В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и положений анализа позволяет получить качественную картину поведения функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения. Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение результата необходимо с заданной точностью.
В дипломной работе рассматривается задача:
0
Требуется привести пример оценки решения задачи (З) в области
Оценка решения задачи (З) основывается на принципе максимума для уравнения теплопроводности : “Всякое решение уравнения
В области t=t , x=
это решение имеет вид [1]:
v (t, x) =
Зафиксируем некоторое
V(t, x) =
Из принципа максимума [2] заключаем, что:
U( t, x )
Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).
Разобьем интервал
V( t, x ) =
Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то что
где
После проведенного исследования видно, что
Использовав известное разложение
где Z
(а)
(б)
В результате получим :
Здесь:
Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое суммы ряда:
m=1,
U(t, x)
Выше приведенная оценка не отражает качественной картины и может быть использована при дальнейших исследованиях задач подобного вида. ( т .к .
Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).
пусть
(т.е.
при
где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:
Аналогично, как и выше
здесь:
Таким образом,
(используем разложение в ряд Тейлора)
В итоге,
Рассмотрим два случая:
а) Пусть
тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые стремятся к нулю быстрее любой степени
поэтому (5.1) можно переписать как:
б) Пусть
где
В результате получаем:
Зададим произвольно некоторую константу
Неравенство (5) можно только усилить, если
Рассмотрим общий вид
b=x ( k=1 ) , b=2
откуда:
Т. к. в работе исследуется поведение неравенства (3) при
Обобщая результаты всей работы в целом можно сформулировать следующие теоремы:
1. Пусть для уравнения теплопроводности имеет место задача
Тогда для любого сколь малого числа
такое что имеет место следующая оценка “сверху” решения задачи (З):
Раскрыв квадратные скобки, получим:
2.Пусть в имеет место задача (З),
тогда:
2) если
Замечанние:видно, что оценку полученную в теореме 2 можно получить и при более слабых ограничениях
Пусть
В дипломной работе произведена оценка решения “сверху” для уравнения теплопроводности с движущей границей по заданному закону. Аналогично, можно получить оценку решения “снизу”. Для этого нужно рассмотреть ступенчатую область, в которой для каждой ступеньки решение может быть получено согласно 2.1 (2) . Число таких ступенчатых областей необходимо выбрать таким образом, чтобы оценка полученная снизу была сравнима с полученной выше оценкой.
Дата добавления: 24.04.2001
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |