Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле {file576} Около сферы можно описать многогранник с достаточно большим числом граней,объем которого будет достаточно точно выражать объем шара (равного {file577}),а площадь боковой поверхности многогранника — площадь сферы. На рис. 43показан куб, описанный около сферы. Рассмотрим одну грань описанного многоугольника. {file578} Пирамида, полученная соединением вершин этой грани многогранника с центромсферы, и часть шара, заключенного в этой пирамиде, являются элементами,участвующими в дальнейших рассуждениях и расчетах. С одной стороны, объем V этой пирамиды высотой R равен {file579} где Sоснов — площадь соответствующей грани многогранника. Объем всего многогранникаравен сумме объемов таких пирамид с одинаковой высотой R. Сумма их объемовравна {file580} Sбок — площадь боковой поверхности многогранника. С другой стороны, сумма объемовэлементов шара равна объему всего шара, равного {file581} Площадь Sбок приближенно равна площади сферы S, а объем многогранникаприближенно равен объему шара. Таким образом, {file582}{file583} Эти равенства тем точнее, чем большее число граней многогранника. Значит, {file584} Так как в этой формуле но участвуют величины, связанные с многогранником,то формула точна, т. е. {file585}