Научныередакторы: д.э.н. Радыгин А.Д., д.э.н., проф. Хабарова Л.П., д.ф.-м.н. Шапиро Л.Б.
* * *
1. Два способа расчета процентных выплат (простойпроцент, сложный процент)
Даваяденьги в долг, кредитор упускает возможность использовать их до моментавозврата. Заемщик должен выплатить компенсацию за ожидание кредитора.Компенсация обычно выражается в форме процента.
Процентомназывают доход в денежной форме, выплачиваемый кредитору за пользование егоденьгами. Процент начисляется на основную сумму вклада (займа) по определеннойпроцентной ставке с определенной периодичностью, например ежегодно.
Простой процент
Пример1.
Рассмотримвложение 1000 рублей на счет в банке сроком 3 года при ставке 10% годовых.
Еслипо прошествии каждого года владелец снимает выплачиваемый доход по вкладу 10%,результаты инвестирования будут таковы:Основная сумма вклада Доход за год при ставке 10% годовых На конец года на счете Снято со счета по прошествии года Остаток на счете 1 год 1000 1000 * 0.1 = 100 1100 100 1000 2 год 1000
1000 * 0.1 = 100 1100 100 1000 3 год 1000 1000 * 0.1 = 100 1100 100 1000
За3 года инвестор получил 100 рублей по окончании первого года, 100 рублей поокончании второго года и 100 рублей по окончании третьего года, что совпало сокончанием срока вклада. В результате инвестирования в течение 3 лет получено300 рублей сверх основной суммы вклада 1000 рублей. Всего 1300 рублей.
Такимобразом, простой процент начисляется исходя из ставки процента и исходной суммывне зависимости от накопленного дохода. Такая схема соответствует случаю, когдадоход от вклада периодически выплачивается заемщиком и тут же изымаетсякредитором.
Сложный процент
Пример2.
Рассмотримвложение 1000 рублей на банковский депозит сроком 3 года при ставке 10% годовыхпри условии, что владелец НЕ снимает в конце каждого года полученные в качестведохода 10%, а оставляет их на счете с целью реинвестирования по той жепроцентной ставке (10%).Основная сумма вклада Доход за год при ставке 10% годовых На конец года на счете Снято со счета по прошествии года Остаток на счете 1 год 1000 1000 * 0.1 = 100 1100 1000 + 1000 * 0.1 = 1000 * (1+0.1) = 1100 2 год 1100 1100 * 0.1 = 110 1210
1100 + 1100 * 0.1 =
1100 * (1+0.1) = 1210 3 год 1210 1210 * 0.1 = 121 1331
1210 + 1210 * 0.1 =
1210 * (1+0.1) = 1331
Поокончании трех лет инвестор получит кроме основной суммы вклада в 1000 рублей еще331 рубль. Всего 1331 рубль.
Такимобразом, если сравнивать условия без инвестирования процента (простой процент)и с учетом инвестирования процента (сложный процент), то результатыинвестирования по второй схеме превосходят результаты инвестирования по первойсхеме на 31 рубль. Это произошло по причине реинвестирования процента.
Сложныйпроцент начисляется исходя из ставки процента и суммы, накопленной на счете кначалу очередного периода с учетом накопленного дохода. Такая схемасоответствует случаю, когда доход от вклада периодически выплачиваетсязаемщиком, но не изымается кредитором, а остается у заемщика, увеличивая суммузайма.
Естественно,эта схема подвергает кредитора большему риску, соответственно он получает ибольшее вознаграждение.
Вопросы для самопроверки
Чтотакое процент?
Какаясхема начисления соответствует случаю, когда доход от вклада периодическивыплачивается заемщиком и тут же изымается кредитором?
2. Изменение стоимости денег во времени
Приразмещении свободных средств в разные ценные бумаги инвестор стремится получитьмаксимальную выгоду. Исходя из предположения абсолютной надежности всехспособов инвестирования для того, чтобы оптимальным образом выбрать способинвестирования, необходимо сравнить полученные доходы. Однако доходы могутпоступать в разное время, таким образом, разные способы инвестирования приводятк разным графикам получения денег.
