1.
*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a, b), если для любых точек x1f(x2)). В этом случае функцию называют монотонной на (a, b). Т1. Дифференцируемая на (a, b) функция f(x) тогда и только тогда не убывает (не возрастает) на (a, b), когда fў(x)і0 (Ј0) при любом xО(a, b). Док-во: 1) Достаточность. Пусть fў(x)і0 (Ј0) всюду на (a, b). Рассмотрим любые x10, fў(a)і0 (Ј0), f(x2)-f(x1)і0 (Ј0), значит, f(x) не убывает (не возрастает) на (a, b). 2) Необходимость. Пусть, например, f(x) не убывает на (a, b), xО(a, b), x+DxО(a, b), Dx>0. Тогда (f(x+Dx)-f(x))/Dxі0. Переходя к приделу при Dxа0, получим fў(x)і0. Теорема доказана. Т2. Для возрастания (убывания) f(x) на (a, b) достаточно, чтобы fў(x)>0 (0 (
Замечание 2. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют. *4. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при xа+Ґ(–Ґ), если f(x)=kx+b+a(x), где Т3. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при xа+Ґ(–Ґ), тогда и только тогда, когда существуют , , причем при xа+Ґ(–Ґ) наклонная асимптота называется правой (левой). Док-во: Предположим, что кривая y=f(x) имеет наклонную асимптоту y=kx+b при xа+Ґ, т. е. имеет место равенство f(x)=kx+b+a(x). Тогда . Переходя к пределу при xа+Ґ, получаем . Далее из f(x)=kx+b+a(x)а b=f(x)-kx-a(x). Переходя к пределу при xа+Ґ, получаем . Докажем обратное утверждение. Пусть пределы, указанные в теореме, существуют и конечны. Следовательно, f(x)–kx=b+a(x), где a(x)а0, при xа+Ґ(–Ґ). Отсюда и получаем представление f(x)=kx+b+a(x). Теорема доказана. Замечание3. При k=0 прямая y=b называется горизонтальной асимптотой, причем при xа+Ґ(–Ґ) – правой (левой). 2.
*1. Точку х0 назовем стандартной для функции f(x), если f(x) дифференцируема в точке x0 и fў(x0)=0. *2. Необходимое условие экстремума. Если функция y=f(x) имеет в точке x0 локальный экстремум, то либо x0 – стационарная точка, либо f не является дифференцируемой в точке x0. Замечание 1. Необходимое условие экстремума не является достаточным. Т1. (Первое достаточное условие экстремума). Пусть y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0, в которой она является непрерывной. Если при переходе x через x0 слева направо fў(x) меняет знак с + на –, то точка x0 является точкой максимума, при перемене знака с – на + точка x0 является точкой минимума. Док-во: Пусть xО(a, b), x№x0, (a, b) – достаточно малая окрестность точки x0. И пусть, например, производная меняет знак с + на –. Покажем что f(x0)>f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x, x0] или [x0, x]) f(x)–f(x0)=(x- x0)fў(a), где a лежит между x0 или x: а) x0Юf(x)–f(x0)f(x); б) x>x0Юx–x0>0, fў(a)f(x). Замечание 2. Если fў(x) не меняет знака при переходе через точку х0, то х0 не является точкой экстремума. Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x0 – стационарная точка функции y=f(x), которая имеет в точке x0 вторую производную. Тогда: 1) fўў( x0)>0Юf имеет в точке x0 локальный минимум. 2) fўў( x0) 3.
*1. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) в промежутке (a, b), если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной в любой точке этой дуги.
*2. График функции y=f(x) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (a, b), если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной в любой точке этой дуги.
Т1. Пусть y=f(x) имеет на (a, b) конечную 2-ю производную. Тогда: 1) fўў(x)>0, "xО(a, b)Юграфик f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз; 2) ) fўў(x)
Замечание1. Необходимое условие перегиба не является достаточным. Замечание2. В точке перегиба вторая производная может не существовать. Т3. (Первое достаточное условие перегиба). Пусть y=f(x) имеет вторую производную на cО(a, b), fўў(c)=0. Если fўў(x) имеет на (a, c), (c, b) разные знаки, то (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x). Т4. (Второе условие перегиба). Если y=f(x) имеет в точке конечную третью производную и fўў(c)=0, а fўўў(c)№0, тогда (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x). 4.
*1. Первообразная от функции f(x) в данном интервале называется функция F(x), производная которой равна данной функции: Fў(x)=f(x).
