/>/>/>/>/>/>/>/>/>ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ/>/>/>/>/>/>/>/>/>НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ ИУПРАВЛЕНИЯ – «НИНХ»/>/>/>/>/>/>/>/>/>Кафедра статистики
КУРСОВАЯ РАБОТА
ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ
На тему: Средние величины
Выполнил: Номергруппы: СТП — 72
Юнусова Гульназия Чамилевна
Проверил: Серьга Людмила Константиновна
2008
Содержание
Введение
1. Сущность средних величин, общие принципы применения
2. Виды средних величин и сфера их применения
2.1 Степенные средние величины
2.1.1 Средняя арифметическая величина
2.1.2 Средняя гармоническая величина
2.1.3 Средняя геометрическая величина
2.1.4 Средняя квадратическая величина
2.2. Структурные средние величины
2.2.1 Медиана
2.2.2 Мода
3. Основные методологические требования правильногорасчета средних величин
Заключение
Список использованной литературы
Введение
История практическогоприменения средних насчитывает десятки столетий. Основная цель расчета среднейсостояла в изучении пропорций между величинами. Значимость расчетов среднихвеличин возросла в связи с развитием теории вероятностей и математическойстатистики. Решение многих теоретических и практических задач было быневозможно без расчетов средней и оценки колеблемости индивидуальных значенийпризнака.
Ученые разных направлений стремились датьопределение средней. Например, выдающийся французский математик О.Л.Коши (1789 — 1857) считал, что средней нескольких величин является новая величина,заключающаяся между наименьшей и наибольшей из рассматриваемых величин.
Однако создателем теории средних следуетсчитать бельгийского статистика А. Кетле (1796 — 1874). Им предпринята попыткаопределить природу средних величин и закономерностей, в них проявляющихся.Согласно Кетле, постоянные причины действуют одинаково (постоянно) на каждоеизучаемое явление. Именно они делают эти явления похожими друг на друга,создают общее для всех их закономерности.
Следствием учения А. Кетле об общих ииндивидуальных причинах явилось выделения средних величин в качестве основногоприема статистического анализа. Он подчеркивал, что статистические средниепредставляют собой не просто меру математического измерения, а категориюобъективной действительности. Типическую, реально существующую среднюю онотождествлял с истинной величиной, отклонения от которой могут быть толькослучайными.
Ярким выражением изложенного взгляда насреднюю является его теория «среднего человека», т.е. человека среднего роста,веса, силы, среднего объема грудной клетки, емкости легких, средней остротызрения и обычным цветом лица. Средние характеризуют «истинный» тип человека,все отклонения от этого типа указывают на уродливость или болезнь.
Взгляды А.Кетле получилидальнейшее развитие в работах немецкого статистика В.Лексиса (1837 — 1914).
Другая разновидностьидеалистической теории средних основана на философии махизма. Ее основательанглийский статистик А. Боули (1869 — 1957). В средних он видел способ наиболеепростого описания количественных характеристик явления. Определяя значениесредних или, как он выражается, «их функцию», Боули на первый план выдвигаетмахистский принцип мышлений. Так, он писал, что функция средних ясна: оназаключается в том, чтобы выражать сложную группу при помощи немногих простыхчисел. Ум не в состоянии сразу охватить величины миллионов статистическихданных, они должны быть сгруппированы, упрощены, приведены к средним.
Последователем А.Кетлебыл и итальянский статистик К.Джини (1884-1965), автор крупной монографии«Средние величины». К.Джини подверг критике определение средней, данноесоветским статистиком А.Я.Боярским, и сформулировал свое: «Средняянескольких величин является результатом действий, выполняемых по определенномуправилу над данными величинами, и представляет собой либо одну из данныхвеличин, которая не больше и не меньше всех остальных (средняя действительнаяили эффективная), либо какую-либо новую величину, промежуточную междунаименьшей и наибольшей из данных величин (счетная средняя)».
В данной курсовой работемы подробно рассмотрим основные проблемы теории средних величин. В первой главевыявим сущность средних величин и общие принципы применения. Во второй главерассмотрим виды средних величин и сферу их применения на конкретных примерах. Втретьей главе будут рассмотрены основные методологические требования расчетасредних величин.
1. Сущностьсредних величин, общие принципы применения
Средние величины являютсяодними изнаиболее распространенных обобщающих статистическихпоказателей. Они имеютсвоей целью одним числом охарактеризоватьстатистическую совокупность состоящуюиз меньшинства единиц. Средниевеличины тесно связаны с законом больших чисел.Сущность этойзависимости заключается в том, что при большом числе наблюденийслучайныеотклонения от общей статистики взаимопогашаются и в среднем более отчетливопроявляется статистическая закономерность.
Средняя величина — этообобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретныхусловиях места и времени. Он выражает уровень признака, типический для каждойединицы совокупности.
Средняя являетсяобъективной характеристикой только для однородных явлений. Средние длянеоднородных совокупностей называются огульными и могут применяться только всочетании с частными средними однородных совокупностей.
Средняя применяется в статистическихисследованиях для оценки сложившегося уровня явления, для сравнения междусобой нескольких совокупностей по одному и тому же признаку, для исследования динамикиразвития изучаемого явления во времени, для изучения взаимосвязей явлений.
Средние широкоприменяются в различных плановых, прогнозных, финансовыхрасчетах.
Главное значение среднихвеличин состоит в их обобщающей функции, т.е. замене множества различныхиндивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всюсовокупность явлений. Всем известны особенности развития современных людей,проявляющиеся в том числе и в более высоком росте сыновей по сравнению сотцами, дочерей в сравнении с матерями в том же возрасте. Но как измерить этоявление?
В разных семьяхнаблюдаются самые различные соотношения роста старшего и младшего поколения.Далеко не всякий сын выше отца и не каждая дочь выше матери. Но если измеритьсредний рост многих тысяч лиц, то по среднему росту сыновей и отцов, дочерей иматерей можно точно установить и сам факт акселерации, и типичную среднюювеличину увеличения роста за одно поколение.
На производство одного итого же количества товара определенного вида и качества разные производители(заводы, фирмы) затрачивают неодинаковое количество труда и материальныхресурсов. Но рынок осредняет эти затраты, и стоимость товара определяетсясредним расходом ресурсов на производство.
Погода в определенномпункте земного шара в один и тот же день в разные годы может быть оченьразличной. Например, в Санкт-Петербурге 31 марта температура воздуха за сто с лишнимлет наблюдений колебалась от -20,1° в 1883 г. до +12,24° в 1920 г. Примерно такие же колебания и в другие дни года. По таким индивидуальным данным о погоде вкакой-то произвольно взятый год нельзя составить представление о климатеСанкт-Петербурга. Характеристики климата — это средние за длительный периодхарактеристики погоды — температуры воздуха, его влажность, скорость ветра,сумма осадков, число часов солнечного сияния за неделю, месяц и весь год и т.д.
Если средняя величинаобобщает качественно однородные значения признака, то она является типическойхарактеристикой признака в данной совокупности. Так,можно говорить об измерении типичного роста русских девушек рождения 1973 г. по достижении ими 20-летнего возраста. Типичной характеристикой будет средняя величина надоямолока от коров черно-пестрой породы на первом году лактации при нормекормления 12,5 кормовой единицы в сутки.
Однако неправильносводить роль средних величин только характеристике типичных значений признаковв однородных по данному признаку совокупностях. На практике значительно чащесовременная статистика использует средние величины, обобщающие явнонеоднородные явления, как, например, урожайность всех зерновых культур потерритории всей России. Или рассмотрим такую среднюю, как среднее потреблениемяса на душу населения: ведь среди этого населения и дети до одного года, вовсене потребляющие мяса, и вегетарианцы, и северяне, и южане, шахтеры, спортсменыи пенсионеры. Еще более ясна нетипичность такого среднего показателя, какпроизведенный национальный доход в среднем на душу населения.
Средняя величинанационального дохода на душу, средняя урожайность зерновых по всей стране,среднее потребление разных продуктов питания — это характеристики государства,как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние.
Системные средние могутхарактеризовать как пространственные или объектные системы, существующиеодномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.п.), так идинамические системы, протяженные во времени (год, десятилетие, сезон и т.п.).
Примером системнойсредней, характеризующей период времени, может служить средняя температуравоздуха в Санкт-Петербурге за 1992 г., равная +6,3°. Эта средняя обобщаеткрайне разнородные температуры зимних морозных дней и ночей, летних жаркихдней, весны и осени. 1992 г. был теплым годом, его средняя температура неявляется типичной для Санкт-Петербурга. В качестве типической среднегодовойтемпературы воздуха в городе следует использовать многолетнюю среднюю, скажем,за 30 лет с 1963 по 1992 г., которая равна +5,05°. Эта средняя являетсятипической средней, так как обобщает однородные величины; средние годовыетемпературы одного и того же географического пункта, варьирующие за 30 лет от+2,90° в 1976 г. до +7,44° в 1989 г.
Итак, типическая средняяможет обобщать системные средние для однородной совокупности, или системнаясредняя может обобщать типические средние для единой, хотя и неоднородной системы.
Так, многолетняя средняятемпература в Санкт-Петербурге в первые десятилетия и столетие существованиягорода была значительно ниже; она возрастает медленно, но с ускорением запоследнее столетие вследствие как роста самого города и энергопотребления внем, что повышает температуру воздуха, так и начавшегося и ускоряющегося общегопотепления на Земле. Поэтому «типичность» любой средней величины — понятие относительное, ограниченное как в пространстве, так и во времени.
Общие принципы применениясредних величин:
1) необходим обоснованный выборединицы совокупности, для которой рассчитывается среднее значение;
2) при расчете средней величины вкаждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержанияосредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а такжеимеющиеся для расчета данные;
3) средние величины должнырассчитываться, прежде всего, по однородным совокупностям. Качественнооднородные совокупности позволяют получить метод группировок, которыйпредполагает расчет не только среднего значения, но и системы обобщающихпоказателей;
4) общие средние (средние для всейсовокупности) должны подкрепляться групповыми средними. Например, анализдинамики урожайности отдельной сельскохозяйственной культуры показывает общеепо республике снижение урожайности. Однако известно, что урожайность этойкультуры зависит от почвенных, климатических, территориальных, экономических идругих условий конкретного сельскохозяйственного года и различна в отдельныхрегионах. Сгруппировав регионы по уровню урожайности каждого года ипроанализировав динамику групповых средних, можно обнаружить, что в отдельныхгруппах регионов средняя урожайность либо не изменилась, либо даже возросла, ноодновременно возросли удельный вес или число районов с более низкойурожайностью этой сельскохозяйственной культуры. Очевидно, что анализ факторовдинамики средних групповых позволяет более полно отразить закономерностиизменения урожайности по сравнению с динамикой общего среднего результата.
2. Видысредних величин и сфера их применения
Виды средних величин различаются,прежде всего, тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массыиндивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.
В практике статистическойобработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемыхявлений, и поэтому для их решения требуются различные сведения.
Средняя, рассчитанная по совокупности вцелом называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы —групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления,групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся вконкретных условиях данной группы.
Например, статистическое изучениерождаемости и среднего количества детей в семье на территории бывшего СССРпроводилось в региональном аспекте (по союзным республикам). Традиционно болеевысокая рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению сЦентральными районами России. Среднее количество детей в семье, исчисленное покаждому региону — это групповые средние, а соответственно исчисленное по всейтерритории СССР — общая средняя.
Сравнительный анализ групповых и общихсредних используется для характеристики социально-экономических типовизучаемого общественного явления. В частности, при изучении рождаемости большоезначение имеет характеристика этого процесса по общественным группам населениярегиона.
Групповые средние используются дляизучения закономерности развития общественных явлений. Так, в аналитическихгруппировках анализ групповых средних позволяет сделать вывод о наличии инаправлении взаимосвязи между группированным (факторным) признаком ирезультативном показателем.
Групповые средние широкоприменяются также при определении имеющихся использованных резервовпроизводства, когда на ряду со средними величинами рассматриваются ииндивидуальные значение признака.
