, 6 2 0, 36 1, 2 1, 2 0, 36 0, 36 4 1 -0, 4 2 10 -0, 8 -4 20 0, 16 4 100 1 -0, 4 2 6 -0, 8 -2, 4 12 0, 16 4 36 1 -0, 4 2 2 -0, 8 -0, 8 4 0, 16 4 4 1 -0, 4 1, 3 10 -0, 52 -4 13 0, 16 1, 69 100 1 -0, 4 1, 3 6 -0, 52 -2, 4 7, 8 0, 16 1, 69 36 1 -0, 4 1, 3 2 -0, 52 -0, 8 2, 6 0, 16 1, 69 4 1 -0, 4 0, 6 10 -0, 24 -4 6 0, 16 0, 36 100 1 -0, 4 0, 6 6 -0, 24 -2, 4 3, 6 0, 16 0, 36 36 1 -0, 4 0, 6 2 -0, 24 -0, 8 1, 2 0, 16 0, 36 4 1 -1, 4 2 10 -2, 8 -14 20 1, 96 4 100 1 -1, 4 2 6 -2, 8 -8, 4 12 1, 96 4 36 1 -1, 4 2 2 -2, 8 -2, 8 4 1, 96 4 4 1 -1, 4 1, 3 10 -1, 82 -14 13 1, 96 1, 69 100 1 -1, 4 1, 3 6 -1, 82 -8, 4 7, 8 1, 96 1, 69 36 1 -1, 4 1, 3 2 -1, 82 -2, 8 2, 6 1, 96 1, 69 4 1 -1, 4 0, 6 10 -0, 84 -14 6 1, 96 0, 36 100 1 -1, 4 0, 6 6 -0, 84 -8, 4 3, 6 1, 96 0, 36 36 1 -1, 4 0, 6 2 -0, 84 -2, 8 1, 2 1, 96 0, 36 4 Матрица значений полученных в результате эксперимента. y0 y1 y2 y3 y4 Ysr 235, 09 235, 41 235, 727 234, 95 236, 37 235, 51 134, 71 136, 34 136, 881 135, 22 135, 76 135, 78 67, 067 68, 544 67, 82 68, 197 68, 574 68, 04 140, 38 140, 7 141, 017 140, 24 141, 66 140, 8 60, 996 62, 634 63, 171 61, 508 62, 046 62, 071 14, 357 15, 834 15, 11 15, 487 15, 864 15, 33 64, 287 64, 606 64, 926 64, 146 65, 565 64, 706 5, 906 7, 544 8, 081 6, 418 6, 956 6, 981 -19, 73 -18, 26 -18, 979 -18, 6 -18, 23 -18, 759 100, 25 100, 57 100, 887 100, 11 101, 53 100, 67 65, 866 67, 504 68, 041 66, 378 66, 916 66, 941 64, 227 65, 704 64, 98 65, 357 65, 734 65, 2 -9, 162 -8, 843 -8, 523 -9, 303 -7, 884 -8, 743 -22, 54 -20, 91 -20, 368 -22, 03 -21, 49 -21, 468 -3, 182 -1, 705 -2, 429 -2, 052 -1, 675 -2, 2086 -99, 95 -99, 63 -99, 313 -100, 1 -98, 67 -99, 533 -92, 33 -90, 7 -90, 158 -91, 82 -91, 28 -91, 258 -51, 97 -50, 5 -51, 219 -50, 84 -50, 47 -50, 999 -53, 19 -52, 87 -52, 553 -53, 33 -51, 91 -52, 773 -21, 57 -19, 94 -19, 398 -21, 06 -20, 52 -20, 498 42, 787 44, 264 43, 54 43, 917 44, 294 43, 76 -177, 3 -177 -178, 663 -177, 4 -176 -177, 28 -124, 7 -123 -122, 509 -124, 2 -123, 6 -123, 61 -39, 32 -37, 85 -38, 569 -38, 19 -37, 82 -38, 349 -282, 8 -282, 5 -282, 153 -282, 9 -281, 5 -282, 37 -209, 2 -207, 5 -206, 999 -208, 7 -208, 1 -208, 1 -102, 8 -101, 3 -102, 059 -101, 7 -101, 3 -101, 84 Вычислим коэффициенты B по формуле B=(XTX)-1XTYsr XT – транспонированная матрица Ysr- средние экспериментальные значения b0 -29, 799251 b1 13, 6541852 b2 9, 96405181 b3 -15, 946707 b4 -21, 000048 b5 16, 508325 b6 7, 50010119 b7 -9, 3224778 b8 19, 0904535 b9 0, 99813056
Вычисления производились в Microsoft Excel по следующей формуле =МУМНОЖ(МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП (Хматрица); Хматрица)); ТРАНСП(Хматрица)); Yматрица)