Приведение денежных поступлений к одному и тому жемоменту времени
Естественнымспособом сравнивать денежные поступления в разные сроки является приведение ихк одному и тому же моменту времени.
Какправило, в качестве такого момента выбирают или момент начала инвестиций, илинекоторый фиксированный момент в будущем.
ДИСКОНТИРОВАНИЕИ НАРАЩЕНИЕ
Соответственноприведение денежных потоков к начальному моменту называется дисконтированием, ак моменту в будущем — наращением.
БУДУЩАЯСТОИМОСТЬ
ВПримере 2 общая сумма денежных средств на счете по окончании третьего года(1331) называется будущей стоимостью 1000 рублей,
инвестированныхна 3 года;
поставке 10%, начисляемых ежегодно;
приусловии реинвестирования процента.
ТЕКУЩАЯСТОИМОСТЬ
Изначальнаястоимость инвестиции 1000 рублей называется текущей стоимостью 1331 рубля,
которыебудут выплачены (или получены) через 3 года;
исходяиз ставки 10%, начисляемых ежегодно;
приусловии реинвестирования.
Расчет,как мы помним, производился следующим образом:
1000* (1 + 0.10) * (1 + 0.10) * (1 + 0.10) = 1000 x(1.10)3
Приначислении сложного процента мы находим будущую стоимость путем умножениятекущей стоимости на (1+ ставка процента в периоденачисления в долях единицы) столько раз, сколько начислялся процент.
Теперьмы можем вывести формулу для расчета будущей стоимости денег, инвестированныхна определенный срок под определенный процент с условием реинвестированияпроцента.
Формулаимеет следующий вид:
FV= PV х (1+ r)n, (3)
где
FV— будущая стоимость,
PV— текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент
инвестирования= основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r — ставка процента в периоде начисления в доляхединицы,
n— число периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТНАРАЩЕНИЯ
Выражение(1 + r)n называется коэффициентом наращения.
Расчетбудущей стоимости при использовании формулы сложного процента называетсянаращением.
Расчетбудущей стоимости в Примере 1, как мы помним, производился следующим образом:
1000+ 1000 * 0.1 +1000 * 0.1 + 1000 * 0.1 = 1000 * (1 + 0.1 * 3)
Приначислении простого процента мы находим будущую стоимость путем умножениятекущей стоимости на (1 + ставка процента в периоде начисления в долях единицы,умноженная на количество периодов начисления).
FV= PV х (1+ n *r), (4)
где
FV— будущая стоимость,
PV— текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестирования =основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r— ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n— число периодов начисления.
Вслучае одного периода (n = 1) формулы (3) и (4) совпадают, т. к. в случаеодного временного интервала реинвестирования не происходит и условиязаимствования фактически совпадают.
FV= PV * (1 + r)
Дисконтирование— это расчет, обратный наращению. При дисконтировании мы узнаем, сколько сейчас(в момент расчета) стоит известная в будущем стоимость денег. Этот пересчет кнастоящему моменту позволит сравнивать разные суммы в разные времена.
Такимобразом, при дисконтировании мы находим текущую стоимость путем деленияизвестной будущей стоимости на (1 + ставкапроцента) столько раз, на сколько раз начисляется процент.PV = FV , (5) (1 + r)n
где
FV— будущая стоимость,
PV— текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестирования = основная сумма вклада при первоначальноминвестировании),
r— ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n— число периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТДИСКОНТИРОВАНИЯ
Выражение1 / (1 + r)n называется коэффициентом дисконтирования. Очевидно, он равенвеличине, обратной величине коэффициента наращения.
ВОПРОСЫДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Какназывается расчет, результатом которого является приведение денежных потоков кначальному моменту времени?
Какназывается коэффициент, обратный коэффициенту дисконтирования?
3. Расчет годовых ставок процента
Очевидно,что при одинаковых условиях (одинаковый срок, простой или сложный процент)выгоднее та инвестиция, у которой выше процентная ставка. Однако зачастую срокиинвестиций и периоды выплат по ним не совпадают. В этом случае для того, чтобысравнивать инвестиции, необходимо рассчитывать их процентные ставки,приведенные к одному и тому же временному периоду. Как правило, в качестветакого периода выбирается год.