Все средние величиныделятся на два больших класса:
1) степенные средние; к ним относятся такие известные и часто применяемыевиды, как средняя арифметическая величина, средняя квадратическая и средняягеометрическая;
2) структурные средние величины, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.
Степенные средниевеличины исчисляются в двух формах — простой и взвешенной.
Простая средняявеличина считается понесгруппированным данным и имеет следующие общий вид:
/>,
где Xi– варианта (значение) осредняемогопризнака;
m– показатель степени средней;
n– число вариант (наблюдений).
Взвешенная средняя величина считается по сгруппированным данным, представленным ввиде дискретных или интервальных рядов распределения:
/>,
где Xi – варианта (значение)осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряетсяварианта;
m– показатель степени средней;
fi– частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значениеосредняемого признака.
Приведем в качестве примера расчетсреднего возраста студентов в группе из 20 человек.
Таблица 2.1
№ п/п
Возраст (лет)
№ п/п
Возраст (лет)
№ п/п
Возраст (лет)
№ п/п Возраст (лет)
1 18 6 20 11 22 16 21
2 18 7 19 12 19 17 19
3 19 8 19 13 19 18 19
4 20 9 19 14 20 19 19 5 19 10 20 15 20 20 19
Средний возрастрассчитаем по формуле простой средней:
/>
Сгруппируем исходныеданные. Получим следующий ряд распределения:
Таблица 2.2Возраст, X лет 18 19 20 21 22 Всего Число студентов 2 11 5 1 1 20
В результате группировкиполучаем новый показатель — частоту, указывающую число студентов в возрасте Xлет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться поформуле взвешенной средней:
/>
Общие формулы расчетастепенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того,какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:
· средняя гармоническая, если m= — 1;
· средняя геометрическая, если m→ 0;
· средняя арифметическая, если m= 1;
· средняя квадратическая, если m= 2;
· средняя кубическая, если m= 3.
Если рассчитать все видысредних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутсянеодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности: с увеличениемпоказателя степени т увеличивается и соответствующая средняя величина:
Xгарм≤ Xгеом≤ Xарифм≤ Xквадр≤ Xкуб.
Пользуясь этим правилом, статистика можетв зависимости от настроения и желания ее «знатока» либо «утопить»,либо «выручить» студента, получившего на сессии оценки 2 и 5. Каковего средний балл?
Если судить по средней арифметической, тосредний балл равен 3,5. Но если декан желает «утопить» несчастного ивычислит среднюю гармоническую
/>,
то студент остается и в среднемдвоечником, не дотянувшим до тройки. Однако студенческий комитет можетвозразить декану и представить среднюю кубическую величину:
/>.
Студент уже выглядит«хорошистом» и даже претендует на стипендию! И только в том случае,если лентяй провалил оба экзамена, статистика помочь не в состоянии: увы, всесредние из двух двоек равны все той же двойке!
Формулы степенных средних величинприведены в табл. 2.3
В формулах средних значений п — эточисло единиц совокупности (число индивидуальных значений осредняемого признака X);х — индивидуальное значение признакау каждой единицы. Если совокупность объектов распределена по группам разнойчисленности, то х — это значение признака, общее для всей группы; f—численность группы (частота повторения данного значения признака).
Таблица 2.3 Формулысредних величинВид степенной средней Показатель степени(m) Формулы расчета средней простой взвешенной Гармоническая -1
/>
/>
m=xf Геометрическая → 0
/>
/> Арифметическая 1
/>
/> Квадратическая 2
/>
/> Кубическая 3
/>
/>
2.1 Степенные средниевеличины
2.1.1 Средняяарифметическая величина
Средней арифметической величинойназывается такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объемпризнака в совокупности сохраняется неизменным.
Иначе можно сказать, что средняяарифметическая величина -среднее слагаемое. При ее вычислении общийобъем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицамисовокупности.
Средняя арифметическая – наиболеераспространенный на практике вид средних. Различают 2 вида арифметическихсредних:
· Невзвешенную (простую);
· Взвешенную.
Средняя арифметическая невзвешеннаярассчитывается для несгруппированных данных по формуле:
/>.
Для массовых статистических совокупностейрассчитывается взвешенная средняя арифметическая по формуле:
/>.
Если при группировке значения осредняемогопризнака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины вкачестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е.исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности поинтервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последнейгруппе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путемисходя из сущности, свойств признака и совокупности. Например, по табл.2.1.1можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. Тогда первый интервал будетот 17 до 20 лет, а максимальный возраст — 65 лет, тогда последний интервал —50-65 лет.
Таблица 2.1.1 Распределение рабочих предприятия по возрастуГруппы рабочих по возрасту, лет
Число рабочих fj
Середина интервалаxj
xj fj До 20 48 18,5 888 20-30 120 25 3000 30-40 75 35 2625 40-50 62 45 2790 Старше50 54 57,5 3105 Итого 359 34,56 12408
Средний возраст рабочих,рассчитанный по формуле с заменой точных значений признака в группах серединамиинтервалов, составил:
/>
/> = />,
что и записано в итоговую строку по графе3 табл.2.1.1.
Средняя арифметическая величина обладаетрядом свойств, позволяющих ускорить расчет:
1. Произведение средней на суммучастот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т. е. />.
Это свойство определено требованиямиправильного исчисления средней, согласно которым конкретные значенияварьирующего признака уравниваются без изменения общего объема его и заменяютсяодним средним числом, которое как постоянный множитель выносится из-под знакасуммы. Благодаря этому свойству средняя может быть использована для разногорода плановых и статистических расчетов как представитель или заменитель всехзначений варьирующего признака. Так, если средний расход горючего на 1 гектар пахоты составляет 20 литров, а всего надо вспахать 2 млн. га, то всего потребуется 40 млн.литров горючего. Аналогично, если достаточно репрезентативное выборочноеобследование показало, что среднегодовой надой молока на одну корову составляет 2500 литров, а всего в районе 15 тыс. коров, то общий надой составит 37,5 млн.литров.
