Билеты по геометрии БИЛЕТ 1
А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости и точки, не принадлежащие ей.
А2Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
А3Если две различные прямые имеют общую точку, то ч/з них можно провести плоскость, и притом только одну. БИЛЕТ 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Док-во: проведем ч/з а и М плоскость a, а ч/з М в плоскости a прямую b| | a. Докажем, что b| | a единственна. Допустим, что существует другая прямая b2| | a, и проходящая ч/з т. М. Через b2 и а можно провести плоскость a2, которая проходит ч/з М и а, след-но, по Т. 14. 1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она совпадает сa. По аксиоме о параллельных прямых b2 и а совпадают. Ч. Т. Д. БИЛЕТ 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Док-во: Пусть a-плоскость, а - не лежащая в ней прямая и а1 - прямая в плоскости a, параллельная прямой а. Проведем плоскость a1 ч/з прямые а и а1.
Она отлична от a, т. к. прямая а не лежит в плоскости a. Плоскости a и a1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость a, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т. к. прямые а и а1 параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость a, а значит, параллельна плоскости a. Ч. Т. Д. БИЛЕТ 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Док-во: Рассмотрим две плоскости a и b. В плоскости a лежат пересекающиеся в т. М прямые a и b, а в b - прямые а1 и b1, причем а| | а1 и b| | b1. Докажем, что плоскоскоти a и bне параллельны. Тогда они перес. по прямой с. Мы получили, что плоскостьa проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости b, и пересекает плоскость b по прямой с. Отсюда следует, что а| | с. Но плоскость a проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости b. Поэтому b | | с. Таким обр. ч/з т. М проходят две прямые а и b, | |с. Но это невозможно, т. к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только БИЛЕТ 5
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскостиa и b пересекаются с плоскостью j. Докажем, что а| | b. Эти прямые лежат в одной плоскости (j) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. a и b имели бы общ. точку, что невозможно, т. к. a| | b. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а| | b. 2. Vпирамиды= 1/3*Sосн. *H БИЛЕТ 6
Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.
Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостямиa и b. Докажем, АВ=СD. Плоскость j, проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями a и bпо параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл. , т. е. ABDC-параллел-м Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD. Sп. п. =2pR(H+R) БИЛЕТ 7
Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L. 10 Проекция прямой есть прямая. 20 Проекция отрезка есть отрезок.
30 Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж. одной прямой.
40 Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.
Из св-ва 40 следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка. БИЛЕТ 8
Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. БИЛЕТ 9
ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной Док-во: AH - перпенд. к плоскости a, AM - наклонная, а – прямая проведенная в плоск. a ч/з точку M перпенд к проекцииHM наклонной. Рассмотрим плоск. AMH. Прямая а^этой плоскости, т. к. она ^ к двум пересекающимся прямым AH и MH. Отсюда след. что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности а^AM. Ч. Т. Д. БИЛЕТ 10
ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а1 и плоскость a, такую, что а^a. Докажем, что и а1^a. Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости a.
Так как а^a, то а^х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости a, т. е. а1^a. Ч. Т. Д. Vпаралл-да=abc=Sосн. *H БИЛЕТ 12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900.
ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую, перпендикулярную к др. плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Док-во: Рассмотрим плоскости a и b такие, что плоскость a проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости b и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что a^b. Плоскости a и b пересекаются по прямой АС, причем АВ^АС, Т. к. по усл. АВ^b, и, значит, прямая АВ^ к любой прямой, лежащей в плоскости b. Проведем в плоскости b прямую АD, ^АС. Тогда РBAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей a и b. Но РBAD=900 (т. к. AB^b). След-но, угол м/у плоскостями a и b равен 900, т. е. a^b. Ч. Т. Д. Sбок=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр) БИЛЕТ 11
ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны. Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости a. Докажем, что аЅЅb. Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой a. Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что aЅЅ b. Допустим, что прямые b и b1 не совпадают. Тогда в плоскости b, содержащей прямые b и b1, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскостиa и b. Но это невозможно, след-но, aЅЅ b. Ч. Т. Д. БИЛЕТ 13
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называетсярасстоянием м/у скрещивающимися прямыми. Sполн=Sбок+2Sосн ; Sбок=P*H(ребро) БИЛЕТ 14
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.
ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Док-во: Бок. грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высотеhпризмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высотуh. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр Р. Итак, Sбок=P*h. Ч. Т. Д. БИЛЕТ 15
Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в плоскостях так, что отрезки AA1, BB1, CC1, и DD1 параллельны. Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается ABCDA1...D1. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда. ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Док-во: Рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA1...D1. Т. к. A1D1ЅЅ BC и A1D1=BC, то A1D1CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A1C и D1B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам. БИЛЕТ 16
ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Док-во: Докажем равенство граней ABB1A1 и DCC1D параллелепипеда ABCA1...D1. Т. к. ABCD и ADD1A1 - параллелограммы, то ABЅЅDC и AA1ЅЅDD1. Таким обр. , две пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск. следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны. Докажем равенство этих граней. Т. к. все грани параллелепипеда параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По той же причине стороны углов A1AB и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр. , две смежные стороны иР м/у ними паралл-ма ABB1A1 соотв. равны двум смежным сторонам у Р м/у ними пар-ма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны БИЛЕТ 17
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники. ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Док-во: Докажем, что AC12=AB2+AD2+AA12 Так как ребро CC1 перпендикулярно к основанию ABCD, то РACC1-прямой. Из прямоугольного треугольника ACC1 по теореме Пифагора получаем AC12=AC2+CC12. Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2. Кроме того, CC1=AA1. След-но AC12=AB2+AD2+AA12 Ч. Т. Д. БИЛЕТ 18
Рассмотрим многоугольник A1A2...An и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получимn треугольников: PA1A2, PA2A3, ...., PAnA1. Многогранник, составленный из n-угольника A1A2...An и n треугольников, называется пирамидой Многоугольник A1A2...An называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA1, PA2, .... , Pan - ее боковыми ребрами. ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.
Док-во: S-вершина пирамид A - верш. основания и A1- точка пересечения секущей плоскости с боковым ребр. SA. Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэф. гомотет. k=SA1/SA При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A1, т. е. в секущую плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т. к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл пирамид. , подобной данной. Ч. Т. Д. БИЛЕТ 19
ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т. е. его периметр. Ч. Т. Д. БИЛЕТ 20
ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму ABCA1B1C1с объемом V и высотой h. Проведем такую высоту треугольника ABC отрез. BD, которая разделяет этот треуг. на два треуг.
Плоскость BB1D разделяет данную призму на две приз. , основаниями которых явл. прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V1 и V2 этих призм соответственно равны Sabdh и Sbdch. V=V1+V2, т. е. V=Sabdh+Sbdch=(Sabd+Sbdc)h. Таким обр. , V=Sabch 2) Докажем теорему для произвольной призмы с высотой h и площ. основания S. Такую призму можно разбить на прямые треуг. призмы с высотой h. Выразим объем каждой приз. по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч. Т. Д. БИЛЕТ 21
За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.
Так как площадь прямоугольника ABB1A1 равна AA1*AB=2prh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула Sбок=2prh
Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. БИЛЕТ 22
ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Док-во: Рассмотрим конус с объемом V. Произвольн. сечение конуса плоскостью перпендикулярной к оси Ox, является кругом с центром в т. M1 пересечения этой плоскости с осью Ox. Обозначим радиус этого круга ч/з R1, а площадь сечения ч/з S(x), где x- абсцисса точки M1. Из подобия прямоугольных треугольников OM1A1 и OMA следует, что OM1/OM=R1/R, или x/h=R1/R, откуда R1=xR/h. Так как S(x)=pR12, то S(x)=pR2x2/h2.
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем: Площадь S основания конуса равна pR2, поэтому V=1/3Sh Ч. Т...Д.