Пример3.
Сравнить,какой из банковских вкладов выгоднее:
а)вложение 1000 рублей в банк на месяц под 3% в месяц;
б)вложение 500 рублей в банк на 6 месяцев под 12% за полгода.
Можновычислить, каков доход в процентном выражении за месяц во втором случае, исравнить с уже данным показателем в первом случае. Однако традиционно вкачестве такого периода берется один год.
Приэтом говорят, что ставка составляет Х процентов годовых.
Вычислениеставки в годовом исчислении можно производить по формуле простого или сложногопроцента.
Пример4.
Побанковскому вкладу ежеквартально начисляют 2% от первоначальной суммы вклада.Найти годовую ставку процента.
Процентнуюставку в периоде начисления умножают на число периодов в году:
Годоваяставка процента = r * n =2% * 4 квартала = 8% годовых
Пример5.
Вкладв банке дает 1% за 14 дней. Найти годовую ставку процента.Годовая ставка процента = 1% * 365 дней = 26% годовых 14 дней
ГОДОВАЯСТАВКА ПРОЦЕНТА, РАСЧИТАННАЯ ПО ФОРМУЛЕ ПРОСТОГО ПРОЦЕНТА
Вобщем случае годовая процентная ставка без учета реинвестирования вычисляетсяиз формулы (4) простого процента:
FV= PV * (1 + n * r),
Отсюдагодовая ставка процента:r = (FV / PV) — 1 (6) n
ГОДОВАЯПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА
Еслимы используем формулу сложного процента, то на единицу вложений годоваяпроцентная ставка (r годовая) составит (1 + процентная ставка в периоденачисления в долях единицы ( r )), возведенная в степень, равную числу периодовначисления ( n ) минус единица:
rгодовая = (1 + r)n — 1.
Пример6.
Побанковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первоначальной суммывклада. Найти ставку процента (в годовых) с учетом реинвестирования полученногодохода.
rгодовая = (1 + 0.02)4 — 1 = 1.082432 — 1 = 0.0824.
Сравниваярезультат примеров 1 и 3, можно сделать вывод, что при прочих равных условияхинвестирования годовая процентная ставка с учетом реинвестирования выше.
Вобщем случае годовая процентная ставка с учетом реинвестирования вычисляется изформулы (3) сложного процента: FV = PV * (1 + r)n, откуда годовая процентнаяставка
r= (корень степени n из (FV / PV)) – 1 (7)
ПРИВЕДЕНИЕПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК К ОДНОМУ ВРЕМЕННОМУ ПЕРИОДУ
Сучетом необходимости приведения процентных ставок к одному временному периодуих общие формулы расчета видоизменяются в зависимости от того, в каких единицах(днях, месяцах, кварталах) выражен период инвестирования.
Например,если период инвестирования выражен в днях, то число периодов n =365 / X, где X — число дней. По формуле (6)процентная ставка равна:
r= ((FV / PV) – 1) / n = (((FV / PV) – 1) / 365) * X
Поформуле (7) процентная ставка равна:
R= (корень степени (365 / X) из (FV / PV)) – 1
Будучирассчитана на основе одного временного периода (т.е. n =1), формула приобретает совсем простой вид: r = (FV / PV) – 1
ВОПРОСЫДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Каквычисляется годовая процентная ставка с использованием сложного процента?
Каквычисляется годовая процентная ставка с использованием простого процента?
4. Понятие о дисконтировании денежных потоков
Подденежными потоками (для целей настоящей главы) мы понимаем доходы (выплаты),получаемые в разное время инвестором от инвестиций в денежной форме.
Техникадисконтирования, выражающаяся в приведении будущей стоимости инвестиций к ихтекущей стоимости, позволяет сравнивать различные виды инвестиций, сделанные вразное время на разных условиях.
Длятого чтобы привести будущую стоимость инвестиции к ее текущей стоимости,необходимо умножить на коэффициент дисконтирования (дисконтировать) вседенежные доходы, связанные с инвестицией, и суммировать полученные величины.
