Подсказка по алгебре Формулы сокр. умножения и разложения на множители : (a±b)І=aІ±2ab+bІ (a±b)і=aі±3aІb+3abІ±bі aІ-bІ=(a+b)(a-b) aі±bі=(a±b)(aІ? ab+bІ), (a+b)і=aі+bі+3ab(a+b) (a-b)і=aі-bі-3ab(a-b) xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+aІxn-3+.... +an-1) axІ+bx+c=a(x-x1)(x-x2) где x1 и x2 — корни уравнения axІ+bx+c=0 Степени и корни : ap·ag = ap+g ap: ag=a p-g (ap)g=a pg ap /bp = (a/b)p apЧbp = abp a0=1; a1=a a-p = 1/a pЦa =b => bp=a pЦapЦb = pЦab Цa ; a = 0 Квадратное уравнение axІ+bx+c=0; (a№0) x1, 2= (-b±ЦD)/2a; D=bІ -4ac D>0® x1№x2 ; D=0® x1=x2 D Теорема Виета: x1+x2 = -b/a x1Ч x2 = c/a Приведенное кв. Уравнение: xІ + px+q =0 x1+x2 = -p x1Чx2 = q Если p=2k (p-четн. ) и xІ+2kx+q=0, то x1, 2 = -k±Ц(kІ-q) Нахождение длинны отр-ка по его координатам Ц((x2-x1)І-(y2-y1)І) Логарифмы: loga x = b => ab = x; a>0, a№0 a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0 loga x = b; x = ab loga b = 1/(log b a) logaxy = logax + loga y loga x/y = loga x - loga y loga xk =k loga x (x >0) logak x =1/k loga x loga x = (logc x)/( logca); c>0, c№1 logbx = (logax)/(logab) Прогрессии Арифметическая an = a1 +d(n-1) Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n Геометрическая bn = bn-1 Ч q b2n = bn-1Ч bn+1 bn = b1Чqn-1 Sn = b1 (1- qn)/(1-q) S= b1/(1-q) Тригонометрия. sin x = a/c cos x = b/c tg x = a/b=sinx/cos x ctg x = b/a = cos x/sin x sin (p-a) = sin a sin (p/2 -a) = cos a cos (p/2 -a) = sin a cos (a + 2pk) = cos a sin (a + 2pk) = sin a tg (a + pk) = tg a ctg (a + pk) = ctg a sinІ a + cosІ a =1 ctg a = cosa / sina , a № pn, nОZ tga Ч ctga = 1, a № (pn)/2, nОZ 1+tgІa = 1/cosІa , a№p(2n+1)/2 1+ ctgІa =1/sinІa , a№ pn Формулы сложения: sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y ) x, y, x + y № p/2 + pn tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y) x, y, x - y № p/2 + pn Формулы двойного аргумента. sin 2a = 2sin a cos a cos 2a = cosІ a - sinІ a = 2 cosІ a - 1 = = 1-2 sinІa tg 2a = (2 tga)/ (1-tgІa) 1+ cos a = 2 cosІ a/2 1-cosa = 2 sinІ a/2 tga = (2 tg (a/2))/(1-tgІ(a/2)) Ф-лы половинного аргумента. sinІ a/2 = (1 - cos a)/2 cosІa/2 = (1 + cosa)/2 tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a a№ p + 2pn, n ОZ Ф-лы преобразования суммы в произв. sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2) sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2) cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2 cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2 sin (x+y) tg x + tg y = ————— cos x cos y sin (x - y) tg x - tgy = ————— cos x cos y Формулы преобр. произв. в сумму sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) - cos (x+y)) cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y)) sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y)) Соотнош. между ф-ями sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2) cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tgІ x/2) sin2x = (2tgx)/(1+tg2x) sinІa = 1/(1+ctgІa) = tgІa/(1+tgІa) cosІa = 1/(1+tgІa) = ctgІa / (1+ctgІa) ctg2a = (ctgІa-1)/ 2ctga sin3a = 3sina -4sinіa = 3cosІasina-sinіa cos3a = 4cosіa-3 cosa= = cosіa-3cosasinІa tg3a = (3tga-tgіa)/(1-3tgІa) ctg3a = (ctgіa-3ctga)/(3ctgІa-1) sin a/2 = ±Ц((1-cosa)/2) cos a/2 = ±Ц((1+cosa)/2) tga/2 = ±Ц((1-cosa)/(1+cosa))= sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina ctga/2 = ±Ц((1+cosa)/(1-cosa))= sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina sin(arcsin a) = a cos( arccos a) = a tg ( arctg a) = a ctg ( arcctg a) = a arcsin (sina) = a ; aО [-p/2 ; p/2] arccos(cos a) = a ; a О [0 ; p] arctg (tg a) = a ; a О[-p/2 ; p/2] arcctg (ctg a) = a ; a О [ 0 ; p] arcsin(sina)= 1)a - 2pk; aО[-p/2 +2pk; p/2+2pk] 2) (2k+1)p - a; aО[p/2+2pk; 3p/2+2pk] arccos (cosa) = 1) a-2pk ; aО[2pk; (2k+1)p] 2) 2pk-a ; aО[(2k-1)p; 2pk] arctg(tga)= a-pk aО(-p/2 +pk; p/2+pk) arcctg(ctga) = a -pk aО(pk; (k+1)p) arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa = = arctg a/Ц(1-aІ) arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a= = arc ctga/Ц(1-aІ) arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga = = arcsin a/Ц(1+aІ) arc ctg a = p-arc cctg(-a) = = arc cos a/Ц(1-aІ) arctg a = arc ctg1/a = = arcsin a/Ц(1+aІ)= arccos1/Ц(1+aІ) arcsin a + arccos = p/2 arcctg a + arctga = p/2 Тригонометрические уравнения sin x = m ; |m| = 1 x = (-1)n arcsin m + pk, kО Z sin x =1 sin x = 0 x = p/2 + 2pk x = pk sin x = -1 x = -p/2 + 2 pk cos x = m; |m| = 1 x = ± arccos m + 2pk cos x = 1 cos x = 0 x = 2pk x = p/2+pk cos x = -1 x = p+ 2pk tg x = m x = arctg m + pk ctg x = m x = arcctg m +pk sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg cos x/2 = (1-tІ)/(1+tІ) Показательные уравнения. Неравенства: Если af(x)>( 1) a>1, то знак не меняеться. 2) a Логарифмы : неравенства: logaf(x) >( 1. a>1, то : f(x) >0 j(x)>0 f(x)>j(x) 2. 00 j(x)>0 f(x) 3. log f(x) j(x) = a ОДЗ: j(x) > 0 f(x) >0 f(x ) № 1 Тригонометрия: 1. Разложение на множители: sin 2x - Ц3 cos x = 0 2sin x cos x -Ц3 cos x = 0 cos x(2 sin x - Ц3) = 0 ...... 2. Решения заменой ...... 3. sinІ x - sin 2x + 3 cosІ x =2 sinІ x - 2 sin x cos x + 3 cos І x = 2 sinІ x + cosІ x Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0, а такое невозможно, => можно поделить на cos x Тригонометрические нер-ва : sin a і m 2pk+a1 = a = a2+ 2pk 2pk+a2 = a= (a1+2p)+ 2pk Пример: I cos (p/8+x) pk+ 5p/6 2pk+ 17p/24 II sin a = 1/2 2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk cos a і(=) m 2pk + a1 2pk+a2 cos a і - Ц2/2 2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk tg aі(=) m pk+ arctg m =a= arctg m + pk ctg і(=) m pk+arcctg m Производная: (xn)’ = nЧ xn-1 (ax)’ = axЧ ln a (lg ax )’= 1/(xЧln a) (sin x)’ = cos x (cos x)’ = -sin x (tg x)’ = 1/cosІ x (ctg x)’ = - 1/sinІx (arcsin x)’ = 1/ Ц(1-xІ) (arccos x)’ = - 1/ Ц(1-xІ) (arctg x)’ = 1/ Ц(1+xІ) (arcctg x)’ = - 1/ Ц(1+xІ) Св-ва: (u Ч v)’ = u’Чv + uЧv’ (u/v)’ = (u’v - uv’)/ vІ Уравнение касательной к граф. y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0) уравнение к касательной к графику в точке x 1. Найти производную 2. Угловой коофициент k = = производная в данной точке x 3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х Интегралы : т xn dx = xn+1/(n+1) + c т ax dx = ax/ln a + c т ex dx = ex + c т cos x dx = sin x + cos т sin x dx = - cos x + c т 1/x dx = ln|x| + c т 1/cosІ x = tg x + c т 1/sinІ x = - ctg x + c т 1/Ц(1-xІ) dx = arcsin x +c т 1/Ц(1-xІ) dx = - arccos x +c т 1/1+ xІ dx = arctg x + c т 1/1+ xІ dx = - arcctg x + c Площадь криволенейной трапеции. Геометрия Треугольники a + b + g =180 Теорема синусов aІ = bІ+cІ - 2bc cos a bІ = aІ+cІ - 2ac cos b cІ = aІ + bІ - 2ab cos g Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит противопол. сторону напополам. Биссектриса - угол. Высота падает на пр. сторону под прямым углом. Формула Герона : p=Ѕ(a+b+c) _____________ S = Цp(p-a)(p-b)(p-c) S = Ѕab sin a Sравн. =(aІЦ3)/4 S = bh/2 S=abc/4R S=pr Трапеция. S = (a+b)/2Ч h Круг S= pRІ Sсектора=(pRІa)/360 Стереометрия Параллепипед V=SоснЧР Прямоугольный V=abc Пирамида V =1/3Sосн. ЧH Sполн. = Sбок. + Sосн. Усеченная : H . _____ V = 3 (S1+S2+ЦS1S2) S1 и S2 — площади осн. Sполн. =Sбок. +S1+S2 Конус V=1/3 pRІH Sбок. =pRl Sбок. = pR(R+1) Усеченный Sбок. = pl(R1+R2) V=1/3pH(R12+R1R2+R22) Призма V=Sосн. ЧH прямая: Sбок. =Pосн. ЧH Sполн. =Sбок+2Sосн. наклонная : Sбок. =PпсЧa V = SпсЧa, а -бок. ребро. Pпс — периметр Sпс — пл. перпенд. сечения Цилиндр. V=pRІH ; Sбок. = 2pRH Sполн. =2pR(H+R) Sбок. = 2pRH Сфера и шар . V = 4/3 pRі - шар S = 4pRі - сфера Шаровой сектор V = 2/3 pRіH H - высота сегм. Шаровой сегмент V=pHІ(R-H/3) S=2pRH град 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 180° a -p/2 -p/3 -p/4 -p/6 0 p/6 p/4 p/3 p/2 2p/3 3p/4 3p/6 p sina -1 -Ц3/2 -Ц2/2 - Ѕ 0 Ѕ Ц2/2 Ц3/2 1 - Ѕ 0 cosa 1 Ц3/2 Ц2/2 Ѕ 0 - Ѕ -Ц2/2 - Ц3/2 -1 tga П -Ц3 -1 -1/Ц3 0 1/Ц3 1 Ц3 О -Ц3 -1 0 ctga -- Ц3 1 1/Ц3 0 -1/Ц3 -1 - n 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 9 16 25 36 49 64 81 3 8 27 64 125 216 343 512 729 4 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 5 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049 6 64 729 4096 15625 46656 7 128 2181 8 256 6561 -a p-a p+a p/2-a p/2+a 3p/2 - a 3p/2+a sin -sina sina -sina cosa cosa -cosa -cosa cos cosa -cosa -cosa sina -sina -sina sina tg -tga -tga tga ctga -ctga ctga -ctga ctg -ctga -ctga ctga tga -tga tga -tga