Задача 1
По промышленным предприятиям города имеются следующие данныеза отчётный год:№ предприятия Объем продукции, млн. руб. Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб. Средне-списочное число работников, чел.
Прибыль,
млн. руб. 1 197,7 10,0 900 13,5 2 592,0 22,8 1500 136,2 3 465,5 18,4 1412 97,6 4 296,2 12,6 1200 44,4 5 584,1 22,0 1485 146,0 6 480,0 19,0 1420 110,4 7 578,5 21,6 1390 138,7 8 204,7 9,4 817 30,6 9 466,8 19,4 1375 111,8 10 292,2 13,6 1200 49,6 11 423,1 17,6 1365 105,8 12 192,6 8,8 850 30,7 13 360,5 14,0 1290 64,8 14 208,3 10,2 900 33,3
Требуется выполнить группировку предприятий по численностиработников, приняв следующие интервалы:
1. не более 900 чел.
2. от 900 до 1400чел.
3. более 1400 чел.
По каждой группе и в целом по всем предприятиям определить:число предприятий, объем продукции, среднесписочное число работников,среднегодовую стоимость основных средств, а также среднюю выработку продукциина одного работника.
Для удобства вычислений заполняем сначала вспомогательнуютаблицу:
Группы предприятий по численности работников, чел. Объем продукции, млн. руб. Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб. Средне-списочное число работников, чел.
Прибыль,
млн. руб. не более 900 204,7; 192,6 9,4; 8,8 817; 850 30,6; 30,7 от 900 до 1400 197,7; 296,2; 578,5; 466,8; 292,2; 423,1; 360,5; 208,3 10,0; 12,6; 21,6; 19,4; 13,6; 17,6; 14,0; 10,2 900; 1200; 1390; 1375; 1200; 1365; 1290; 900 13,5; 44,4; 138,7; 111,8; 49,6; 105,8; 64,8; 33,3 более 1400 592,0; 465,5; 584,1; 480,0 22,8; 18,4; 22,0; 19,0 1500; 1412; 1485; 1420 136,2; 97,6; 146,0; 110,4
Результаты группировки приведены в виде статистическойтаблицы:Группы предприятий по численности работников, чел. Число предприятий Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб. Средне-списочное число работников, чел. Объем продукции Всего млн. руб. В среднем на одного работника, тыс. руб. не более 900 2 18,2 1667 397,3 238,33 от 900 до 1400 8 119 9620 2823,3 293,48 более 1400 4 82,2 5817 2121,6 364,72 Итого по всем группам 14 219,4 17104 5342,2 312,33
По результатам группировки, приведенной в аналитическойтаблице, можно сделать следующие выводы:
По объему продукции предприятия разделены на мелкие, средниеи крупные. Доля мелких предприятий значительно ниже, чем доля средних икрупных.
Значение объема продукции в среднем на одного работникавозрастает от мелких предприятий к крупным (I гр. – 238,33 тыс. руб., II гр. – 293,48 тыс. руб., III гр. – 364,72 тыс. руб.).
Эти данные свидетельствуют о наибольшей эффективностипредприятий третьей группы.
Задача 2
По каждому из трёх предприятий фирмы (i – порядковый номер предприятия)имеются соответствующие данные о фактическом объеме реализованной в 2000г.продукции (y0, млн. руб.), о плановом задании поросту реализованной продукции на 2001г. (, %), а также о фактическом объемереализованной в 2001г. продукции (y1, млн. руб.). Статистические данные приведены в таблице (2.8.):i
y0i
i %
y1i 1 33,0 104,0 35,6 2 51,5 106,0 55,7 3 63,0 102,5 66,0
Требуется определить в целом по фирме:
1. Размер плановогозадания по росту объема реализованной продукции в 2001г.
2. Процентвыполнения плана по объему реализованной продукции в 2001г.
3. Показательдинамики реализованной продукции.
