Цель работы: изучить теорию и методы решения задач линейного программирования; пробрести навыки построения моделей линейного программирования и решения задач линейного программирования на ЭВМ.
Краткие теоретические сведения
Методы линейного программирования (ЛП) оказались весьма эф
фективными для решения задач из различных областей человеческой деятельности. Слово «программирование» понимается как планирование, и это определяет характер рассматриваемых приложений. Основные идеи линейного программирования возникли во время второй мировой войны в связи с поиском оптимальных стратегий при ведении военных операций. С тех пор они нашли широкое применение в промышленно
сти, торговле и в управлении — как в местных, так и в государственных масштабах. Этими методами можно решить многие задачи, связанные с эффективным использованием ограниченных ресурсов.
Пример 1. Фирма производит две модели (А и В) сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высоко
качественных досок) и временем машинной обработки. Для каждого из
делия модели А требуется 3 м2 досок, а для изделия модели В — 4 м2. Фирма может получить от своих поставщиков до 1 700 м2 досок в неде
лю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин машинного време
ни, а для изделия модели 5-30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени.
Сколько изделий каждой модели следует фирме выпускать в не
делю, если каждое изделие модели А приносит 2 дол. прибыли, а каждое изделие модели В-А дол. прибыли?
Чтобы сформулировать эту задачу математически, обозначим че
рез х{количество выпущенных за неделю полок модели Л, а через х2-количество выпущенных полок модели В. Задача состоит в том, чтобы найти наилучшие значения х\ и х2. Очевидно, наилучшими для данной задачи являются такие значения, которые максимизируют еженедель
ную прибыль. Еженедельная прибыль составляет
Р = 2x1, + 4x2.
Поскольку х1и х2выражают еженедельный объем выпускаемых изделий, то они не могут быть отрицательны, т.е.
х{> 0, х2>0 (1)
Теперь ограничения на наличие досок и машинное время могут быть записаны следующим образом: для досок -
Зх1 + 4х2
для машинного времени -
2X1 + 5 х2
Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти значения х1и х2, удовлетворяющие условиям неотрицательности (1) и ограничениям типа неравенства (2) — (3) и максимизирующие функцию Р.
Это типичная двумерная задача линейного программирования. Целевая функция, которая должна быть максимизирована, является линейной
функцией своих переменных. Ограничения на эти переменные тоже линейны (1).
Рис. 1 Линия уровня целевой функции и допустимое множество задачи ЛП
Условия неотрицательности позволяют ограничиться рассмотре
нием положительного квадранта. Границы определяются прямыми
3x1 + 4х2 = 1700,
2х1 + 5х2 = 1 600.
Стрелка на каждой границе указывает, с какой стороны прямой * выполняется ограничение. Заштрихованная область ОАВС, содержащая точки, для которых соблюдены условия (2) и (3), является допустимой. Точки внутри и на границе этой области изображают допустимые решения. Допустимых решений много. Задача состоит в том, чтобы най
ти точку максимума функции Р.
Штриховыми линиями изображены прямые
2x1 + 4x2 =0,
2x1 + 4x2 = 800,
обозначенные а и bсоответственно. Эти прямые параллельны и пред
ставляют собой две линии уровня функции Р со значениями 0 и 800. Яс
но, что значение функции Р возрастает по мере того, как линии уровня удаляются от начала координат в положительном квадранте.
ми (2, 4), указывающий направление возрастания функции Р перпенди
кулярен штриховым линиям и направлен в сторону, противоположную началу координат.
Линией уровня с наибольшим значением функции Р имеющей хотя бы одну точку с допустимой областью, является прямая с, прохо
дящая через вершину В; на ней Р принимает значение 1 400. Точка В, в которой х1= 300, х2= 200, соответствует оптимальному решению зада
чи. Эти значения могут быть получены как решения уравнений.
2х1 +4х2 =1700,
2х1 +5х2 =1 600.
Следовательно, максимальная прибыль составляет 2*300 + 4*200 = 1400.
В точке максимума оба ограничения превращаются в равенства, что означает полное использование сырья и машинного времени.
Пример 1 показывает, как возникают задачи линейного програм
мирования на практике и демонстрирует графический метод их решения.
Рассмотренная задача может быть расширена до трех и более ограничений и соответствующего количества неотрицательных перемен
ных. Могут быть введены дополнительные ограничения, связанные с возможностями рынка, упаковкой и т.д. В этом случае задача по-прежнему заключается в максимизации линейной функции от нескольких переменных при линейных ограничениях.
Порядок выполнения работы
Вариант № 2
-2х1 + 3х2 → max
Графический метод:
х1 + 2х2 ≤ 12
3х1 + 2х2≥ 8
-2х1 + х2 ≥-8
1) х1 + 2х2 ≤12 2) 3х1 + 2х2 ≥8
х1 > 0 x2 > 0 х1 > 0 x2 > 0
x1 = 0 x2 = 6 x1 = 0 x2 = 4
x1 = 12 x2 = 0 x1 = 8/3 x2 = 0
3) -2х1 + х2 ≥-8
х1 > 0 x2 > 0
x1 = 0 x2 =-8
x1 = 4 x2 = 0
Таблица 1 – Начальное базисное решение
Опорная точка: х1 = 0, х2 = 0, х3 = 12, х4 = 8, х5 = -8, G = 0.
Таблица 2 – Правило минимальных отношений
Таблица 3 – Сложное базисное решение