2. Сумма отклонений вариантов как отпростой, так и от взвешенной средней арифметической равна нулю:
/> и />
Рассмотренное свойствоможет быть использовано для проверки правильности исчисления средней. Если приисчислении средней арифметической /> и /> не равны нулю, этоуказывает, что средняя неправильно исчислена. А так как в анализе частоприходится пользоваться отклонениями от средней, их удобно использовать и дляпроверки правильности исчисления средней.
3. Сумма квадратов отклоненийвариантов как от простой, так и от взвешенной средней меньше суммы квадратовотклонений от любой другой произвольной величины а, т. е.
/>.
Пример:
Таблица 2.1.2Табельный номер рабочего 1 2 3 4 5 6
Часовая выработка деталей (x) 12 10 6 10 12 10
/>
В примере, основанном на данных табл.2.1.2, />, а
/>
При а =12 />составит:
Таблица 2.1.3
xi
— a
/>
/>
12 -12
10 -12 -2
4
6 -12 -6
36
10 -12 -2
4
12 -12
10 -12 -2
4
Итого
48
Как видим, 24
4. Если все частоты разделить (илиумножить) на произвольное число (а), то средняя от этого не изменится, так как
/>
Если разгруппировать рабочих (табл.2.1.2)по числу выработанных за час деталей, получим такие данные (табл.2.1.4):
Таблица 2.1.4
Варианты выработки деталей за час (x)
Число рабочих с данной выработки (f)
Объем варьирующего признака (xf) 6 1 6 10 3 30 12 2 24 Итого 6 60
Если применить полученнуюформулу, к примеру, приведенному в табл. 2.1.4, это означает, что если,например, частоты уменьшить в 6 раз, средняя взвешенная арифметическаяне изменится и будет равна:
/>
Средняя не изменится,если мы частности выразим в процентах, т. е. умножим их на 100:
/>
Рассматриваемое свойство показывает, чтопри данных вариантах признака величина средней зависит не от абсолютногоразмера весов, а от соотношения между ними. В приведенном примере мы сначалачастоты уменьшили в 6 раз, а затем увеличили в 100 раз, но средняя выработка неизменилась.
5. Если веса всех вариантов равнымежду собой, то взвешенная средняя равна простой средней, так как при этихусловиях
/>
Так как исчисление простой арифметическойсредней требует меньше затрат труда, чем взвешенной, то при равенстве весов нетнадобности пользоваться последней.
6. Средняя алгебраической суммы равнаалгебраической сумме средних. Так, если у, х иz—положительные варьирующие величины и уi=xi+zi, то
7.
/>.
Следовательно, />.
Это свойство среднейпоказывает, в каких случаях можно непосредственно суммировать средние.Например, если изделие состоит из двух деталей, изготовляемых разными рабочими,и при этом один из них тратит в среднем на одну деталь 20, а на другую 30минут, то в среднем на одно изделие расходуется 20 + 30 = 50 минут. Аналогичнорешался бы вопрос, если бы изделие состояло из трех и более деталей.
2.1.2 Средняя гармоническаявеличина
Если по условиям задачи необходимо, чтобынеизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальнымзначениям признака, то средняя величина является гармонической средней.
Средняя гармоническая величина, как исредняя арифметическая может быть простой и взвешенной. Если веса у каждогозначения признака равны, то можно использовать среднюю гармоническую простую:
/> .
Однако в статистической практике чащеприменяется средняя гармоническая взвешенная:
/>, гдеm= xf ,
она используется, как правило, при расчетеобщей средней из средних групповых.
Средняя гармоническая имеет более сложнуюконструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют длярасчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности –носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m =Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаяхопределения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицупродукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим,занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали,изделия.
Приведем расчет средней гармоническойвеличины — простой и взвешенной.
Пример. Четыре швеи-надомницы заняты пошивом головных убороводной модели. Первая швея тратит на изготовление одного головного убора 30 мин,вторая — 40 мин, третья — 50 мин, четвертая — 60 мин. Определим средние затратывремени на пошив одного головного убора при условии, что каждая швея работаетпо 10 ч в день.
Попытка решить задачу спомощью средней арифметической простой
/>
/>
оказалась бы успешной, если бы каждаянадомница шила только по одному головному убору в день. В данном же случаесредние затраты времени на пошив одного головного убора можно подсчитатьделением общих затрат времени на пошив всех головных уборов (600 + 600 + 600 +600 = 2400 мин) на количество сшитых головных уборов.
Количество головныхуборов, сшитых каждой надомницей, равно:
1) 600/30 = 20 шт.; 2)600/40 =15 шт.; 3) 600/50 = 12 шт.; 4) 600/60 = 10 шт. Всего 57 изделий.
Средние затраты временивычислим по формуле средней гармонической взвешенной:
/>
т.е. на пошив одногоголовного убора тратится в среднем 42 мин.
В качестве веса в этойзадаче был принят показатель общих затрат времени на пошив всех головных убороводной швеей.
Так как в этом примереобщие затраты времени у всех надомниц одинаковы, то к аналогичному результатуприводит и расчет по формуле средней гармонической простой:
/>.
2.1.3 Средняягеометрическая величина
Если при замене индивидуальных величинпризнака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведениеиндивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюювеличину.
Ее формула такова:
/>, для простой.
/>, для взвешенной.
Основное применениегеометрическая средняя находит при определении средних темпов роста. Пусть,например, в результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза кпредыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Ясно,что за два года цена выросла в 6 раз. Каков средний темп роста цены за год?Арифметическая средняя здесь непригодна, ибо если за год цены возросли бы в />раза, то за два года ценавозросла бы в
2,5 х 2,5 = 6,25 раза, ане в 6 раз. Геометрическая средняя дает правильный ответ: √6 — 2,45 раза.
Геометрическая средняявеличина дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, еслизадача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно былбы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака.Например, если максимальный размер выигрыша в лотерее составляет миллионрублей, а минимальный — сто рублей, то какую величину выигрыша можно считатьсредней между миллионом и сотней? Арифметическая средняя явно непригодна, онасоставляет 500 050 руб., а это, как и миллион, крупный, а никак не среднийвыигрыш; он качественно однороден с максимальным и резко отличен отминимального. Не дают верного ответа ни квадратическая средняя (707 107 руб.),ни кубическая (793 699 руб.), ни гармоническая средняя (199,98 руб.), слишкомблизкая к минимальному значению. Только геометрическая средняя дает верный сточки зрения экономики и логики ответ: /> Десятьтысяч — не миллион, и не сотня! Это, действительно, нечто среднее между ними.