При решении задачи используются следующие понятия:
Относительный показатель динамики (ОПД) характеризуетизменение явления во времени
/> или в процентах />
где у0– базовый уровень исследуемого явления. Внашей задаче это объем реализованной продукции в 2000г; уi (i= 0,1,2,3,…) – уровень яавления за одинаковыепоследовательные периоды времени (например, выпуск продукции по годам). ОПД иначеназываются темпами роста. Они могут быть базовыми /> или цепными />
Относительный показатель плана (ОПП) – отношение величиныпоказателя по плану (упл) к его фактической величине в базисном (илипредшествующем) периоде
/>
Относительный показатель выполнения плана (ОПВП) – отношениефактической (отчетной) величины показателя у1 к запланированной натот же период времени его величине (упл)
/> ОПД, ОПП И ОПВП связаны соотношением /> или ОПП*ОПВП=ОПД
Решение:
1. Найдем размер планового задания в целом по фирме по ростуобъема реализованной продукции в 2001г., т.е. ОППф – относительный показательплана фирмы.
Для этого найдем сначала плановое задание на 2001г. Покаждому предприятию (упл i) и в целом по фирме (упл ф)
/>
Достигнутый в базисном периоде (2000г.) уровень в целом пофирме (у0ф) составляет
/>
Теперь можно найти относительный показатель плана в целом пофирме на 2001г.
/> или в процентах />104,06%
2. Найдем процент выполнения плана по объему реализованнойпродукции в 2001г. В целом по фирме (ОПВПф). Для этого найдем фактическийуровень, достигнутый в 2001г. (у1ф)
/>, тогда
/>или />102,48%
т.е. план перевыполнен на 2,48%
3. Найдем относительный показатель динамики реализованнойпродукции в целом по фирме (ОПДф)
/> или />106,64%,
т.е. фактический рост составил />6,64%
Проверка: />
Задача 3
По каждой из трёх основных рабочих профессий цеха (i – порядковый номер профессии:1-токари, 2-фрезеровщики, 3-слесари) имеются соответствующие данные о числерабочих профессии (ni,чел.), о средней заработной плате /> а такжео внутригрупповой дисперсии заработной платы.
Статистические данные за месяц приведены в таблице(3.8.):i
ni
_xi
1 50 2550 2500 2 25 2700 3025 3 40 2400 900
Требуется:
1. Определить общуюдисперсию заработной платы рабочих цеха
2. Оценитьоднородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы
3. Определить, насколько процентов дисперсии в размере заработной платы обусловлена различиями впрофессии рабочих и влиянием других причин.
Предварительные сведения.
Для характеристики величины вариации (колеблемости) признакастатистической совокупности используются абсолютные и относительные показатели.В качестве абсолютных показателей чаще всего рассматривают дисперсию />и среднеквадратическоеотклонение />(СКО)
/>
где хi– наблюденные значения признака (варианты), n – общее число вариант (объем выработки). Суммирование в этойформуле производится по всем вариантам; />-среднее значение признака, /> -среднее значение квадрата признака
/>
Изучая только общую дисперсию интересующего исследователяпризнака, нельзя оценить влияние отдельных факторов, как качественных, так иколичественных, на величину признака. Это можно сделать при помощи методагруппировки, когда варианты хi подразделяются на непересекающиеся группы по признаку –фактору. При этом, кроме общей средней/> по всей выборке, рассматриваютсясредние по отдельным группам />иследующие показатели дисперсии:
1. Общая дисперсия /> />
2. Межгрупповаядисперсия />
3. Внутригрупповыедисперсии />
4. Средняявнутригрупповая дисперсия />
Кратко характеризуем эти дисперсии
1. Общая дисперсия /> учитывает влияниевсех факторов, от которых зависит величина изучаемого признака Х
/>
где /> - общая средняяпо всей выборке.
2. Межгрупповаядисперсия />(дисперсиягрупповых средних) отражает систематическую вариацию, т.е. те различия ввеличине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора,положенного в основу группировки.
Эта дисперсия определяется по формуле:
/>
здесь />–внутригрупповые средние, ni – число вариант в i – ойгруппе, k – число групп, суммированиепроизводится по различным группам.
3. Внутригрупповыедисперсии
/>
отражает рассеяние значений xj признака, относящихся к одномууровню группировочного фактора, поэтому она определяется не этим фактором, адругими причинами.
4. Средняявнутригрупповая дисперсия />,а так же как и />,характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенныхфакторов, и не зависит от условия, положенного в основу группировки. Этадисперсия определяется по формуле:
/>
Можно доказать, что имеет место правило сложения дисперсий
/>
Отношение /> показывает,какую долю общей дисперсии составляет дисперсия, возникающая под влияниемгруппировочного фактора, т.е. позволяет оценить влияние этого фактора навеличину изучаемого признака Х. При сравнение колеблемости различных признаковв одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и тогопризнака в разных совокупностях используются относительные показатели вариации.Наиболее распространенным среди относительных показателей вариации являетсякоэффициент вариации
/>
Его применяют также и для характеристики однородностисовокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации непревышает 33% (для распределений, близких к нормальному).
Решение:
1. Найдем среднюю из внутригрупповых дисперсий
/>/> (руб2)
Определим среднюю зарплат по цеху для основных рабочихпрофессий (общую среднюю)
/>/> (руб)
Находим межгрупповую дисперсию
/>
Используя правило сложения дисперсий, найдем общую дисперсиюзаработной платы:
/> (руб2)
2. Оценим однородность совокупности рабочих цеха по уровнюмесячной заработной платы с помощью коэффициента вариации
/>%
Так как V
3. Общая дисперсия заработной платы рабочих цеха обусловленаразличиями в профессии на
/>
Эта же дисперсия обусловлена влиянием других причин на
/>
Задача 4
По 14-ти предприятиям городского хозяйства (i – порядковый номер предприятия) имеютсясоответствующие данные об объеме продукции (услуг) за месяц (у млн. руб.) иуровне механизации труда (х, %). Статистические данные приведены в таблице(4.8.):i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
yi 64 89 90 109 108 88 97 89 76 89 90 100 104 98
xi 69 84 89 99 97 94 98 94 63 92 63 98 99 95
Для выявления наличия корреляционной связи между объемомпродукции и уровнем механизации труда требуется:
Таблица 1 Аналитическая таблица для построения графика линиисвязи между объемом продукции и механизации трудаi
xi
уi 9 63 76 11 63 90 1 69 64 2 84 89 3 89 90 10 92 89 6 94 88 8 94 89 14 95 98 5 97 108 7 98 97 12 98 100 4 99 109 13 99 104
1. Построитьаналитическую таблицу и дать графическое изображение линии связи
2. Измерить теснотусвязи между признаками с помощью коэффициента корреляции рангов; проверить егодостоверность.
Решение:
1. Для обеспечения наглядности при построении графическогоизображения линии связи между объемом продукции и механизации труда необходимопостроить аналитическую таблицу данных, в которой изучаемые предприятиярасположить в порядке возрастания признака х – уровня механизации труда, %(Таблица 1).
Изобразим связь между признаками графически, расположив пооси х значения уровня механизации труда, а по оси у – сведения об объемевыпущенной продукции по изучаемым предприятиям.
/>
2. Для того, чтобы вычислить коэффициентранговой корреляции, нужно сначала провести ранжировку объектов и получить двесогласованные последовательности рангов. Для определения ранга значений каждогопризнака построим два ранжированных ряда изучаемой совокупности по каждому изпризнаков отдельно в порядке их возрастания (Таблицы 2 и 3).
Для повторяющихся индивидуальных значений признака рангопределяется как средняя арифметическая соответствующих номеров. Например,значения признака х по предприятиям №9 и №11 одинаково (= 63) и в ранжированномряду занимают №№п.п. №1 и №2. Расчет ранга для этих двух значений: (1+2)/2 =1,5.
Таблица 2 Ранжированный ряд совокупности по признаку хi
xi № п.п.
nx 9 63 1 1,5 11 63 2 1,5 1 69 3 3 2 84 4 4 3 89 5 5 10 92 6 6 6 94 7 7,5 8 94 8 7,5 14 95 9 9 5 97 10 10 7 98 11 11,5 12 98 12 11,5 4 99 13 13,5 13 99 14 13,5
Таблица 3 Ранжированный ряд совокупности по признаку уi
уi № п.п.
nу 1 64 1 1,0 9 76 2 2,0 6 88 3 3,0 2 89 4 5 8 89 5 5 10 89 6 5 3 90 7 7,5 11 90 8 7,5 7 97 9 9,0 14 98 10 10,0 12 100 11 11,0 13 104 12 12,0 5 108 13 13,0
Для расчета коэффициента корреляции рангов Спирменанеобходимо сопоставить порядковые номера (ранги) в порядке возрастания признакаx (/>) и признака y (/>), затем найти сумму квадратов разностей рангов идалее по формуле:
/>,
где /> для каждой парыпризнаков, произвести вычисление коэффициента.