T1. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Док-во: F(x) и Ф(х)– две первообразные от f(x), тождественно не равные между собой. Имеем Fў(x)=f(x), Фў(х)=f(x). Вычитая одно равенство из другого, получим [F(x)–Ф(х)]ў=0. Но если производная от некоторой функции (в нашем случае от F(x)–Ф(х)) тождественно равна нулю, то сама функция есть постоянная; Ю F(x)–Ф(х)=С. *2. Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется множество всех его первообразных, где Fў(x)=f(x). 5. Свойства неопределенного интеграла:
Производная НИ =подынтегральной функции; дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению: ; . Док-во: ;
НИ от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: . Док-во: Обозначим . На основании первого св-ва: , откуда , т. е... НИ от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций: , где u, v, …, w-функции независимой переменной х. Док-во: Постоянный множитель можно выносить за знак НИ: , где с – константа. Док-во . Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть тf(x)dx=F(x)+C – какая-либо известная формула интегрирования и u=ф(х) – любая функция, имеющая непрерывную производную. Тогда тf(u)du=F(u)+C. Док-во: Из того, что тf(x)dx=F(x)+C, следует Fў(x)=f(x). Возьмем функцию F(u)=F[ф(x)]; для её дифференциала, в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции, имеем: dF(u)=Fў(u)du=f(u)du. Отсюда тf(u)du=тdF(u)=f(u)+C. 6. Метод замены переменных.
1) Подведение под знак дифференциала. Т1. Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема, пусть также существует f(x)=f(j(t)) тогда если функция f(x) имеет первообразную то справедлива формула: –формула замены переменных. Док-во: пусть F(x) для функции f(x), т. е. Fў(x)=f(x). Найдем первообразную для f(j(t)), [F(j(t))]ўt=Fў(x)(j(t)) jў(t)=Fў(x) jў(t)=f(x) jў(t). тf(x) jў(t)dt=f(j(t))+C. F(j(t))+C=[F(x)+C]|x=j(t)=тf(x)dx|x=j(t). Замечание1. При интегрировании иногда целесообразно подбирать подстановку не в виде x=j(t), а в виде t=j(x).
2) Подведение под знак дифференциала. F(x)dx=g(j(x)) jў(x)dx=g(u)du. тf(x)dx=тg(j(x)) jў(x)dx=тg(u)du. dx=d(x+b), где b=const; dx=1/ad(ax), a№0; dx=1/ad(ax+b), a№0; фў(х)dx=dф(x); xdx=1/2 d(x2+b); sinxdx=d(-cosx); cosxdx=d(sinx);
Интегрирование по частям: тudv=uv-тvdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu, Юudv=d(uv)-vduЮ(интегрируем) тudv=тd(uv)-тvdu или тudv=uv-тvdu. 7.
Интегрирование по частям: тudv=uv-тvdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu, Юudv=d(uv)-vduЮ(интегрируем) тudv=тd(uv)-тvdu или тudv=uv-тvdu. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен: Первый интеграл табличного вида: тdu/uk:
Второй интеграл сводится к нахождению интеграла: где u=x+p/2, a=, q-p2/4>0 – рекуррентная формула.
Интегрирование рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x), R(x)-рациональная функция, P(x) и Q(x)-многочлены. Дробь P(x)/Q(x) можно разложить в сумму простейших дробей, где Ai, Bi, Ci – постоянные, а именно: каждому множителю (x-a)kв представлении знаменателя Q(x) соответствует в разложении дроби P(x)/Q(x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа а каждому множителю (x2+px+q)t соответствует сумма t простейших дробей типа . Таким образом при разложении знаменателя Q(x) на множители имеет место разложение дроби P(x)/Q(x) на слагаемые. Правила интегрирования рациональных дробей:
Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и неправильной дроби. Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.
Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших дробей. 8. Интегрирование тригонометрических функций: 1 Интеграл вида:
R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то cosx=t. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то sinx=t. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t. 1
Оба показателя степени m и n – четные положительные числа: sinxcosx=1/2 sin2x; sin2x=1/2(1-cos2x); cos2x=1/2(1+cos2x). тtgmxdx и тctgmxdx, где m-целое положительное число. tg2x=sec2x-1 или ctg2x=cosec2x –1. тtgmxsecnxdx и тctgmxcosecnxdx, где n – четное положительное число. sec2x=1+tg2x или cosec2x=1+ctg2x. тsinmx*cosnxdx, тcosmx*cosnxdx, тsinmx*sinnxdx; sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b)); 9. Интегрирование иррациональных функций:
1 тR(x, , , …)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s…. x=tk, dx=ktk–1dt тR(x, , …)dx, , x=, dx= 1 Вынести 1/Цa или 1/Ц-a. И выделим полные квадраты. Разбить на два интеграла. 1
1)p-целое число x=tS, где s- наименьшее общее кратное знаменателей у дробей m и n. 2) (m+1)/n –целое число: a+bxn=tS; 3) p+(m+1)/n-целое число: a-n+b=tS и где s- знаменатель дроби p. 10. Определенный интеграл:
интервал [a, b], в котором задана функция f(x), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a=x0
Значение функции f(xI) в какой нибудь точке xiО[xi–xi–1] умножается на длину этого интервала xi–xi–1, т. е. составляется произведение f(xi)(xi–xi–1); , где xi–xi–1=Dxi;
I=–этот предел (если он существует) называется определенным интегралом, или интегралом от функции f(x) на интервале [a, b], обозначается *1. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длинны наибольшего частичного интеграла (в предположении, что предел существует).
Т1. (Необходимое условие существования интеграла): Если ОИ существует, т. е. функция f(x) интегрируема не [a, b], то f(x) ограничена на этом отрезке. Но этого не достаточно. Док-во: Функция Дирихле: