Экзаменационная программа
По курсу математического анализа для студентов групп 03-112 - 116. 1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества в Rn. 2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, обратная функция.
3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Переход к пределу в неравенствах.
5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точкиа } функции f(х), имеющей конечный предел при х® а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. 6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Предельный переход в неравенствах. 7. Теорема о пределе сложной функции.
8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.
9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции. 10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность. 11. Теорема о непрерывности сложной функции. 12. Теорема о непрерывности обратной функции. 13. Непрерывность элементарных функций.
14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходимость ряда 15. Свойства сходящихся рядов.
16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения. 17. Признаки Даламбера и Коши.
18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.
19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и
. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. 20. Ряды с комплексными членами.
21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке. 22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями. 24. Производная сложной функции. 25. Производная обратной функции.
26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций. 27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 28. Параметрическое дифференцирование. 29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия. 30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация. 31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация. 32. Теорема Коши. 33. Правило Лопиталя.
34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. 35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена. 36. Признак монотонности функции.
37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции. 38. Выпуклость и точки перегиба. 39. Асимптоты. 40. Первообразная и ее свойства. 41. Неопределенный интеграл и его свойства.
42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей. 44. Интегрирование иррациональностей. 45. Интегрирование тригонометрических выражений.
46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции 47. Свойства определенного интеграла, 48. Теорема о среднем.
49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость. 50. Формула Ньютона - Лейбница
51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям. 52. Площадь плоской фигуры.
53. Несобственные интефалы. Основные определения и свойства. 54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.
#1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x, y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xОR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки "xОX $ e >0 такая что U(x, e) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во. } Метрическим пространством называется пара (x, r) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции r опред на множ Х и удовл след св-вам 1 r(x, y)=0 Ы x=y1; 2) p(x, y)= p(y, x) " x, yОX; 3) p(x, y)
#3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f: N®X обозн {Xn} или Хn n=1, 2, 3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®Ґ)xn если "e>0 $ne =n(e)ОN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/0 $n1 при n>n1 /xn-a/n1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/ xn>r при n>n2 пусть no=max(n1, n2)=> при n>no xn>r xn a=b Теор док. {Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.
#4послед {xn} назыв б м п если lim(n®Ґ)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т. к {xn} ббп =>"e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/ne = lim(n®Ґ) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич =>$M>0 такое что /уn/0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/ при n>ne /xnyn/=/xn/yn lim(n®Ґ)(xnyn)=0 чтд {Т} Если $n0: "n>n0 aNЈbNЈcN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cNn” => (a-E)max{n0, n’, n”} (a-E)max{n0, n’, n”}=>bNО(a-E, a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хNЈyN, тогда xЈy {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|n0” |yN-y|max{n0’, n0”}: |хN-х|max{n0’, n0”} хNО(х-Е, х+Е) & уNО(у-Е, у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием. #5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. “а” за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при