Полученные коэффициенты подставим в уравнение регрессии и построим схему для проведения эксперимента (приложение №2, 3 Vissim 32) и проведем эксперимент без использования дельты или шума. Внесем полученные данные в столбец (Yip) таблицы. Ysr Si кв Yip (Yi-Yip)2 235, 51 0, 3219 234, 7 0, 61090 135, 78 0, 7492 135, 5 0, 06574 68, 04 0, 3897 68 0, 00163 140, 8 0, 3219 140 0, 68327 62, 071 0, 75 61, 77 0, 09060 15, 33 0, 3897 15, 25 0, 00646 64, 706 0, 3214 63, 93 0, 60218 6, 981 0, 75 6, 73 0, 06300 -18, 759 0, 3897 -18, 78 0, 00046 100, 67 0, 3219 99, 93 0, 54258 66, 941 0, 75 66, 73 0, 04452 65, 2 0, 3897 65, 21 0, 00009 -8, 743 0, 3214 -9, 51 0, 58829 -21, 468 0, 75 -21, 71 0, 05856 -2, 2086 0, 3897 -2, 23 0, 00046 -99, 533 0, 3216 -100, 3 0, 51380 -91, 258 0, 75 -91, 45 0, 03686 -50, 999 0, 3897 -50, 97 0, 00082 -52, 773 0, 3214 -53, 48 0, 49985 -20, 498 0, 75 -20, 68 0, 03312 43, 76 0, 3897 43, 79 0, 00088 -177, 28 0, 9015 -177, 6 0, 12013 -123, 61 0, 7492 -123, 8 0, 04902 -38, 349 0, 3897 -38, 35 0, 00000 -282, 37 0, 3219 -283, 1 0, 48525 -208, 1 0, 7492 -208, 3 0, 02938 -101, 84 0, 3892 -101, 8 0, 00240 SSi=13, 73 S=5, 13026
Так как результаты опытов обладают статической неопределенностью, поэтому опыты воспроизводим несколько раз при одних и тех же значениях факторов для повышения точности коэффициентов регрессии за счет эффекта понижения дисперсии. n=27- экспериментов m=10 – количество членов уравнения Si2=1/g-1*S(Ygi-Yi)2 , g- количество экспериментов ( 5) Sy2=1/n*SSi2
S0= е(Yi-Yip)2/n-m – среднеквадратичная ошибка на степень свободы d=е|Yi-Yip|/n – среднее обсолютное отклонение между расчетными значениями
Адекватность вида регрессии уравнения определяется по критерию Фишера, а значимость коэффициентов по критерию Стьюдента и доверительного интервала на его основе. Fрасч= S02/Sy2 Fтабл=1, 77 , a=0, 05 – уровень значимости 1-a®р – вероятность с которой уравнение будет адекватно. n-mЮ27-10=17 – число степеней свободы SDbj2=Sy2/n - дисперсия коэффициентов взаимодействия Dbj=±tc* Ц Sy2/ Ц n tc=2, 12 Sy2 0, 5085 Fрасч. 1, 08031201 So 0, 5493 Sg2 0, 01883355 d 0, 4359 Dbj 0, 29093901 p 0, 95 Fтабл=1, 75> Fрасч. = 1, 08, значит система адекватна. Уравнение регрессии примет вид.
Y=-29, 79+13, 65x1+9, 96x2-15, 94x3-21x1x2+16, 5x1x3 +7, 5x2x3-9, 32x12+19, 09x22+0, 99x32 График ошибки (см. приложение № 4). Вывод.
Исходя из полученных значений сделаем вывод, что полученная система очень мало отличается от заданной. Уравнения адекватны Коэффициенты значимы Приложение № 1 Приложение № 2