Древние века характеризуются попытками видных философов и мыслителей определить и дать ответы на важнейшие вопросы бытия и сущности человека. Преобладание математики над другими аспектами жизни было очевидным, особенно в Древней Греции. Однако, аргументы Зенона (видного греческого ученого) открыли внутренние противоречия, которые определялись в сложившихся математических теориях. Так, сам факт существования математики как способа понимания мира был поставлен под большой вопрос.
Отсутствие ответов и неспособность ряда мыслителей как-то разъяснить математическую теорию или вывести ее на качественно-другой уровень сформулировал теорию абстракций, которая основывается на том ответом на важнейшие философские искания и вопросы - это ощущения.
Такую позицию занял мыслитель-софист Протагор. Он утверждал, что "человек не может представить себе ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины геометрия; в самом деле, круг касается прямой не в одной точке". Таким образом, из математической науки необходимо убрать ирреальные представления о бесконечном количестве материальных вещей, потому как как никто не способен считать до бесконечности; бесконечную делимость, поскольку она неосуществима на практике и т.д.
Так, математику можно сделать неуязвимой для философских предъявлений Зенона, но при этом практически упразднится вся теоретическая основа науки. Во многом сложнее было создать систему фундаментальных начал математики, в которой бы определенные Зеноном противоречия не находили бы места. Данный вопрос был решен Демокритом, который разработал концепцию математического атомизма, тем самым совместив математические и философские начала.
Демокрит, по мнению Маркса, "первый энциклопедический ум среди греков". Диоген Лаерций (III в. н.э.) определяет 7 его важнейших положений, в которых мыслитель изложил важнейшие направления следующих наук:
Аристотель также не обошел Демокрита в изречениях. Так, он характеризовал его труд: "вообще, кроме поверхностных изысканий, никто ничего не установил, исключая Демокрита. Что же касается его, то получается такое впечатление, что он предусмотрел все, да и в методе вычислений он преимущественно отличается от других".
Начальной частью научных положений Демокрита была "каноника", где формулировалась и обосновывалась совокупность принципов атомистической философии. После философии была физики, как наука о различных проявлениях, далее и этика. Каноника входила в физику в качестве дополнительного раздела, этика же формулировалась как этап физики. В философии Демокрита, прежде всего, определяется различие между "подлинно сущим" и тем, что существует только в "общем смысле".
Действительно-существующими, по материализму Демокрита - лишь атомы и пустота. Как истинное сущее, пустота (небытие) есть такая же реальность, как атомы (бытие). "Великая пустота" не имеет конца и заключает в себе все живое и существующее в окружающей среде, в ней нет ни верха, ни низа, ни края, ни центра, она делает материю прерывной и возможной ее какое-либо движение.
Бытие образует бесчисленные мельчайшие качественно однородные первотельца, которые различаются между собой по внешнему виду, в том числе по форме, размеру, положению и порядку, они являются неделимыми из-за совершенной твердости и отсутствия в них какой-либо материальной (или абстрактной) пустоты.
Атомам самим по себе характерно непрерывное движение, чье разнообразие определяется вечной разностью форм. Движение атомов бесконечно, и в конечном счете является причиной всех изменений окружающей среды.
Целью научных положений, науки в целом, согласно Демокриту является наблюдение явлений в области "истинного сущего" и попытка объяснить происходящие процессы по принципам атомистики. Это может быть реализовано только при помощи совместной деятельности ощущения и разума человека.
Гносеологическую позицию Демокрита Маркс определял следующим образом: "Демокрит не только не удалялся от мира, а, наоборот, был эмпирическим естествоиспытателем".
Содержание первоначальных философских механизмов и инструментов (гносеологические установки) определяют важнейшие черты научного подхода Демокрита к пониманию бытия. Таким образом принципы основываются на:
Математика считается у Демокрита первостепенным разделом науки физики, от которой необходимо отталкиваться и которой нужно следовать. Демокрит рассматривал науки физику как предмет совокупности философско-абстрактных и математически-точных явлений. Однако было бы неверно понимать учение Демокрита как разновидность пифагореизма, так как сам философ хоть и сохраняет идею господства в мире математических закономерностей, однако он выступает с резкой критикой априорных математических положений пифагорейцев, полагая, что количество не должно выступать первостепенным законодателем природы, а должно извлекаться из ее среды.
Математическая закономерность выявляется Демокритом из явлений действительности, и таким образом предвосхищает основные положения математического естествознания. Исходные первопричины материального бытия исходят у Демокрита в наибольшей форме как математические объекты, и в соответствии с этим науки математики отводится должное место в системе мировоззрения, как науке явлений свойств материальных вещей.
Тем не менее, включение математики в фундамент мировоззренческой системы человека требовало ее перестройки, изменение математики в соответствие с исходными философскими положениями, с логикой, гносеологией, методологией научного исследования.
Созданная таким образом концепция математики, называемая концепцией математического атомизма, стала в значительной степени отличаться от всех ее предшествующих форм. У Демокрита все математические понятия (тела, плоскости, линии, точки) характеризуются определенными материальными образами. Идеальные плоскости, линии, точки в его учении отсутствуют.
Основным инструментом математического атомизма есть разложение геометрических тел на элементарные листики (плоскости), плоскостей - на элементарные нити (линии), линий - на элементарные зернышки (атомы). Каждый атом имеет небольшую, но абсолютно-нулевую величину и является неделимым.
Так, длина линии определяется как совокупность включающихся в ней неделимых частиц. Поэтому отличительным свойством учения Демокрита от рассмотренных ранее математических и философских идей - есть отрицание им бесконечной делимости (это касается как математических, так и материальных объектов).
Нельзя с точностью утверждаться, пользовался ли Демокрит при решении определенной задачи методами анализа бесконечных малых. А.О. Маковельский охарактеризовал учение Демокрита следующим образом: "Демокрит встал на путь, по которому продолжили идти Архимед и Кавальери. Но он, подойдя лицом к лицу к пониманию бесконечного малого, не решился сделать свой последний решительный шаг. Демокрит не подразумевает наличие бесконечного увеличения количества слагаемых, образующих в своей совокупности данный объем. Он принимает только чрезвычайно большое, не поддающееся выводу, анализу и исчислению, вследствие своей масштабности, число данных слагаемых".
Наибольшим достижением Демокрита в мире науки явилась его идея о построении теоретической математики системы, которая была структурирована и относительно соответствовала ряду философских понятий в мире естественного.
В зародышевой форме математика мыслителя представляет собой идею аксиоматического построения данных, которая позднее была модернизирована в методологическом анализе Платоном и получила логическое развернутое обоснование у Аристотеля.