Коэффициентдисконтирования (1 + r)-n определяется с учетом доходности по альтернативномувложению.
Пример7.
Необходимопринять решение о том, имеет ли смысл покупать облигацию номиналом 10 000 руб.по цене 9 500 руб. с выплатой ежегодного купонного 8-процентного дохода исроком погашения через 3 года, если ставка процента в банке по вкладу сроком на3 года составляет 10% годовых. Будущая стоимость выплат Дисконтирование по ставке доходности альтернативного вложения (10%) Настоящая стоимость денежных выплат Год 1 Купонный доход 800 руб. 800 / 1.10 727 руб. Год 2 Купонный доход 800 руб. 800 / 1.102 661 руб. Год З Купонный доход 800 руб. 800 / 1.103 601 руб. Год З Погашение облигаций по номиналу 10 000 руб. 10 000 / 1.103 7 513 руб.
Итого текущая стоимость 9 502 руб.
Извычислений, приведенных выше, видно, что при данных условиях приобретениеоблигации выгоднее, чем вложение денег в банк, так как ее текущая стоимостьвыше, чем рыночная цена облигации (9 500 руб.)
ВОПРОСЫДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Чтотакое денежные потоки?
Длячего используется дисконтирование денежных потоков?
5. Внутренняя ставка доходности
Иногдатребуется решить обратную задачу: при какой процентной ставке по данномувложению текущая стоимость вложения будет равна ее рыночной стоимости? Дляответа на этот вопрос нужно решить уравнение относительно r. Такое значение rназывается внутренней (ибо не зависит от внешних условий) ставкой доходности.Считается, что инвестиция тем выгоднее, чем выше ее внутренняя ставкадоходности.
Пример8.
Облигациясроком 1 год погашается по номиналу, выплачивается ежегодный купонный доход 8%номинала. Рыночная цена облигации — 98.18 номинала. Найти внутреннюю ставкудоходности.
Пустьноминал — 100, тогда:
PV= (С / (1 + r)) + (FV / (1 + r)),
С= 100 * 0,08 = 8,
FV= 100,
PV= 98.18,
ar предстоит найти. Подставляя полученные значения в формулу, получаем:
98.18= (8 / (1 + r)) + (100 / (1 + r)) = 108 / (1 + r)
Отсюда:1 + r = 108 / 98.18 = 1.10
инаконец, внутренняя ставка доходности равна:
r- 0,1 = 10%.
Пример9.
Найтивнутреннюю ставку доходности для вложения 9 500 руб. на банковский вклад срокомна 3 года с выплатой 10% годовых без реинвестирования процентного дохода.
PV= (С1 / (1 + r)) + (C2 / (1 + r)2) + (C3 / (1 + r)3) + (FV / (1 + r)3),
где
PV= FV = 9500
C1= C2 = C3 = 950
Получаемуравнение:
9500= 950 * [ (1 / (1 + r)) + (1 / (1 + r)2) + (1 / (1 + r)3) ] + 9500 / (1 + r)3
Решаяего относительно r, получим: r ~ 0,1 или 10%
Еслимы найдем внутреннюю ставку доходности для облигации по условиям Примера 7, то,решив уравнение
9500= (800 / (1 + r)) + (800 / (1 + r)2) + (800 / (1 + r)3) ] + 10000 / (1 + r)3
относительноr получим r = 0.10011. Мы можем убедиться, что внутренняя норма прибыли длявложений в облигацию чуть выше, значит, они выгоднее, что соответствуетвыводам, сделанным ранее.
ВОПРОСЫДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Чтотакое внутренняя ставка доходности?
Есливнутренняя ставка доходности облигации составляет 12%, а процент по банковскомувкладу — 10%, какая из двух указанных инвестиций, на ваш взгляд, выгоднее?
6. Аннуитеты
Аннуитет(иначе — рента) — регулярные ежегодно поступающие платежи.
Дисконтированиеаннуитета используется для оценки сегодняшней текущей стоимости инвестиции,доход на которую будет одинаковым в течение долгого времени и долженвыплачиваться с определенной (годовой) периодичностью.