x®a если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 00 $ d=d(E)>0 | "x 00 $ d=d(E)>0 : "x 0E {O limx®af(x)=-Ґ} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 00 $ D=D(e)>0 : "x |x|>D вып |f(x)-A|0 $ D=D(E)>0 : "x |x|>D вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb x®a+0(-0) называется число А / "e>0 $d=d(e)>0 при "x a(-d)0 | при "x 00 | при "x 00 | при "x 00 Ю $d=d(E) >0 | при "x уд. 01/E Ю 1/f(x)0 | "x, уд. 00 тогда $ d2>0 | при 0E Ю 1/f(x) –бб при х®а {T} Сумма двух б. м при x®a есть бм при x®a {Д} Пусть limx®af1(x)=0 limx®af2(x)=0 "e>0, тогда $d1=d1(e)>0 | при "х 00 | при "x, 00 | "х ОU(a, d1)Ю |g(x)|0 Ю $ d2>0 | при "x, 00 $ d завис от e такое что d(e)>0 такое что "х, 0 /f(x)-A/ /j(x)/=/f(x)-A/0 $ d>0 такая что "х удв 0 /f(x)-A/=/j(x)/ lim(х®а)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при х®а =А и сущ lim(х®а)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В№0 ; 1-e св-во тк lim(х®а)f1(x)=A и lim(х®а)f2(x)=B => f1(x)=A+j1(x) f2(x)=B+j2(x) где j1j2 бм ф-ии при х®а тогда f1(x)+f2(x)=A+B+j1j2= A+B+j(x)== где j(х) бмф т. к. сумма 2х бм ==lim(х®а)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и b1 f1(x) 1)e1=c-b1>0 $d1>0 так что "хОU(a, d) /f1(x)-b1/ b1-c f1(x)0 так что "хОU(a, d) =>/f2(x)-b2/ c-b2 "хОU(a, d) => f1(x) f1(x) b1=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a, d) так что "хОU(a1, d1) => f1(x)>f2(x) do =min(d1d2) =>"хОU(a1, do) => f1(x)f2(x)- по док-ву => противор =>b10 Ю $d2>0 | "x 00 | "x, 00 т. к. $ limy®Ag(y)=B Ю $s>0 |"y , 00 | |f(x)|ЈC(g(x)) "x О E f(x)=O(1) на E Ю f(x) ограничена на Е т. е. $ С>0 | |f(x)|ЈC "xОE Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (. ) а за исключением быть может самой этой (. ) f(x) есть o-малое от g(x) при x®a и пишут f(x)=o(g(x)), x®a , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где limx®fE(x)=0 xІ=o(x), x®0 f(x)=og(x) , x®a E(x)=x h(x)=o(g(x)), x®a; j(x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) x®a f(x) есть O-большое от g(x) при x®a, если $ U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), x®a Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами x®a, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (. ) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел$ limx®af(x)/g(x)=1 пишут f(x)~g(x) x®a {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) x®a g(x)№0 (x№a) {Док-во} Пусть f(x)~g(x) , x®a тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и $ limx®af(x)/g(x)=1 Ю $ E(x), E(x)®0 при x®a | f(x)/g(x)=1+E(x)Ю f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), x®a. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) x®a , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limx®aE(x)=0 Ю f(x)/g(x)=1+E(x) Ю limx®af(x)/g(x)=1 Ю f~g(x) x®a {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б. м. ф-ции при x®a g(x)№0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при x®a имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б. м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б. м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при x®a {O} Ф-ция f(x) называется б. м. к-ого относительно б. м. g(x) при x®a, Если ф-ция f(x) и gk(x) б. м. одного порядка при x®a №9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для"e >0 $ d=d(e)>0 такое что "h /h/0 такое что f(x)>c "xОU(a, g) ((1)f(a)>0) f(x)0 тогда $ d>0 такое что "xОU(ag) => /f(x)-f(a)/0 => /f(a)/=f(a)=> "xОU(ag) f(a)/2 c = f(a)/2; 2) f(a) /f(a)/=-f(a)=> "xОU(ag) f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0 => f(x)0 Ю по теореме Больцана –Каши $ сО(a, b) | j(c)=0 Ю f(c)-C=0Юf(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a, b] ограничена на этом отрезке. {Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a, b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения$a. b О[a, b] | f(a)=minf(x) xО[a, b]; f(b)=maxf(x) xО[a, b] f(a)0 $d=d(e)>0 | "x’, x’’ОX, r(x’, x’’)0 $d=e | "x’, x’’ОR, |x’-x’’|
#11{Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем"e>0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число d>0 так что "у /у-b/0 l(х) опред на (а-d; а+d) и "хО(а-d; а+d) => /f(x)-f(a)/ по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд. #12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при "хО [a, b] "уО[A, B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=j(y) также непрерывна {Д} Пусть y0О[A, B] Ю x0=j(y0), f(x0)=y0 x0О(a, b) ; возьмём e>0 столь малое, что [x0-e, x0+e]М[a, b] Пусть y1=f(x0-e) y2=f(x0+e) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f "yО(y1, y2)Юx=j(y)О(x0-e, x0+e) тогда для у из [A, B] получаем [a, b] Ю мы получили на нём e>0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (. ) 0 (у1, у2) | "уО(у1, у2) соответсвует j(y)О(x0-e; x0+e) Если это утверждение справедливо для мал e то оно справедливо для +e Ю ф-ция j - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В Ю х0=j(y0)=b Возьмём e
