--PAGE_BREAK--Селекція за ступенем імовірності втрат
Транснаціональна страхова компанія страхує автомобілі. Припустимо, що вона застрахувала по 1 000 автомобілів вартістю в 50 000 гривень кожен у двох країнах А і Б. У країні А імовірність крадіжки автомобіля щороку оцінюється в 0,001, у країні Б – в 0,01. Середні втрати на один автомобіль становитимуть – 50 000 х (0,001 + 0,01)/2 = 275. Отже, страховий внесок у 300 гривень забезпечить фірмі сплату страхових премій, відшкодування накладних витрат, а також деякий прибуток. Але жителі країни А швидко зметикують, що страховий внесок в 300 гривень – занадто висока ціна порівняно з середніми втратами в 50 гривень, і не укладатимуть контракти зі стаховою фірмою на подібних умовах. Проте власників автомобілів з країни Б це цілком влаштовує, оскільки середні втрати для них становитимуть величину 500, а страховий поліс коштує 300. Проте фірма буде втрачати в середньому на кожному застрахованому автомобілі 200 гривень і швидко припинить подібний вид страхування.
Мораль цієї історії – ризик потрібно диференціювати. Чим більша ймовірність втрати, тим більшим повинен бути страховий внесок, і навпаки.
Схильність до ризику та гральний бізнес
Для особи, несхильної до ризику, функція корисності має вигляд, зображений на рис. 1. Для більшості людей економісти вважають таку гіпотезу виправданою. Проте не варто нехтувати (й цього не роблять власники казино та „одноруких бандитів”) категорією людей, яких усе ж таки приваблює ризик. Для таких людей функція корисності має вигляд, зображений на рис. 2.
Він свідчить, що кожна додаткова одиниця багатства (в певному інтервалі) все корисніша. Тепер розглянемо лотерею, в якій виграші становитимуть -1 та 1 з рівними імовірностями. Ця лотерея „справедлива”, оскільки середній виграш дорівнює 0. Проте за рис.2 приріст корисності від виграшу більший, ніж зменшення корисності у разі програшу.
Кожна людина – складне поєднання різних якостей та схильностей. Це ж саме стосується й ставлення до ризику. Статистичні дослідження та емпіричний досвід свідчать, що звичайна людина може мати схильність до ризику, коли йдеться про невеликі суми щодо її статку, та надзвичайно обережна – для значних сум. Тобто, функція корисності здебільшого має вигляд, зображений на рис.3.
До точки А спостерігається зростання граничної корисності, особа схильна ризикнути сумами, меншими від А. Після точки А гранична корисність спадає, й людину не приваблює ризик сумами, більшими ніж А.
До речі, здатність ризикувати тими чи іншими сумами здебільшого свідчить не про якісь особливі психологічні якості індивіда, а про його майновий стан. Якщо дехто ставить на гру 1 000 гривень, то це може означати, що для цієї людини зазначена сума – така ж дрібниця, як для більшості – вартість квитка на зразок Спортлото.
Таблична модель поведінки клієнта страхової компанії
Припущення
Клієнт страхової компанії є власником певного активу (майно, внесок у банк, людський капітал), величина якого відображається у грошовій формі. Величину активу будемо позначати через А.
Можливий страховий випадок, коли клієнт втрачає актив або його частку. Це може бути у випадку стихійного лиха, пограбування, банкрутства фінансової установи, якій клієнт довірив свій актив, несприятливої кон’юнктури ринку (чорні вівторки та п’ятниці), втрати працездатності внаслідок виробничої або побутової травми. Будемо розглядати спрощений випадок, коли актив або повністю недоторканий, або повністю вилучений.
Припускаємо, що клієнт може оцінити імовірність страхового випадку. Позначатимемо її через .
Для того, щоб бути більш певним у своєму майбутньому, власник активу може звернутись до страхової компанії і застрахувати актив або його частку.
Компанія пропонує такі умови страхування:
1. клієнт сплачує компанії страховий внесок, пропорційний частці страхового активу. Позначимо через питомий страховий внесок або ціну страхування, тобто страховий внесок, що припадає на одиницю страхового активу;
2. якщо трапляється страховий випадок, компанія сплачує клієнту страхову винагороду, яка теж пропорційна частці застрахованого активу. Через будемо позначати питому страхову винагороду, тобто страхову винагороду, що припадає на одиницю страхованого активу.
Аналіз взаємодії страхової компанії та її клієнтів буде здійснений за таких припущень щодо їх поведінки:
І. Клієнт залежно від питомого страхового внеску та питомої страхової винагороди обирає частку страхового активу;
ІІ. Клієнт є несхильним до ризику, тобто для нього більш привабливим є отримання гарантованого сподіваного виграшу, ніж участь у ризикованій акції, яка має такий самий сподіваний ефект. Припущення можна перефразувати в більш звичайних термінах для страхової справи. Наприклад, власник будинку вартістю 400 000 гривень може його втратити внаслідок стихійного лиха, імовірність якого становить 0,0001 на рік. Сподіваний програш становить у цьому випадку 400 000 х 0,0001 = 40. Проте власник будинку залюбки буде сплачувати 100, а то й 200 гривень щороку страховій компанії, аби вона йому гарантувала відшкодування вартості будинку.
