Объем пирамиды равен одной третьей произведения площадиоснования пирамиды на длину ее высоты: {file559} Докажем эти формулу для треугольной пирамиды. Пусть дана пирамида (треугольная)DABC с основанием ABC площади S
основи высотой DO = H (рис. 41). Исходим из объема призмы V
пр= Sh. Выполним следующие построения. Пусть n - некоторое натуральное число(на рисунке взято n = 5, а впоследствии будем считать n очень большим).
1. Высоту DО разделим на n равных частей (точками О1,О2,O3,О4.) 2. Через эти точки Оiпроводим плоскости (сечения) параллельно основанию пирамиды AВС. 3. Через точки пересечения этих сечений с ребрами ВD и СD проводимотрезки параллельно ребру AD, так чтобы они заключались между проведеннымисоседними параллельными сечениями.
{file560}
4. Получим «лестницу» уменьшающихся призм, идя от основанияABC к вершине D, но высоты их одинаковые: {file561} Эти призмы отличаются основаниями. 5. Сразу заметим, что если н качестве n брать очень большое число,например n = 106,то объединение всех полученных призм как единое тело мало отличаетсяот первоначальной призмы. Другими словами, объемы этих двух различныхтел отличались незначительно друг от друга. Именно эту идею используем для того, чтобы получить объявленную вышеформулу объема пирамиды. Переходим к вычислениям, используя теоремуо свойствах параллельных сечений в пирамиде. Если пирамиду пересечьплоскостью, параллельной основанию, то в сечении получается многоугольник,подобный основанию, а площадь сечения и площадь основания относятсякак квадраты их расстояний до вершины пирамиды.
Обозначим через S
1,S
2,...S
n-1 площади сечений, проходящих черен точки O
1,O
2,...O
n-1соответственно, а через V
1,V
2,...V
n-1объемыпризм, верхние основания которых содержат точки O
1,O
2,...O
n-1.Имеем {file562} где {file563} Из этих неравенств получаем {file564} и эти равенства подставлены в формуле для объемов с учетом {file565} {file566} Объем «лестницы», составленной из призм, равен {file567} Здесь мы воспользовались известной формулой {file568} Таким образом, если n — достаточно большое число, то {file569} близко к 0. а {file570} - близко к 2. Тем самым, получили {file571} а имея в виду, что на самом деле объем пирамиды не зависит от тех построений,которые мы выполняли, то приходим к формуле {file572} Если необходимо вычислить объем n-угольной пирамиды, то ее можно разбитьна n — 2 треугольные пирамиды сечениями, проходящими через вершину пирамидыи диагонали основания, проведенные из общей вершины (основания). Посколькуплощадь многоугольника основания равна сумме площадей треугольников, авысоты всех пирамид одинаковы, то доказанная формула остается справедливойи в этом общем случае.