#13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Df(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh®0Df(x)=0; 2) f(x)=x; Df(x)=x+h-x=h Юlimh®0h=0; 3)f(x)=xn, nОN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-цийЮ по индукции xn=xn-1Чx; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+...+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций. ;6) f(x)=sinx Лемма"xОR, |sinx|p/2 Ю |sinx|
=0 Df=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh®0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax a>0 a№1 непрерывна на (0, +Ґ) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр. #14{Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач испесумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если рядеаn сход то lim(n®Ґ)an=0 док-во если ряд еan сх то $ lim(n®Ґ)Sn=S=lim(n®Ґ)S(n-1) тогда lim(n®Ґ)an = lim(n®Ґ)(Sn-S(n-1)) = lim(n®Ґ)Sn-lim(n®Ґ)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда е(n=1, Ґ)an у "e >0 $ ne такое что при n>ne и "рО Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/1 сход a=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 Ю для e=1/2 при " n $ p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|>e Ю ряд расх. Пусть a>1, s=2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2a+(1/3a+1/4a)+(1/5a+1/6a+1/7a+1/8a)+…+(1/(2k-1+1)a+, ,, +1/(2k)a); 1/(n+1)a+1/(n+2)a+…+1/(2n)a>1/na+1/na+1/na=n/na=1/na-1=1/nsm) Т. к. $lims®+ҐA’SЮ$limn®+ҐA’n=m Ю $limn®+ҐA=limn®+ҐAn-n+Am Ю еn=1+Ґan ряд сх. {Следствие} Если ряд е(1, +Ґ)an сх-ся и an=е(k=n+1, +Ґ)ak Юlimn®+Ґan=0 {Док} Пусть An=е(1, n)ak, A=limn®+ҐAn Ю A=An+anЮan=A-A1 Ю limn®+Ґan=A-limn®+ҐAn=0 {Т} Если ряды е(n=1, +Ґ)an и е(n=1, +Ґ)bn сх-ся и l-число, то е(n=1, +Ґ)(an+bn) сх-ся и е(n=1, +Ґ)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=е(k=1, n)ak, Bn=еk=1nbk; A=limn®+ҐAn, B=limn®+ҐBn; $limn®+Ґ(An+Bn)=A+B, $limn®+ҐlAn=lA Т. к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда е(n=1, +Ґ)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся. #16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда е(n=1...Ґ)an и е(n=1...Ґ)bn аn>=0 bn>=0 (n=1, 2, 3…) и $ no такое что при n>no аn $ M>0 такое что Bn е(k=no+1...Ґ)ak сх-ся =>е(k=1...Ґ)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n®Ґ) an/bn =k то; 1). 0 e=1 $ no такое что при n>no an/bn anno => из сх еbn следует сходимость еan => еaк сходится 0no an/bn>k/2 (k1; k=+Ґ => при n>no аn>(k/2)bn (k из расход еbn =>еаn расх =>еак а>bn (k=+Ґ) Ю Утв. #17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} еan an>0 n=1, 2, 3… Если а(n+1)/an ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1) е(n=1, +Ґ)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n®Ґ)an№0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: $limn®+Ґan+1/an=k; 1)k1 ряд расх. {Док-во} k0 |k+en0 an+1/an1; k0 | k-e>1 Ю $n0 | при n>n0 an+1/an>k-e>1 Ю еn=1+Ґan расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд еan>0 кор n-ой степ(аn)1 ряд расход {cледствие} пусть$ lim(кор n-ой степ(аn))=k; k1 – ряд расход #18 {O} Знакопеременными рядами называют еn=1+Ґ(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд е(-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)$ lim(k®Ґ)S2k+1=lim(k®Ґ)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®Ґ)Sn=lim(n®Ґ)S2k = lim(k®Ґ)S2k+1=S {Док-ть самим} {Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю
#19 Ряд еn=1Ґan –наз абс сход если сход ряд е|an|. Если еan – cх а е|an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть рядеn=1+Ґan -абс сх Ю еn=1+Ґ|аn| -сх-ся Ю по критерию Коши "e>0 $ne| при n>ne и "pОZ p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|1 ряд еn=1+Ґan- расх {Т2} Если для посл-ности еnЦ|an|; k=limn®+Ґ nЦ|an|; при k1 ряд еn=1+Ґan- расх. #20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1, 2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для"e>0 $ ne | при n>ne вып |zn-z0|0 $ne | при n>ne =|zn-z0|=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| Ю при n>ne вып. нер-во |xn-x0|