Наиболее часто формулусредней геометрической используют для определения средних валютных курсов,эффективности валютных курсов,
реальной эффективности валютных курсов(международная финансовая статистика).
2.1.4 Средняяквадратическая величина
Если при заменеиндивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранитьнеизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратическойсредней величиной.
Ее формула такова:
/>, для простой.
/>, для взвешенной.
Например, имеются триучастка земельной площади со сторонами квадрата: х1= 100 м; х2 = 200 м; х3 = 300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю,мы очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков.Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300):3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3*(200 м)2 =120 000 м2. В то же время площадь исходныхтрех участков равна: (100 м)2 + (200 м)2 + ( 300 м)2 = 140 000 м2. Правильный ответ даетквадратическая средняя:
/>
Формула среднейквадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальныхзначений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, прирасчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклоненийиндивидуальных значений признака от средней арифметической величины.
2.1.5 Средняя кубическаявеличина
Если по условиям задачинеобходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признакапри их замене на среднюю величину, мы приходим к средней кубической, имеющейвид:
/>, для простой.
/>, для взвешенной.
Средняя кубическая имеетограниченное применение в практике статистики. Ею пользуются для исчислениясредних диаметров труб, стволов и т.п., необходимых для разного рода расчетов,как, например, для определения запасов древесины на складах и на лесныхучастках.
2.2Структурные средние величины
Особый вид средних величин – структурныесредние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределениязначений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), еслипо имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например,если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства,и о сумме затрат по группам предприятий).
В качестве структурных средних применяютпоказатели моды и медианы.
Мода и медиана определяются лишьструктурой распределения. Поэтому их именуют структурными позиционнымисредними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в техсовокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.
2.2.1 Медиана
Медиана (Ме) — величина варьирующего признака, делящая совокупностьна две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениямипризнака больше медианы.
В ранжированном вариационном ряду снечетным числом единиц совокупности медианой является значение признака усредней в ряду единицы. Медиана не зависит от значений признака, стоящих накраях вариационного ряда.
В интервальном вариационном ряду длянахождения медианы применяется формула:
/>,
где XMe — нижняяграница интервала, в котором находится медиана;
f´Me — число наблюдений (или объем взвешивающего признака), накопленноедоначала медианного интервала;
fMe — число наблюдений или объем взвешивающего признака вмедианном интервале (в абсолютном или относительном выражении);
i — величина медианного интервала;
/> — половина от общего числа наблюдений или половинаобъема того показателя, который используется в качестве взвешивающего вформулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении).
Примером такого рядаможет служить месячная заработная плата рабочих цеха.
Таблица 2.2.1Порядковый номер рабочего 1 2 3 4 5 6 7 итого
Месячная заработная плата, руб. (x) 90 105 148 160 175 220 250 1148
В этом ряду среднее местопо размеру заработной платы занимает рабочий сномером 4, получивший 160руб. Эта величина и есть медиана. Меньше и больше медианы одинаковое числовариантов. При нечетном числе вариантов (п) порядковый номер, которомусоответствует медиана, определяется по формуле
/>.
Когда количествовариантов в ряду четное число, медианой считают один из тех вариантов, которыйпо своей величине мог бы находиться посередине между вариантами с номером /> и />. Так, если бы в цехе былеще и восьмой рабочий с заработной платой в 276 руб., то медиана находилась быпосередине между четвертым и пятым порядковыми номерами. В таких случаяхпринято считать, что в промежутке между номерами /> и/> идет равномерноенарастание или убывание вариантов. Поэтому за медиану принимают среднююарифметическую из вариантов с номерами /> и/>. В данном примере
/>
Смысл полученногорезультата такой: одна половина рабочих получила за месяц меньше, а другая —больше 167,5 руб.
Следовательно, медиана —обобщающий показатель распределения совокупности, уровень признака, которыйделит совокупность на две равные части, и представляет обычно интерес ванализе, как это видно из приведенного примера.
Медиана, в отличие отсредней, не является абстрактной величиной. Она находится точно в серединеряда, представляет собой реальное значение признака, соответствуетопределенному варианту и при этом наиболее точна в случае нечетного числачленов совокупности. Медиана как обобщающая характеристика совокупности неможет, однако, заменить среднюю. Медиана — это центр распределения численностиединиц совокупности, а средняя — центр распределения отклонений значенийпризнака от равнодействующей. Величина медианы определяется лишь одним илидвумя серединными значениями признака. Изменения всех остальных величин, еслиони не меняют последовательности членов в центре ряда, не находят отражения вмедиане. Так, если месячную заработную плату наименее оплачиваемых двух рабочихподнять на 40 руб., это не скажется на медиане, несмотря на то, что тем самымзначительно повышаются доходы двух рабочих цеха и существенно выравниваетсязаработная плата членов коллектива. Поэтому медиана, представляющаяопределенный интерес в анализе, не может заменить среднюю, которая при заменереального коллектива абстрактным коллективом с уравненными значениями признакаоставляет неизменным определяющий показатель совокупности.
Медианой целесообразнопользоваться, когда не известны границы открытых крайних интерваловвариационного ряда, на которые приходится значительная часть единиц всейсовокупности, так как средняя в этих случаях страдает значительной неточностью.При исчислении же медианы отсутствие сведений об этих границах не влияет наточность расчета.
2.2.2 Мода
Мода (Мо) — это вариант признака, который при данном сочетаниипричин разного порядка чаще всего встречается в вариационном ряду. Например,цена, по которой чаще всего реализуется данный товар на рынке, является модойили модальной ценой. Месячная заработная плата, которая чаще всего встречаетсяв данном коллективе, является для него модальной заработной платой.