ІІІ. Моделлю системи цінностей людини, яка не байдужа до ризику, є сподівана корисність. Чим більша сподівана корисність для людини, тим більш комфортно вона себе почуває.
ІV. Також будемо припускати, що функція корисності за Нейманом-Моргенштерном клієнта є монотонно зростаючою, тобто чим більший актив має особа, тим краще для неї.
Числовий приклад.
Величина активу становить 20 000 гривень. Власник активу – особа несхильна до ризику. Гранична корисність для власника активу задається формулою:
(1)
де інтервали зміни величини активу вказані в тисячах.
Імовірність страхового випадку =0,0001. Питомий страховий платіж (надалі будемо називати його просто страховим платежем) =0,001, питома страхова винагорода =1. Іншими словами, кожна застрахована 1 000 відшкодовується повністю у разі страхового випадку, але для цього клієнт повинен сплатити компанії 1 гривню.
Чи буде власник активу страхуватись взагалі, але якщо буде то яким обсягом?
Насамперед кілька зауважень щодо системи цінностей потенційного клієнта. Найбільш вагомою для нього буде втрата останніх одиниць його активу (кожна одиниця серед останніх п’яти важить 20 ютилів). Далі вагомість втрат зменшується. В таблиці 1 наведена корисність багатства потенційного клієнта.
Табл.1. Корисність залишку активу після страхового випадку (згідно з граничною корисністю(1))
Табл.2. Обсяг страхування та сподівана корисність (=0,0001, =0,001 )
Величина активу (х) (в тис.)
Гранична корисність (МU)
Корисність (u(x))
Обсяг страхування
Сподівана корисність
0
20
0
0
179,9820
1
20
20
1
179,9830
2
20
40
2
179,9840
3
20
60
3
179,9850
4
20
80
4
179,9860
5
20
100
5
179,9870
6
10
110
6
179,9870
7
10
120
7
179,9870
8
10
130
8
179,9870
9
10
140
9
179,9870
10
10
150
10
179,9870
11
5
155
11
179,9865
12
5
160
12
179,9860
13
5
165
13
179,9855
14
5
170
14
179,9850
15
5
175
15
179,9845
16
1
176
16
179,9836
17
1
177
17
179,9827
18
1
178
18
179,9818
19
1
179
19
179,9809
20
1
180
20
179,9800
Очевидно, що функція корисності клієнта є увігнутою, тобто він не схильний до ризику. Для нього найбільш вагомими є останні одиниці втрати активу після страхового випадку.
Порівняємо добробут клієнта за відсутності страхування та у випадку, коли він страхує перші одиниці активу.
Якщо клієнт не страхується зовсім, то він матиме, як і раніше, актив обсягом 20 000 за відсутності страхового випадку, та нічого, якщо страховий випадок трапиться. З точки зору корисності, він матиме 180 ютилів (див. табл.1) з імовірністю 0,9999 та нічого з імовірністю 0,0001. Сподівана корисність становитиме:
0,9999 х 180 + 0,0001 х 0 = 179,982.
Якщо клієнт страхує 4 000, то у разі відсутності страхового випадку то у нього залишається:
20 000 – 4 000 х 0,001 = 19,996,
а в разі страхового випадку – 4 000 гривень, корисність першої суми згідно з табл.1., становитиме 179,996, другої – 80. Звідси, сподівана корисність дорівнюватиме
179,996 х 0,9999 + 80 х 0,0001 = 179,986.
Таким чином, для особи з функцією корисності, яка відображена в таблиці 1 та на рис.1 страхування обсягом 4 000 є більш привабливим порівняно з випадком коли особа взагалі не страхується.
В табл.2 та на рис.2 відображені результати аналогічних розрахунків для всіх можливих варіантів страхування з дискретністю 1 000.,
Здійснені розрахунки показують, що діапазон від 5 000 до 10 000 містить найпривабливіший обсяг страхування для клієнта.
Закон спадаючої граничної сподіваної корисності
Рис.5. свідчить про увігнутість функції сподіваної корисності для клієнта незалежно від обсягу страхування. Цей факт можна перефразувати в термінах граничної сподіваної корисності. Дано таке означення:
Граничною сподіваною корисністю називається приріст сподіваної корисності у разі збільшення обсягу страхування на одиницю (малу).
Увігнутість функції сподіваної корисності свідчить про дію в даному випадку закону спадаючої граничної корисності. В табл.3 та на рис.6. відображена дія цього закону.