Пример10.Год Платежи 1 30 000 руб. 2 30 000 руб. 3 30 000 руб.
Вэтом случае у нас имеется аннуитет 30 000 руб. в год в течение трех лет.
Применяяк таким выплатам обычную технику дисконтирования, потоков платежей припроцентной ставке, равной 10%, получаем (предполагается, что выплаты происходятв конце каждого года):Год Платежи Коэффициент дисконтирования Настоящая стоимость 1 30 000 руб.
1 / (1 + 0.1) = 0.9091 27 273 руб. 2 30 000 руб.
1 / (1 + 0.1)2 = 0.8264 24 792 руб. 3 30 000 руб.
1 / (1 + 0.1)3 = 0.7513 22 539 руб. Текущая стоимость 74 604 руб.
Текущаястоимость потока платежей 74 604 руб.
Извычислений видно, что мы каждый раз умножали коэффициент дисконтирования наодну и ту же величину — 30000.
Получим:30000 * [ (1 / (1 + r)) + (1 / (1 + r)2) + (1 / (1 + r)3)] =
=30000 * (0.9091 + 0.8264 + 0.7531) = 30000 * 2.4868
Тоесть:Год Платежи Коэффициент дисконтирования Текущая стоимость 1 – 3 30000 в год 2.4868 74.604
гдевеличина 2,4868 является коэффициентом дисконтирования аннуитета Ar.
Дляэкономии времени коэффициент дисконтирования аннуитета Ar может быть вычисленпо формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем 1 / (1 + r):Ar = 1 * 1 – (1 + r)-n = 1 – (1 + r)-n , 1 + r 1 – (1 + r)-1 r
где
r— процентная ставка за период (см. условия примера),
n— число периодов.
Используяэту формулу, можно рассчитать 3-летний коэффициент аннуитета при процентнойставке 10%:Ar = 1 – 1.1 3 = 1 – 0.7513 = 0.2487 = 2.487 0.1 0.1 0.1
ВОПРОСЫДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Чтотакое рента (аннуитет)?
Длячего используется дисконтирование аннуитета?
Какимобразом при вычислении коэффициента дисконтирования аннуитета можноиспользовать формулу суммы геометрической прогрессии?
7. Расчет текущей стоимости для потоков платежей,начинающихся в момент времени, на который рассчитывается текущая стоимостьинвестиции
Вобычных случаях мы полагали, что первая выплата отстоит от времени, на котороерассчитывается текущая стоимость, на 1 временной период, например, произойдетчерез год или месяц. Возможны, однако, ситуации, когда первый платеж приходит втот момент, на который рассчитывается текущая стоимость инвестиций.
Пример11.
Облигация,приобретенная за 1000 рублей, приносит купонный доход 8% ежегодно, перваякупонная выплата производится в момент сразу после приобретения. Срок допогашения 3 года. Найти текущую стоимость на момент приобретения облигации.Год Платежи Коэффициент дисконтирования Текущая стоимость 80 руб. 1 80 руб. 1 80 руб. 1 / 1.08 74.07 руб. 2 1080 руб. 1 / 1.082 925.93 руб. Общая текущая стоимость 1080 руб.
Общаяформула для расчета текущей стоимости денежных потоков при условии полученияпервого платежа в момент, на который рассчитывается настоящая стоимость,принимает вид:PV = C1 + C2 + C3 … Cn + FV + C0 , 1 + r (1 + r)2 (1 + r)3 (1 + r)n (1 + r)n
гдеC0 — первый платеж, не дисконтированный, поскольку он получен в моментвремени, на который рассчитывается текущая стоимость. Его будущая стоимостьравна текущей стоимости.
Математическоеобъяснение таково: для платежей, приходящих во время 0:
1/ (1 + r)0 = 1 / 1 = 1
т.е. коэффициент дисконтирования равен 1.
ВОПРОСЫДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Чтовыражает процентная ставка, используемая при расчете текущей стоимостианнуитета?
Чемуравен коэффициент дисконтирования для платежа, полученного в момент расчетатекущей стоимости аннуитета?
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта fintraining.ru