Необходимые расчеты осуществим во вспомогательной таблице 4.
Таблица 4 Вспомогательная таблицаi
xi
уi
nx
ny d d2 1 69 64 3 1,0 2,0 4 2 84 89 4 5,0 -1,0 1 3 89 90 5 7,5 -2,5 6,25 4 99 109 13,5 14,0 -0,5 0,25 5 97 108 10 13,0 -3,0 9 6 94 88 7,5 3,0 4,5 20,25 7 98 97 11,5 9,0 2,5 6,25 8 94 89 7,5 5,0 2,5 6,25 9 63 76 1,5 2,0 -0,5 0,25 10 92 89 6 5,0 1,0 1 11 63 90 1,5 7,5 -6,0 36 12 98 100 11,5 11,0 0,5 0,25 13 99 104 13,5 12,0 1,5 2,25 14 95 98 9 10,0 -1,0 1 Сумма 94
/>=1 – ((6*94)/(14*(142-1))) = 1 – (564/2730)= 0,7934
Поскольку значение r=0,7934, можно говорить о высокой степени связи между объемом продукции иуровнем механизации труда, а знак (+) говорит о прямой направленности этойсвязи.
Чтобы оценить достоверность полученного коэффициентакорреляции рангов, воспользуемся таблицей критических значений коэффициентовкорреляции рангов Спирмена (таблица 5).
Таблица 5 Критические значения коэффициентов корреляции ранговСпирменаn p 0.05 0.025 0.01 0.005 5 0.9 6 0.829 0.886 0.943 7 0.714 0.786 0.893 8 0.643 0.738 0.833 0.881 9 0.6 0.683 0.783 0.833 10 0.564 0.648 0.745 0.794 11 0.523 0.623 0.736 0.818 12 0.497 0.591 0.703 0.78 13 0.475 0.566 0.673 0.745
14
0.457 0.545 0.646 0.716 15 0.441 0.525 0.623 0.689 16 0.425 0.507 0.601 0.666 17 0.412 0.49 0.582 0.645 18 0.399 0.476 0.564 0.625 19 0.388 0.462 0.549 0.608 20 0.377 0.45 0.534 0.591 21 0.368 0.438 0.521 0.576 22 0.359 0.428 0.508 0.562 23 0.351 0.418 0.496 0.549 24 0.343 0.409 0.485 0.537 25 0.336 0.4 0.475 0.526 26 0.329 0.392 0.465 0.515 27 0.323 0.385 0.456 0.505 28 0.317 0.377 0.448 0.496 29 0.311 0.37 0.44 0.487 30 0.305 0.364 0.432 0.478
Для n=14критическое значение 0,457 при уровне значимости 0,05. Поскольку полученноезначение выше табличного, можно говорить о достоверности результата. Инымисловами, корреляция статистически значима.
Задача 5
Динамика удельного расхода условного топлива на производствотеплоэнергии (yt, кг/Гкал) на ТЭЦ по городампредставлена в таблице(5.8.):t 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
yt 165,6 163,8 165,4 166,0 165,5 165,2 164,5 164,5 164,4
Требуется:
1. Произвестисглаживание ряда методом трёхлетней скользящей средней
2. Выровнять ряд попрямой
3. Методомэкстраполяции определить прогноз экономического показателя yt на 2003 и 2003 гг.
4. Начертить графикипервичного и выровненного рядов.
Решение:
Временным рядом называется последовательность значений(уровней) некоторого экономического показателя yt, расположенных в порядке возрастаниявремени. Уровни ряда должны отражать значения экономического показателя заодинаковые или через одинаковые промежутки времени.