Мода — типичная величина, в том смысле,что она встречается в совокупности или объективно может встретиться чащедругих. Она имеет важное значение для решения некоторых задач, например какойвысоты должны быть предназначенные для массового потребления станки, столы и т.п., какое количество детей чаще всего встречается в семье, какое время дняявляется «пиковым» для работы предприятий общественного питания,электростанций, городского транспорта и др., какой уровень выполнения плананаиболее часто встречается в том или ином коллективе рабочих или предприятийи т. п.
Мода соответствует определенному значениюпризнака. На практике моду находят, как правило, по сгруппированным данным.
В дискретном ряду мода определяется безвычисления как значение признака с наибольшей частотой.
В интервальном вариационном ряду, темболее при непрерывной вариации признака, строго говоря, каждое значениепризнака встречается только один раз. Модальным интервалом является интервал снаибольшей частотой. Внутри этого интервала находят условное значение признака,вблизи которого плотность распределения, то есть число единиц совокупности,приходящееся на единицу измерения варьирующего признака, достигает максимума.Это условное значение и считается точечной модой. Логично предположить, чтотакая точечная мода располагается ближе к той из границ интервала, за которойчастота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границеймодального интервала. Отсюда имеем обычно применяемую формулу:\
/>,
XMo- нижнее значение признака Xв модальноминтервале;
i— величинаинтервала;
fMo-частота (частость) повторенияпризнака Xвмодальном интервале;
fMo-1,fMo+1 — соответственно частоты (частости) признакадля интервала, предшествующего модальному и следующего за ним.
Пример: Таблица 2.2.2Удойность в среднем от одной коровы за год, кг Процент хозяйств До 1000 7,6 1000-1649 9,7 1650-1999 16,1 2000-2499 37,5 2500-2999 20,6 3000-3999 8,2 4000 и выше 0,3 100
По табл.2.2.2. модальныйинтервал составляет 2000 — 2499шт, так как ему соответствует наибольшаячастота 37,5%, нижняя его граница хо = 2000, а величина интервала h= 500. Следовательно,
/>
Это значит, что чащевсего встречаются хозяйства, у которых надой в среднем от одной коровысоставляет 2280 кг.
Для решения практических задачнаибольший интерес представляет обычно мода, выраженная в виде интервала, а недискретным числом. Объясняется это назначением моды, которая должна выявитьнаиболее распространенные размеры явления. Выраженная в виде дискретного числамода часто не отвечает этому требованию. Так, в нашем примере процент хозяйств,у которых годовой надой в среднем на одну корову составляет 2280 кг, хотя и больше, чем хозяйств с любым другим уровнем надоя, но сам по себе он может быть небольшим.Хозяйств же с удойностью в пределах интервала 2000 — 2499 кг — 37,5%, а 2000 — 3000 кг — 58,1, — т. е. весьма значительный процент.
3.Основные методологические требования расчета средних величин
В связи с тем, чторазличные виды средних приводят кразным результатам, возникает проблемаправильного выбора формы средней. Если форма выбрана неправильно, то средняябудет завышена либо занижена. Так как любая средняя рассчитана на отображениелишь одного какого-либо конкретного свойства совокупности, то, следовательно,ответ может быть только однозначным. Кроме того, каждая средняя имеет свойособый смысл и область применения.
Рассматривая вопрос овыборе формы средней, которая наилучшим образам отвечает требованиям, К. Джинипишет: «Для выбора такой средней можно наметить лишь общие нормы, решающую жероль здесь играет интуиция и искусство исследователя»[1].Как, однако, ни важны эти качества исследователя, как и общие соображения обособенностях различных средних и их назначении, решающим в выборе формы среднейявляется социально-экономическое содержание явления, сущность которого должна найтисвое количественное выражение в средней. Средняя должна, на основе обобщенияколичественной стороны массовых общественный явлений в неразрывной связи с ихкачественной стороной, дать ответ на конкретные вопросы, выдвигаемые жизнью.Поэтому для правильного решения вопроса о выборе формы средней необходимопрежде всего учесть сущность объекта, законы его развития, его специфику,определить задачу, которая должна решаться при помощи средней, и исходя извсего этого установить определяющий показатель, который должен найти отражениев средней. Таков первый этап в решении вопроса о форме средней.
Второй этап в выбореформы средней заключается в определении характера связи между определяющимсвойством и осредняемым признаком. Если, например, связь прямо пропорциональна,то для расчета средней надо воспользоваться формулой средней арифметической, апри обратной пропорциональности — формулой средней гармонической. В случаях,когда связь выражается в форме геометрической прогрессии, средняя должнаисчисляться по формуле средней геометрической и т. п.
Третий этап практическисводится к исчислению числовых значений средней по избранной формуле наоснове фактических данных.
Из всех трех этаповнаиболее сложным является первый. Недоучет некоторых обстоятельств на этомэтапе или формальный подход, оторванный от качественного анализа, приводитнередко к тому, что разные авторы предлагают для решения одной и той же задачиразные виды средних.
Так как средние, включаяи распределительные средние, привлекаются для получения типичных характеристиксовокупности, то выбор формы средней для решения той или иной задачи зависит иот того, о какой типичности идет речь. Для характеристики однородностисовокупности, устойчивости или изменчивости явлений и процессов следуетпривлекать среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение икоэффициент вариации. В тех случаях, когда для решения той или иной задачиважно знать размер признака, который чаще всего встречается в совокупности,надо пользоваться модой, а для того, чтобы установить границу между высшей инизшей группами величин, а также для решения некоторых оптимальных задач, —медианой. Так как различные виды средней по-разному характеризуют совокупность,то для всестороннего ее изучения надо сочетать различные виды средних величин.
Таковы научные основывыбора формы средней.
Заключение
Средняя величина – этообобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражаетвеличину признака, отнесенную к единице совокупности.
Средние величины делятсяна два больших класса: степенные средние, структурные средние.
К степенным средним относятся такиенаиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая,средняя арифметическая и средняя квадратическая, средняя гармоническая, средняякубическая.
В качестве структурных средних рассматриваютсямода и медиана.
Степенные средние взависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.Простая средняя считается по не сгруппированным данным. Взвешенная средняясчитается по сгруппированным данным.
Общие формулы расчетастепенных средних имеют показатель степени (m).