#21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние®0; f'(x0)=limDx®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx {O} A=const Вырожение АDх –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение Dх обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т. о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (. ) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (. ) х0 {Док-во} ПустьDy=f(x0+Dx)-f(x0) т. к. $ limDx®0Dy/Dx=f’(x0)Ю Dy/Dx=f’(x0)+a(Dx), где a(Dx) ®0 при Dх®0 Ю Dy=f’(x0)ЧDx+a(Dx), где a(Dх)®0 при Dх®0 Ю Dy=f’(x0)Dx+a(Dx)DxЮ limDx®0Dy=0 Юв f(x)-непрерывно в т. х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т. х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращениеDу=f(x0+Dx)-f(x0), x0+DxОU(x0) можно представить в виде Dу=АDх+о(Dх), Dх®0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0Ю Dy =f(x0+Dx)-f(x0)= ADx+o(Dx), Dx®0; limDx®0Dy/Dx= limDx®0(A+o(Dx)/Dx)=A; т. о. в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/DxЮDy/Dx=f’(x0)+e(Dx), limDx®0e(Dx)=0 Ю Dy=f’(x0)Dx +e(Dx)DxЮ Dy=f’(x0)Dx+o(Dx), Dx®0 Ю ф-ция f- дифференцируема в т. х0 №22{Геометрический смысл произ} Пусть ф-ция y=f(x)- определена и непрерывна на (a; b) x0, x0+DxО(a, b), y0=f(x0), y0+Dy=f(x0+Dx) M0(x0, y0) M(x0+Dx, y0+Dy){картинка} проведём секущую MM0 её ур-ние имеет вид y=y0+k(Dx)(x-x0), k(Dx)=Dy/Dx; Всилу непрерывности y=f(x) в т. (х0) Dу®0 при Dх®0 Ю|M0M|=Ц(DxІ+DyІ)®0 при Dх®0 В этом случае говорят что M®M0 {О} Если $ limDx®0k(Dx)=k0 то прямая уравнение которой y=y0+k(Dx)(x-x0) получается из ур-ния k(Dx)=Dy/Dx при Dх®0 называется наклонной касательной к графику ф-ции у=f(x) в (. ) (х0, у0) Т. к. k(Dx)=Dy/Dx, то k0=limDx®0k(Dx)= limDx®0Dy/Dx=f’(x0) Ю уравнение касательной имеет вид y=y0+f’(x0)(x-x0) ; f’(x0)=tga; причём y=y0+k0(x-x0) –называется предельным положением; y=y0+k(Dx)(x-x0) Ю касательная есть предельное положение секущей при M0M т. к. f’(x0)(x-x0)=dy то dy=y-y0 где у-текущая ордината касательной. Т. е. дифференциал ф-ции в (. ) х0 есть приращение ординаты касательной. {Уравнение нормали. } Нормалью к графику ф-ции y=f(x) в (. ) (х0, у0) называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент k=-1/f’(x0) ; y-f(x0)=-1Ч(x-x0)/f’(x0) x и y – точки на нормали #23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (. ) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(UЧV)=(UЧV)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/VІ=(U'Vdx-V’Udx)/VІ=(Vdu-Udv)/VІ №24 {Производная от сложной ф-ии. } Dh: Пусть: z=f(y) - дифф. в точке y0 ; y=j(x) дифф. в точке х0 . y0=j(x0) тогда сложная ф-ия z=f(j(x))- дифф. в точке х0 и справедлива формула: z’x=z’yЧy’x=f’(y)Чj’(x) ; dz/dx=dz/dy Ч dy/dx {Док}Т. к. z=f(y) - дифф. в точке y0 ЮDz=f’(y0)Dy+a(Dy); Т. к. y=j(x)- дифф. в точке х0 ЮDy=j’(x0)Dx+b(Dx); Dz=f’(y0)j’(x0)Dx+f’(y0)b(Dx)+a(Dy); Т. к y=j(x) - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке Ю (Dx®0ЮDy®0). t(Dx)=f’(x0)b(Dx)+a(Dy); limDx®0tЧDt/Dx; limDx®0t(Dx)/Dx= limDx®0[f’(x0)Чb(Dx)/Dx+a(Dy)/Dx]= limDx®0a(Dy)/Dx= limDx®0a(Dy)/DyЧ limDx®0Dy/Dx=j’(x0); D(f(j(x)))=(f’(y0)j’(x0))Dx+t(Dx), где limDx®0t(Dx)/Dx=0Ю (f(j(x)))’x=z’x=f’(y0)j’(x0) #25 {Производная от обратной ф-ии. } Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)№0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f-1(x)=j(y) 3) y0=f(x0); тогда в (. ) х0 существует f’(j)№0, равная j'(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=j(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. x№x0®y№y0ЮDx№0® Dy№0Ю Dy/Dx=1/Dy/Dx ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда limDx®0Dy=0ЮDx®0ЮDy®0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDy®01/Dy/Dx=1/limDy®0Dx/Dy=1/j’(y0) ; f’(x0)№0Юj’(y0)=1/f’(x0) #26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]v(x), u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)Чu’(x)/u(x); y’=uvЧ(v’lnu+vЧu’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=ConstDy=c-c=0ЮlimDx®0Dy/DxЮ(C)’=0 ; 2) y=sinx Dy’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/Ц1-xІ 6)(arccosx)’=-1/Ц(1-xІ) 7) (arctgx)’=1/(1+xІ) 8) (arcctgx)’=-1/(1+xІ) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (xa)’=aЧxa-1 #27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f(n)(x)=(f(n-1)(x))’т. о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (. ) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (. ) х0 определено произведение n-1–ого порядка, которая сама имеет производную в (. ) х0 f(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dnf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной dІy=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dxІ; dny=f(n)(x)dxn ; f(n)=dny/dxn ) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)v'' + … +C1n u(n-k)v(k) + uv(n) =еk=0nCkn u(n-k)v(k), (формула Лейбница), Где Cnk =n! /k! Ч(n-k)! , 0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = еk=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции. #28{Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (. ) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’t(t0)Чt’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)№0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’ x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0Чt’x|x=x0=y’’tt(t0)Чx’t(t0)-y’t(t0)Чxtt’’(t0)/(x’t(t0)) #29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет производную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точкес локальный максимум. По определению производной имеем f’(c)=limDx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ; Так как у нас f(c)>=f (x) "xОU(с), то для достаточно малых Dx> 0 ; (f(c+Dx)-f(c))/Dx откуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом неравенстве, получаем, что f’(с)>=0. Из соотношений вытекает, что f'(c)=0. #30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка cО0(а, b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех cО(a, b) производная f'(c)=0. Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f непрерывна на [а, b], то существует точка x1О [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2О[а, b], в которой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а, b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1, х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозначим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) существует для всех хО(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0. {} Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c, f(c)) касательная в которой параллельна оси х. #31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет производную на интервале (а, b). Тогда существует на интервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а
#32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)№0 в (а, b), то существует точка cО(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c) Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)№0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))Ч(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка cО(a, b), в которой F'(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))Чg’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверждение теоремы. #33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a, b] ; 2) limx®a+0f(x)=limx®a+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a, b] y’№0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a; b] ф-ции (т. к. в т. a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a0 ; 2) limx®+Ґf(x)=limx®a+Ґg(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c, +Ґ) g’(x)№0 ; 4)$ limx®a+Ґf’(x)/g’(x)=k Тогда limx®a+Ґf(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x®+ҐЮt®0 по условию 2) limt®0f(1/x)= limt®0g(1/x)=0 ; По усл 4) limt®0f’(1/t)/g’(1/t)=k Юпо т1 limx®a+Ґf(x)/g(x)= limx®a+Ґf’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a, b] ; 2) limx®a+0f(x)=+Ґ; limx®a+0g(x)=+Ґ; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a, b] y’№0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k #34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a, b) и имеет в т. хО(a, b) производные до порядка n включительно f’(x), f’’(x), …, f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1! + f’(x0)(x-x0)І/2! +…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n! +o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1! + f’(x0)(x-x0)І/2! +…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n! +f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)! -формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1! +…+f(n)(x0)(x-x0)n/n! -ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A, (x-x0)n ; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0), …, Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0), …, Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ; P’’n(x)=2ЧA2+3Ч2ЧA3(x-x0)+…. +n(n-1)An(x-x0)n-2 ; Pn(n)=nЧ(n-1)Ч(n-2)Ч…ЧAn; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1! +fn(x0)(x-x0)І/2! +…+f(n)(x0)(x-x0)n/n! ; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0), …, Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x) Т. к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в (Ч) x0 то limx®x0rn(n-1)(x)/(x-x0)= limx®x0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limx®x0rn(x)/(x-x0)n= limx®x0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…= limx®x0rn(n-1)(x)/n! (x-x0)=rn(n)(x)/n! =0 Юrn(x)=o((x-x0)n), x®x0 #35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+xІ/2! +…+xn/n! +o(xn), x®0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx, …; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1, 2, …; f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3! +x5/5! -…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)! +o(x)2m, x®0; cosx=1-xІ/2! +x4/2! -x6/6! +…. +(-1)mx2m/(2m)! +o(x2m+1), x®0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)І, f’’’(x)=2/(1+x)3…, f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ; f(k)(0)=(-1)k-1Ч(k-1)! Подставим в формулу Тейлора Ю l(1+x)=x-xІ/2+x3/3+...+(-1)n-1xn/n+o(xn), x®0 ; 5)f(x)=(1+x)b f(0)=1, f’(x)=b(1+x)b-1, f’’(x)=b(b-1)(1+x)b-2; f(k)(x)=b(b-1)…(b-k+1)(1+x)b-k ; f(k)(0)=b(b-1)…(b-k+1); (1+x)b=1+bЧx+b(b-1)xІ/2! +…+b(b-1)…(b-n+1)xn/n! +o(xn), x®0 #36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a, b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)0 (f’(x)0, тогда f(x0+Dx)-f(x0)>=0; Dx®0; (Dy=0 (Dy/Dx=0 (f’(x0)=0 (f’(x)0, f’(c)>=0 (f’(c)=0 (f(x2)-f(x1)=f(x1) (f(x2)0 xО(a, b) (f’(x)0 (f’(c)0 (f(x2)-f(x1)=f(x0) или f(x)=0 | " xО(x0, x0+d] f’(x)0), а " xО(x0-d, x0] f’(x)0) то х0 является экстремумом при этом для xО(d, x0+d); f’(x)>0, a для xО(x0-d, x0) f’(x)0 то xo-мин. {До} Пусть для xО(x0-d, x0) f’(x)>0 для xО(x0, x0+d) f”(x)x0 Ю x-x0>0 x00ЮDf>0 Ю f(x)=q1f(x1)+q2f(x2)), где"q1>0, q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x10, q2>0, q1+q2=1 тогда т. х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0Юx>x1Юx2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0Юx1=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута)Ы f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1=0 (f’’(x)=0) {(. ) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (. ) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (. ) х0. Если при переходе через (. ) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (. ) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)І/2! +a(x)(x-x0)І, a(x)®0 при x®x0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2a(x))(x-x0)І/2! ; Если предположить что f’’(x)№0 то т. к. a(х)®0 при х®х0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) Юпри переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условиюЮ f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (. ) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (. ) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0, d) Если при переходе через (. ) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба. {Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; x лежит между х и х0) =f’(x)(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа h леж ме/ду x и х0)=(x-x0)(f’(x)-f’(x0))=(x-x0)(x-x0)f’’(h); Т. к. т-ка x лежит между х0 их то т-ки х и x лежат по одну сторону от т. х0 Ю(х-х0)(x-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(h); Т. к. т. h лежит между x и х0 то т-ки х и h лежат по одну сторону от т. х0 ЮЕсли при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знакЮ х0-т. перегиба.
#39 Асимптоты: Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) –непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x, f(x)) до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х®+Ґ Аналогично при х®-Ґ{}Найдём расстояние до пр L r(x)=|f(x)-ax-b|/Ц(1+aІ) Т. к. прямая L –является асимптотой то limx®+Ґr(x)=0Ю limx®+Ґ(f(x)-ax-b)=0Ю limx®+Ґ(f(x)/x-a-b/x)=0Ю limx®+Ґ(f(x)/x-a)=0Ю a= limx®+Ґf(x)/x ; b= limx®+Ґ(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить limx®+Ґf(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х®+Ґ нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limx®х0-0f(x)=Ґ limx®х0+0f(x)=Ґ то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой. #40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и j(x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x)– первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) Ю(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)ЮF(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и j(x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию y(х)=F(x)-j(x) для неё y’(x)=F’(x)-j’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1, x2ОX Юпо теореме Лагранжа y(х2)-y(х1)=y’(c)(x2-x1)=0 т. е y(x2)=y(x1) Юy(x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a, b), то F1(x)-F2(x)=C на (a, b), где C- некоторая постоянная.