Табл.3. Гранична сподівана корисність
Обсяг страхування
Гранична сподівана корисність
0
0,0010
1
0,0010
2
0,0010
3
0,0010
4
0,0010
5
0,0010
6
0,0000
7
0,0000
8
0,0000
9
0,0000
10
0,0000
11
-0,0005
12
-0,0005
13
-0,0005
14
-0,0005
15
-0,0005
16
-0,0009
17
-0,0009
18
-0,0009
19
-0,0009
20
-0,0009
Закон спадаючої граничної сподіваної корисності розширює дію закону спадаючої граничної корисності. У випадку розглянутої схеми страхування сформульований закон означає, що кожна додаткова одиниця застрахованого активу приносить його власнику все менший приріст його сподіваної корисності.
Помічена властивість може використовуватись для раціоналізації розрахунків: як тільки гранична сподівана корисність стає від’ємною, розрахунки далі можна не продовжувати.
Реакція клієнта на зміну параметрів страхування
Якщо зафіксувати страхову премію, то страховий платіж можна інтерпретувати як плату за ризик. Оскільки ризик для людини, несхильної до ризику, — антиблаго, то плата за нього здійснюється для того, щоб ризику позбутись. Економісту важливо вміти дослідити ринок товару „ризик”, і зокрема, наскільки жвавіше йде торгівля цим товаром у разі зміни ціни на ризик.
Зробимо ще один розрахунок за іншого страхового платежу r=0,003. Методика розрахунків абсолютно аналогічна до вже наведених. Результати нових розрахунків відображені в табл.4. та на рис. 4.
Табл.4. Обсяг страхування та сподівана корисність за різних рівнів страхових платежів
Обсяг страхування
Сподівана корисність
за r=0.001
Сподівана корисність
за r=0.003
0
179,9820
179,9820
1
179,9830
179,9830
2
179,9840
179,9840
3
179,9850
179,9850
4
179,9860
179,9860
5
179,9870
179,9870
6
179,9870
179,9870
7
179,9870
179,9870
8
179,9870
179,9870
9
179,9870
179,9870
10
179,9870
179,9870
11
179,9865
179,9865
12
179,9860
179,9860
13
179,9855
179,9855
14
179,9850
179,9850
15
179,9845
179,9845
16
179,9836
179,9836
17
179,9827
179,9827
18
179,9818
179,9818
19
179,9809
179,9809
20
179,9800
179,9800
Рис.4. та табл.4. наочно показують, що страховий платіж r=0.003 занадто великий з точки зору клієнта, і він буде ухилятись від страхування. Неважко зміркувати, що занадто великий страховий платіж буде невигідним і для страхової компанії, оскільки у разі небажання клієнтів страхуватися компанія не матиме прибутку. Знову ж потрібна золота середина.
Аналіз рівноваги особи, яка страхується
Математична модель клієнта
Введемо позначення:
А – величина активу клієнта;
- імовірність страхового випадку;
- питомий страховий внесок (плата страховій компанії за кожну одиницю застрахованого майна);
— питома страхова винагорода (відшкодування страховою компанією, яке припадає на кожну одиницю застрахованого активу).
Додатково позначимо через
х – величину страхованого активу (її обирає клієнт страхової компанії):
— функцію за Нейманом-Моргенштерном клієнта, яка визначена на залишку активу після страхового випадку.
Якщо трапиться страховий випадок, то страхова компанія відшкодовує клієнтові величину . Отже, якщо клієнт застрахував х одиниць активу, трапився страховий випадок, то у клієнта залишається . За решту компанія відповідальності не несе.
Якщо ж страхового випадку не буде, то залишок активу становитиме величину А — .
Корисність у разі страхового випадку становить величину , в протилежному випадку — . Сподівана корисність за обсягу страхування х дорівнюватиме величині Поведінка клієнта описуватиметься моделлю:
(4.2)
Гранична сподівана корисність та сподівання граничної корисності
Припустимо, обсяг страхування збільшився на одиницю. Тоді у разі страхового випадку відшкодування зросте на величину q, а корисність — на величину MU(qx) · q, де MU – гранична корисність залишку активу. Якщо страхового випадку не буде, то втрата клієнта збільшиться на величину r, а корисність — на величину MU(А –rх)· r. Останню величину можна інтерпретувати як граничну шкоду (або зі знаком мінус), як граничну корисність страхування за відсутності страхового випадку, а величину MU(qx) · q – як граничну корисність страхування за наявності страхового випадку Сподівана гранична корисність дорівнюватиме величині:
Водночас ця величина показує приріст сподіваної корисності внаслідок зміни (збільшення) обсягу страхування, тобто вона є й граничною сподіваною корисністю.
Отже, гранична сподівана корисність страхування збігається Із сподіваною граничною корисністю
Цей факт також негайно підтверджується відомими правилами диференціювання:
продолжение
--PAGE_BREAK--
продолжение
--PAGE_BREAK--