· средняя гармоническая, если m= — 1;
· средняя геометрическая, если m→ 0;
· средняя арифметическая, если m= 1;
· средняя квадратическая, если m= 2;
· средняя кубическая, если m= 3.
Если рассчитать все видысредних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутсянеодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличениемпоказателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина.
Главное требование кформуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчетаимели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должнозаменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связииндивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должнаисчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемогопоказателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговыйсводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этотитоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязис индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета среднейвеличины.
Использованнаялитература
1. Теория статистики: Учебно – методическийкомплекс / Под ред. В.В. Глинского, В.Г. Ионина, Л.И. Яковенко. – Новосибирск:НГУЭУ, 2007. – 108 с.
2. Общая теория статистики: Учебник /А.Я. Боярский, Л.Л. Викторова, А.М. Гольдберг и др.; Под ред. А.М. Гольдберга,В.С. Козлова. – М.: Финансы и статистика,1985. – 367 с.
3. Громыко Л.Г.Общая теориястатистики: Практикум. – М.: ИНФРА – М,1999. – 139 с.
4. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общаятеория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой. – М.:Финансы и статистика, 1996. – 368 с.: ил.
5. Пасхавер И.С. Средние величины встатистике. – М.: Статистика, 1979. – 279 с., ил.
6. Практикум по теории статистики:Учеб. пособие / Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.; Финансы и статистика, 2001. –416 с.: ил.
7. Статистика: учебник / Л.П.Харченко, В.Г. Ионин, В.В. Глинский и др.; под ред. канд. экон. наук, проф.В.Г. Ионина. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 445 с. –(Высшее образование).
8. Харченко Л.П. История статистики.Развитие методологии статистической науки: Учебное пособие. – НГУЭУ, 2005. –144 с.
Расчетнаячасть
Задача 1.
Один рабочий тратит на изготовление детали2 минуты, второй 6 минут.
Определить:
1. Средние затраты времени на изготовление1 детали (минут).
2. Количество деталей, изготовленных запервые 2 часа рабочего дня.
3. Общие трудозатраты и время, необходимоена изготовление первой партии из 100 деталей.
Решение:
1. Средние затраты времени на изготовлениеодной детали (минут) определяем по формуле средней арифметической простой:
/>=/>
2. Количество деталей, изготовленных запервые 2 часа рабочего дня:
а) 60 мин.* 2 часа =120 мин.;
б) Q = />, где Q – количество деталей;
T–общие затраты рабочего времени;
t – уровень трудоемкости.
120 мин./ 2 мин. = 60 деталей;
120 мин. / 6 мин. = 20 деталей;
г) 60 + 20 = 80 деталей.
3. Общие трудозатраты и время, необходимоена изготовление первой партии из 100 деталей:
/>,
Где />-средняя трудоемкость изготовления изделия одного и того же вида несколькимирабочими; ti – трудоемкость изготовления единицы продукцииконкретным рабочим; dTi – доля рабочего в общих затратах рабочего времени.
dT1 = dT2 = 0,5 ч.
t1 = 0,02ч, t2 = 0,06ч.
/>
T=/>*Q
Где Т – трудозатраты; /> — средняя трудоемкостьизготовления изделия одного и того же вида несколькими рабочими; Q– общее количество выработанной продукции.
Т = 0,03*100= 3 ч.
Ответ:
1. Средние затраты времени на изготовление1 детали = 4мин.
2. Количество деталей, изготовленных запервые 2 часа рабочего дня = 80.
3. Общие трудозатраты и время, необходимоена изготовление первой партии из 100 деталей = 3ч.
Задача 2.
По сельскохозяйственному предприятиюимеются следующие данные о валовом сборе зерновых культур:Год Валовой сбор, тонн 1990 162 1991 178 1992 180 1993 183 1994 185 1995 184 1996 187 1997 190 1998 192 1999 196 2000 199
1) Построить уравнение общей тенденциивалового сбора в форме линейного тренда методами:
а) первых разностей (абсолютных цепныхприростов);
б) методом серий;
в) аналитического выравнивания методовнаименьших квадратов.
2) Оценить ожидаемую величину валовогосбора на 2002–2003 годы.
3) Отразить на графике фактический валовойсбор зерновых, его основную тенденцию и ожидаемое значение на ближайшуюперспективу.
Решение:Год Валовый сбор, тонн, y t
t2 ty
/>
Me = A,>Me =B 1990 162 -5 25 -810 - А 1991 178 -4 16 -712 16 А 1992 180 -3 9 -540 2 А 1993 183 -2 4 -366 3 А 1994 185 -1 1 -185 2 В 1995 184 -1 А 1996 187 1 1 187 3 В 1997 190 2 4 380 3 В 1998 192 3 9 576 2 В 1999 196 4 16 784 4 В 2000 199 5 25 995 3 В Итого 2036 - 110 309
а) Абсолютный цепной прирост:
/>
б) Ме = />
R = 4,
/>,
/>.
/>,
t=2, при P= 0,954
6-2*1,58 ≤ R ≤6+2*1,58
2,84 ≤ R≤ 9,16
Число серий R = 4укладывается в пределах случайного поведения, и гипотеза о наличии обшейзакономерности снижения или возрастания во времени не может быть принята(свероятностью ошибки 0,046).
в) />/>
/>,
где y – исходныйуровень ряда динамики,
n – числочленов ряда,
t –показатель времени.
Если />,
то />, />/>,/>.
/>,
/>.
Уравнение примет вид: />.
2) Для 2002 года t =7, для 2003года t =8, следовательно, ожидаемая величина валового сбора зерновыхкультур:
в 2002 году составит 185,09+2,81*7=204,76;
в 2003 году составит 185,09+2,81*8=207,57.
3)
/>
Наблюдается тенденция увеличения валовогосбора зерновых.
Задача 3.
В результате 5% механической выборки вотделении банка получено следующее распределение вкладов по срокам хранения:Группы вкладов по сроку хранения, дней Количество вкладов До 30 98 30 ÷ 60 140 60 ÷ 90 175 90 ÷ 180 105 180 ÷ 360 56 360 и более 26
Определить:
1) средний срок хранения вкладов по даннымвыборки;
2) долю вкладов со сроком хранения более180 дней по данным выборки;
3) с вероятностью 0,954 пределы, в которыхможно ожидать среднюю продолжительность хранения вклада и долю вкладов сосроком хранения более 180 дней в целом по отделению банка;
4) необходимый объем выборки приопределении доли вкладов, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка непревысила 7% (0,07).
Решение:Группы вкладов по сроку хранения, дней
Середина интервала,
x
Количество вкладов,
f
xf
/>
/>
/> До 30 22,5 98 2205 -85,775 7357,35 721020,3 30-60 45 140 6300 -63,275 4003,73 560522,2 60-90 75 175 13125 -33,275 1107,23 19376,25 90-180 135 105 14175 26,725 714,23 74994,15 180-360 270 56 15120 161,725 26154,98 1464678,88 360 и более 540 26 14040 431,275 185998,13 4835951,38 Итого 600 64965 - - 7676543,16
1) Средний срок хранения вкладов (дней):
/>
2) Доля вкладов со сроком храненияболее 180 дней:
/>
Рассчитаем предельнуюошибку для средней продолжительности срока хранения вкладов:
/>
/>
При p = 0,954, t = 2
/>
/>
/>
— пределы, в которыхможно ожидать среднюю продолжительность хранения вклада. Предельная ошибка длядоли вкладов со сроком хранения более 180 дней:
/>
Доля вкладов = 14%, p = 0,954, t= 2
/> или0,14%
/>
- пределы для доливкладов со сроком хранения более 180 дней.
3) объем выборки при определении доливкладов:
/>
При p= 0,683, t = 1
/>
— необходимый объемвыборки при определении доли вкладов
Задача 4.
Имеются данные о спросе на книжнуюпродукцию и структуре оборота книжного издательства в отчетном году:Стратегическая единица Спрос на продукцию, тыс. экз. Доля в общем обороте издательства, % 1.Классика 20 2.Детская литература 100 1,0 3.Зарубежный детектив 60 49,5 4.Российский детектив 120 20,5 5.Женский роман 90 6,8 6.Фантастика 50 7.Приключения 30 1,0 8.Специальная литература 110 14,3 9.Рекламная продукция 60 4,9 10.Прочая литература 80 2,0
Определите уровень согласованности междуспросом на книжную продукцию и структурой оборота издательства с помощьюкоэффициентов корреляции Спирмена, Кендэла, Фехнера.
Решение:Стратегическая единица Ранг
Разность рангов
d= RX-RY
d2 Баллы для расчета коэффициента Кендэлла Знак отклонения от среднего ранга по спросу на продукцию Знак отклонения от среднего ранга по доли в общем обороте
Спрос на продукцию RX
Доля в общем обороте RY
Q
P 1 – классика 1 0,5 0,5 0,25 8 - - 7-приключения 2 1,5 0,5 0,25 6 1 - - 6- фантастика 3 0,5 2,5 6,25 7 - - 3-зар.детектив 4,5 8 -3,5 12,25 6 - + 9-рекл.продук. 4,5 4 0,5 0,25 3 2 - - 10-проч.литер. 6 3 3 9 3 1 + - 5-жен.роман 7 5 2 4 2 1 + - 2-детс.литер. 8 1,5 6,5 42,25 2 + - 8-спец.литер. 9 6 3 9 1 + + 4-рос.детектив 10 7 3 9 + + Итого: - - - 92,5 32 11
Совпадений знаков 6;
Несовпадений 4
1. Корреляция Спирмена:
/>,
где d– разность между рангами взаимосвязанных признаков X и Yотдельных единиц совокупности;
n – число соответствующих пар значений X и Y;
/>;/>,
где tX– числоодинаковых рангов по переменной X;
tY–число соответствующих рангов по переменной Y.
/>
/>
/>
/>
Расчетное значениестатистики Стьюдента сравнивается с табличным при уровне значимости 0,05 ичисле степеней свободы v = n – 2 = 10 – 2 = 8 равно 2,306.
2,306 > 1,906
2. Корреляция Кендэлла:
/>,
где
/>,
Q – число случаев, когда у последующих наблюдений рангпризнака Y больше, чем у данного;
P — число случаев, когда у последующих наблюдений рангпризнака Y меньше, чем у данного;
/>,
/>,
/>,
/>
2. Корреляция Фехнера:
/>,
где /> и /> - число совпадений инесовпадений.
Средний ранг равен 5,5.
/>
Ответ: уровеньсогласованности между спросом на книжную продукцию и структурой оборотаиздательства с помощью коэффициентов корреляции Спирмена, Кендэла, Фехнера –слабая. Если />, где /> — коэффициент корреляции — связь слабая.
Задача 5.
Имеются данные областного комитетагосударственной статистики об изменении цен в текущем году по сравнению спредшествующим годом: Изменение цен, % 1. На платные услуги +62,3 2. На продовольственные товары +22,4 3. На непродовольственные товары +20,1
1.Рассчитайте индекс потребительских цен,учитывая, что в текущем году сформировалась следующая структура потребления(структура потребительской корзины):Платные услуги 41,0% Продовольственные товары 31,8% Непродовольственные товары 27,2%
2.Определите величину перерасхода средствнаселением в текущем году за счет роста цен, если известно, что в предыдущемгоду было реализовано:Платных услуг 5627,7 млн. руб. Продовольственных товаров 4364,9 млн. руб. Непродовольственных товаров 3728,1 млн. руб.
Решение:
Изменение цен,%
ip*100%-100%
Реализация в текущем периоде,
p1q1
ip
/>
Реализация в базисном году,
/>
/> Платные услуги +62,3 41% 1,623 0,253 5627,7млн.руб 9133,76 Продовольственные товары +22,4 31,8% 1,234 0,258 4364,9млн.руб. 5386,29 Непродовольственные товары +20,1 27,2% 1,201 0,226 3728,1млн.руб. 4488,63 итого 100% 0,737 13720,7млн.руб. 19008,68
1) />
/>
/>
/> или133,7%
Цены в текущем годувозросли на 33,7%.
2) /> или 138,5%
Перерасход средствнаселения за счет роста цен составил 38,5%.