#41{O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначаетсятf(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то тf(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то тF’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(тf(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2–также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство т(f1(x)+f2(x))dx=тf1(x)dx+тf2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т. к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то тf(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/aЧaF’(ax+b)=f(ax+b); #42 Метод замены переменой в неопт: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=j(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда тf(x)dx=тf(j(t))j’(t)dt+C=тf(j(t))d(j(t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x), V(x)–дифференцируема на некотором промежутке Х и существует тU(x)V’(x)dx тогда существует интеграл тV(x)ЧU’(x)dx=U(x)ЧV(x)-тU(x)ЧV’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т. к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (UЧV)’=U’V+UV’ЮU’V=(UV)’-UV’; Т. к. существует итегралл тUV’dx по условию Если $ т(UV)’dx=UV+C то $тU’Vdx=т(UV)’dx-тUV’dx=UV-тUV’dx+C Ю производную постоянную к тU’Vdx=UV-тUV’dx; Пример тexsinxdx=exsinx-тexcosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-тexsinxdx); тexsinxdx=exsinx-excox-тexsinxdx; 2тexsinxdx=exsinx-excosxЮ тexsinxdx=(exsinx-excosx)/2 #43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1Ч…Ч(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)ЮPn(z)=(z-a)mЧQn-m(z)Юa-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)єPn(x) xОR По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т. к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленомЮ Pn(x)=(x-a1)a1Ч…Ч(x-ar)arЧ(x-z1)b1Ч…Ч(x-zs)bsЧ(x-zs)bs=(x-a1)a1Ч…Ч(x-ar)arЧ(xІ+p1x+q1)b1Ч…Ч(xІ+psx+qs)bs; PjІ/4-qj
#44 Ф-цию вида R(x, mЦ(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=mЦ(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)І Ю тR(x, mЦ(ax+b)/(cx+d))dx=тR((b-dtm)/(ctm-a), t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)І=тR1(t)dt. R1(t)-рациональная. {} Вида тR(x, ЦaxІ+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен axІ+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то axІ+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x, ЦaxІ+bx+c)=R(x, (x-x1)Ц(x-x2)a/(x-x1)=R1(x, Ц(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть axІ+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=Ц(axІ+bx+c) +xЦa ЮaxІ+bx+c=tІ-2xtЦa+axІ; x=(tІ-c)/2t(Цa)+b –рациональная функ-ция от t Ч. Т. Д ; Если а0 (axІ+bx+c)>=0) то можно сделать замену ЦaxІ+bx+c=xt+Цc {}{} #45 Интегрирование выр R(cosx, sinx); Рационализация тR(cosx, sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-p
0 $dE=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|0 | limn®Ґf(xnjo)=Ґ Рассмотрим сумму st=еI=1itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +еI=1itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiО[xi-1, xi] i№jo limst(f, x1, …, x0n, .. ,xit)=lim(f(xjo)Dxjo+B)=Ґ m>0 существует n0 | st(f, x1, …, xjo(n), …, xit)>m Отсюда Ю, что интегральная сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim|t|®0stЮ"E>0 $dE>0 | "t, |t|M Юф-ция не может быть не ограничена на отр[a, b]. Ч. Т. Д. #47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (. ) а положим по определению атa f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр. [a, b] положим по опред bтaf(x)dx=-aтbf(x)dx {Св-во1} aтbdx=b-a действительно ф-ция f(x)є1 на [a, b] по этому при любом разбиении t и любом выборе (. ) xi f(xi)=1Юst=еi=1itf(xi)Dxi=еi=1itDx1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xit-xt-1)=xit-x0=b-a Ю lim|t|®0st=b-a {Св-во2} Пусть f, g интегрируемы на отр [a, b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а, b] и имет место равенство: aтb(f(x)+g(x))dx= aтbf(x)dx+ aтbg(x)dx {док} Пусть t={xi} i=it i=o xiО[xi-1, xi] , тогда sE(f+g)=еi=1it(f(xi)+g(xi)Dxi=еiti=1f(xi)Dxi+еiti=1g(xi)Dxi=st(f)+st(g) Т. к. f и g - интегриремы на [a, b] то $lim|t|®0st(f)=aтbf(x)dx; $lim|t|®0st(g)=aтbg(x)dx ; $lim|t|®0st(f+g)=aтbf(x)dx+aтbg(x)dx т. о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a, b] и имеет место равенство aтb(f(x)+g(x))dx=lim|t|®0st(f+g)=aтbf(x)dx+aтbg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a, b] тогда для любого действительного числаl ф-ция lЧf(x) - интегрируема на отр [a, b] и имеет место равенство aтblf(x)dx=laтbf(x)dx {Св-во 4} Пусть a0 ($ M>0 | " xО[a, b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a, b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a, b] и"хО[a, b] f(x)і0 тогдаЮ aтbf(x)dxі0
#48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a, b]; 2) m0, а при g(x)Ј0 aтbg(x)dx0. |f(x)|ЈС "xО[a, b]Ю|DF|=|xтx+Dxf(t)dt|ЈСЧ| xтx+Dxdt|=С|Dx| ЮlimDx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч. Т. Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a, b] и непрерывна в x0О[a, b] Ю F(x)= aтxf(t)dt дифференцируема в (. ) х0О[a, b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+DxО[a, b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= aтx+Dxf(t)dt- aтx0f(t)dt= aтx0f(t)dt+ x0тx+Dxf(t)dt- aтx0f(t)dt= xтx0+Dxf(t)dt |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, x0тx0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx Ч x0тx0+Dx (F(t)-f(x0))dt|Ј1/|Dx|Ч| x0тx0+Dxf(t)-f(x0)dt Т. к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ dt>0 |при|x-x0|
#53 Пусть y=f(x) определна на [a, +Ґ) и интегрмруем на " [a; b] Ю несобственный интеграл по промежутку [a, +Ґ) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел aт+Ґf(x)dx=limb®+Ґ aтbf(x)dx. Если указанный предел конечен , то интеграл aт+Ґf(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть сО[a, +Ґ) Ю aтbf(x)dx= aтcf(x)dx+ cтbf(x)dx {Т} По св-ву пределов aт+Ґf(x)dx cущ Ы когда сущ limb®+Ґ aтbf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а 0 | aтhf(x)dx1 при k=+Ґ |f(x)/g(x)-k|k/2 Ю g(x)0 на интервале (а, b) найдется точка b0 такая, что если b0 b’тb’’ |f(x)| dxі| b’тb’’ f(x)dx т. е. для интеграла aтbf(x)dx выполняется условие Коши. Так как |aтb’f(x)dx|Ј aтb’ |f(x)| dx то после перехода к пределу при b'®b для абсолютно сходящегося интеграла aтb f(x)dx получим |aтb f(x)dx|Ј aтb |f(x)| dx {Глав зн не соб т}Пусть ф-ция y=f(x) определена на всей числовой прямой и интегрируема на любом конечном отрезке. Главным значением несобственного-Ґт+Ґf(x)dx называется v. p. Ґт+Ґf(x)dx=limh®+Ґ -hт+hf(x)dx; Главное знач совпадает со значением Ґт+Ґпо этому гл. знач имеет смысл рассматривать несобственный интеграл. Пусть ф-ции f(x) интегрируема на отр. [a, c-E], [c+E, b], E>0 Гл. зн. несоб. т наз v. p. aтbf(x)dx=limE®0 (aтC-Ef(x)dx +C+Eтbf(x)dx) #56 {Интегральный признак сходимости рядов} Пусть f(x) – непрерывна, возрастает на [1; +Ґ) Тогда е(n=1, +Ґ)f(n) и 1т+Ґf(x)dx сходятся или расходятся одновременно {Док-во} Т. к. ф-ция непрерывна на полуинтервале [1, +Ґ) то она интегрируема на люблм отрезке [1, h]М[1, +Ґ) Ю т. к. ф-ция не возрастает на [1, +Ґ) то для к=1, 2, 3… f(k)>=f(x)>=f(k+1), при k=kтk+1f(k+1)dx Ю f(k)>= kтk+1f(x)dx>=f(k+1) Ю е(k=1, n)f(k){=Sn}>=е(k=1, n){= 1тn+1f(x)dx} kтk+1f(x)dx>=е(k=1, n)f(k+1){=Sn+1-f(1); Sn>= 1тn+1f(x)dx>=Sn+1-f(1) ; Если 1т+Ґf(x)dx сх Ю $M>0 | "hО[1; +Ґ) 1тhf(x)dx
3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Переход к пределу в неравенствах.
5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точкиа } функции f(х), имеющей конечный предел при х® а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. 6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Предельный переход в неравенствах. 7. Теорема о пределе сложной функции.
8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.
9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции. 10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность. 11. Теорема о непрерывности сложной функции. 12. Теорема о непрерывности обратной функции. 13. Непрерывность элементарных функций.
14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходимость ряда 15. Свойства сходящихся рядов.
16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения. 17. Признаки Даламбера и Коши.
18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.
19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. 20. Ряды с комплексными членами.
21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке. 22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями. 24. Производная сложной функции. 25. Производная обратной функции.
26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций. 27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 28. Параметрическое дифференцирование. 29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия. 30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация. 31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация. 32. Теорема Коши. 33. Правило Лопиталя.
34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. 35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена. 36. Признак монотонности функции.
37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции. 38. Выпуклость и точки перегиба. 39. Асимптоты. 40. Первообразная и ее свойства. 41. Неопределенный интеграл и его свойства.
42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей. 44. Интегрирование иррациональностей. 45. Интегрирование тригонометрических выражений.
46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции 47. Свойства определенного интеграла, 48. Теорема о среднем.
49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость. 50. Формула Ньютона - Лейбница
51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
52. Площадь плоской фигуры. 53. Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.
54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла. 56. Интегральный признак сходимости ряда.