Одной из важнейших задач исследования временного рядаявляется задача выявления основной тенденции развития (тренда) изучаемогопроцесса.
Решение этой задачи необходимо для прогнозирования. При этомисходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может бытьраспространена (экстраполирована) на будущий период.
Наиболее простыми и часто применяемыми способами выявленияосновной тенденции развития являются сглаживание временного ряда методомскользящей средней или выравнивание по прямой методом наименьших квадратов.
Тренд – основная тенденция развития ряда, обусловливающаяувеличение или снижение его уровней.
Однимиз способов проверки ряда динамики на наличие в нем тренда является графическийметод, когда на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат –уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можновыявить тренд визуально.Непосредственное выделение тренда можно осуществлять несколькимиспособами.
Однимиз них является метод скользящей средней, когда уровни ряда заменяются среднимивеличинами, получаемыми из данного уровня и нескольких симметрично егоокружающих уровней. Такие средние называются интервалом сглаживания. Он можетбыть нечетным (3, 5, 7 и т.д. уровней) или четным (2, 4, 6 и т.д. уровней).Чаще применяется нечетный интервал, потому что сглаживание идет проще.
1. Сглаживание ряда методом трехлетней скользящей среднейпроизводится по формулам
/>
/>и т.д.
Результаты приведены в таблице 1.
Таблица 1Сглаживание ряда динамики методом трехлетнейскользящей средней
/>t 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
yt 165,6 163,8 165,4 166 165,5 165,2 164,5 164,5 164,4
/> 164,9 165,1 165,6 165,6 165,1 164,7 164,5
2. Аналитическое выравнивание ряда по прямой производится снахождением параметров уравнения тренда. Уравнение /> решаетсяс помощью метода наименьших квадратов.
/>
где n –количество уровней (годов) в динамическом ряду,
t – порядковый номер уровня (года).
Произведем необходимые расчеты в таблице 2.
Таблица 2 Вспомогательная таблицаГоды 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Сумма
yt 165,6 163,8 165,4 166 165,5 165,2 164,5 164,5 164,4 1484,9 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45
t2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 285
yt*t 165,6 327,6 496,2 664 827,5 991,2 1151,5 1316 1479,6 7419,2
9a+45b=1484,9
45a+285b=7419,2
Решаем систему уравнений, разделив первое уравнение на 9, авторое – на 45.
а+5b=164,99
a+6,33b=164,87
Вычитаем из второго уравнения первое 1,33b=-0,12 или b=-0,09023
Находим значение параметра а, подставив найденное значениепараметра b в одно из уравнений
а+5*(-0,09023)=164,99
а-0,45113=164,99
а=164,4411
Отсюда />
Используя это уравнение, подсчитаем выровненные значения рядадинамики за 1993-2001 гг. и занесем их в таблицу 3:
y1 = 164,4411-0,09023*1 = 164,35
y2 = 164,4411-0,09023*2 = 164,26
y3 = 164,4411-0,09023*3 = 164,17 и т.д.
Таблица 3 Выравнивание ряда динамики по прямойГоды 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
yt факт 165,6 163,8 165,4 166 165,5 165,2 164,5 164,5 164,4
yt выровн 164,35 164,26 164,17 164,08 163,99 163,90 163,81 163,72 163,63
3. Сущность методов прогнозной экстраполяции заключается визучении динамики изменения экономического явления в предпрогнозном периоде иперенесения найденной закономерности на некоторый период будущего. Обязательнымусловием применения экстраполяционного подхода в прогнозировании следуетсчитать познание и объективное понимание природы исследуемого процесса, а такженаличие устойчивых тенденций в механизме развития.
Используя уравнение />, рассчитаем прогнозные показатели удельного расходаусловного топлива на производство теплоэнергии (yt, кг/Гкал) на ТЭЦ на 2002 и 2003годы.
Для этого 2002 году присвоим значение t=10, а 2003 году – 11.
у10 = 164,4411-0,09023*10 = 166,53
у11 = 164,4411-0,09023*11 = 166,44
4. График первичного (фактического) и выровненных рядовизображен на рисунке 1.
Рисунок 1.
/>