--PAGE_BREAK--2. Математическая корректность
Теперь покажем, что задача З1 математически корректна.
Задача называется математически корректной, если выполнены три условия:
1) ее решение существует (условие существования);
2) решение единственно (условие единственности);
3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).
Проверим выполнение всех трех условий.
2.1 Существование решения
Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства.
(2.1.1)
– рефлексивное банахово пространство,
Подмножество является непустым, замкнутым и выпуклым множеством.
Покажем, что – непрерывный и выпуклый функционал.
(2.1.2)
Пусть : в
Тогда в и в , при
Следовательно, ,
т.е. функционал является непрерывным.
Покажем выпуклость функционала, используя его запись в общем виде.
(2.1.3)
Таким образом, все условия указанной выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1 имеет решение.
2.2 Единственность решения
Утверждение 1. Билинейная форма – V-эллиптическая.
Доказательство: (в силу эквивалентности норм в пространстве );
Утверждение 2. Решение задачи З1 единственно.
Доказательство:
Будем доказывать это утверждение от противного.
Пусть существуют различные , которые доставляют минимум функционалу .
Тогда, из (1.11) выполнено: (2.2.1)
(2.2.2)
Подставим в (2.2.1) вместо , в (2.2.2) вместо .
Получим (2.2.3)
(2.2.4)
Умножим (2.2.4) на -1:
Отсюда,
Форма – эллиптическая, .
Окончательно,
продолжение
--PAGE_BREAK--