Модель Ринкової рівноваги
1. Існуваннята стійкість рівноваги
Структура моделірівноваги така: фірми й споживачі, діючи в егоїстичних інтересах, складаютьіндивідуальні плани виробництва та споживання продукції. Даний процесописується моделями поведінки. Характер цих рішень залежить від технологіївиробництва, системи переваг і системи цін. Якщо технологія виробництва йсистема переваг фіксовані, то суттєвою є тільки система цін.
Припустимо відомасистема цін. Може виявитися, що при даній системі цін рішення споживачів і фірмнесумісні: наприклад, споживачі вирішують спожити більше, ніж виробляютьвиробники при даній системі цін, або навпаки, споживачі вирішують спожитипродукції менше, ніж можуть виробити виробники. Це означає, що попит (планспоживачів) не відповідає пропозиції (плану фірми).
Перше запитання,на яке необхідно відповісти – питання існування рівноваги. Чи знайдетьсявзагалі для даної системи переваг і даної технології виробництва така системацін, при якій відповідні рішення споживачів і фірм будуть сумісними?
Розглянемоекономіку, що складається з /> споживачіві /> фірм, які виготовляють /> товарів. Плани кожного загентів економіки описуються />-вимірниминаборами чисел. Якщо />, /> – план споживача />, то /> – кількість />-го продукту, який вирішивужити споживач />. Якщо />, /> – план виробництва фірми />, то /> – кількість />-го продукту, який вирішилавиробити фірма />. Якщо фірма /> не виготовляє, а лишеспоживає продукт /> або виготовляєйого в меншій кількості, ніж споживає, то компонента />.
Нехай споживачіта фірми однозначно визначають свої плани за будь-якими цінами />, при цьому існує функціяпопиту />, /> і функція пропозиції
/>, />.
Надлишковимпопитом на товар />-го видуназивається різниця між попитом і пропозицією, тобто
/>. (1)
Надлишкові попитина всі /> продуктів утворюєвектор-стовпець
/>
Функція /> характеризується такимивластивостями:
1) /> для будь-якого />, />, тобто /> є однорідною функцієюнульового ступеня; це можливо, якщо при пропорційній зміні всіх цін попит тапропозиція не змінюються;
2) функція /> задовольняє законуВальраса /> для кожного
/>;
дана властивістьвипливає з умови, що весь доход витрачається на покупку, тобто сумарний доходдорівнює сумарній витраті;
3) функція /> безперервна при кожному />.
Система цін /> називається рівноважною,якщо />, тобто
/>, />
Таке визначеннярівноваги допускає можливість від’ємного надлишкового попиту, тобто можливість надлишкової пропозиції. Якщо/> – система цін рівноваги,то надлишкова пропозиція можлива лише при нульовій ціні, тобто якщо для деякого/> функція />, то />. Дійсно, якщо /> і />, тоді всі доданки суми /> недодатні. Якщо />, то один доданок цієїсуми, а саме />, строго від’ємний. Виходить, від’ємна і вся сума, тобто />, що суперечить законуВальраса (властивість 2).
Сформулюємотеорему. Якщо функція /> задовольняєумовам 1–3, то система рівноважних цін /> існує.
Друга проблемаполягає в досягненні стану рівноваги за умови, що він існує (стійкістьрівноваги).
Класичним методомрозв’язання проблеми стійкості єпроцес «намацування», що являє собою ітеративний розв’язок, отриманий в результаті використаннязакону попиту та пропозиції для певного ринку. Для кожного ринку пропонуєтьсяаукціонер, який не є а ні продавцем, а ні покупцем. Аукціонер реагує нанерівновагу на ринку через упорядкування цін. Правила встановленнявпорядкованих цін такі: ціни піднімаються, якщо загальний ринковий попитперевищує загальну ринкову пропозицію; ціни знижуються, якщо загальногоринкового попиту не вистачає для покриття загальної ринкової пропозиції; цінизалишаються незмінними, якщо загальний ринковий попит дорівнює загальнійринковій пропозиції.
У термінахфункцій надлишкового попиту процес «намацування» має підвищити(понизити, залишити незмінним) ціни, якщо надлишковий попит позитивний(негативний, дорівнює нулю), тобто
/> (2)
Даний метод негарантує в широкому розумінні досягнення стійкої рівноваги, наприклад, під часпроцесу «намацування» система цін може нескінченно довго коливатисябіля точки рівноваги. Більш досконалі методи розв’язання проблеми стійкостірозглядають системи «намацування», в яких траєкторії цін задаютьсяформулою
/>,
де />, />, />, тобто швидкість змінивсіх цін у часі – зростаюча функція надлишкового попиту на ті товари, обсягяких збігається до нуля, якщо дорівнює нулю надлишковий попит.
Рівновагуназивають локально стійкою, якщо вона в остаточному підсумку досягається,починаючи з деякого набору цін, досить близького до точки рівноваги.
Нехай /> – вектор цін у момент часу/>, тоді рівновага в точці /> є локально стійкою, якщо /> при заданих />, />, де /> – початковий момент часу,а /> – евклідова норма впросторі цін />.
Рівноваганазивається глобально стійкою, якщо вона в остаточному підсумку досягаєтьсянезалежно від початкової точки, тобто /> для всіх />.
Глобальнастійкість припускає локальну. Зворотне невірно.
Аналіз локальноїстійкості рівноваги ґрунтується на апроксимації швидкості зміни цін
/>
біля рівноваги.Рівноважною точкою /> є набір цін, щоне змінюється в часі
/> (3)
в точці />, а для процесу «намацування»рівновага вимагає нульового надлишкового попиту для кожного товару
/>, />. (4)
Нехайрозглядається лінійний процес «намацування»
/>
із точкоюрівноваги в />. Розкладемо /> в ряд Тейлора в околіточки />
/>, (5)
де /> – матриця Якобі
/>,
оцінена в точцірівноваги. Через те, що /> – точкарівноваги, /> й, визначивши векторрізниці між реальними та рівноважними цінами як />,(2.41) матиме вигляд
/> (6)
Системадиференціальних рівнянь (6) стійка, тобто />,тоді й тільки тоді, коли всі характеристичні корені матриці Якобі маютьневід’ємні дійсні числа. Дана умова виконується, якщо всі товари є замінними,тобто збільшення ціни на будь-який продукт при незмінних інших цінах приводитьдо збільшення надлишкового попиту на будь-який інший продукт /> для всіх />, />. Отже, точка рівноваги єлокально стійкою, якщо всі продукти є замінними.
2 Ітеративнийпроцес знаходження рівноважних цін
Розглянемоітеративний процес по Вальрасу, що імітує дію ринкового механізму звстановлення рівноважних цін на ринку.
За господарськісуб'єкти, що беруть участь у процесі функціонування ринку, виберемо дві фірми,кожна з яких, володіє єдиним доступним їм обом фактором, виробляє по одномувиду продукції кінцевого попиту, і одного споживача, що пропонує цей попит.Умовимося, що обмін здійснюється через єдиного посередника – аукціонника. Уцьому випадку економічний цикл виглядатиме так, як показано на рис. 1.
/>
Рисунок 1.
Проблемаоптимального розподілу ресурсів для такої економіки формулюється таким чином.
Умови попиту(D-Demand) і пропозиції (S-Supply) продукції:
/>.
Умови попиту тапропозиції ресурсів: />.
Функціякорисності, що максимізується споживачем:
/>.
Тут
/> – обсяг пропозиції />-го продукту />-им підприємством;
/> – обсяг попиту з бокуспоживача на />-й продукт;
/> – пропозиція ресурсу;
/> – обсяг попиту на ресурс збоку />-го підприємства;
/> – виробнича функція />-го підприємства;
/> – функція корисностіспоживача.
Ітеративнийпроцес знаходження рівноважних цін складається з таких п’яти кроків на кожній ітерації.
1. Аукціонникуказує />-й фірмі ціну на їїпродукцію /> і ціну фактора />, а також повідомляєспоживачеві ціни /> й ціну попиту,що дорівнює граничній корисності />, />, де /> – функція корисностіспоживача, задана як />, де />, /> – коефіцієнти функціїкорисності споживача.
2. Фірма /> з виробничою функцією />, виходячи з заданих їйцін, обирає таке сполучення витрат і результатів виробництва />, />, />, що максимізує її прибуток
/>
і подає цесполучення на розгляд аукціонника.
Необхідною умовоюмаксимізації прибутку підприємства є
/> при />.
Отже, з огляду на те, що
/>
при /> одержуємо
/>,
де />, /> – коефіцієнти виробничоїфункції />-ї фірми.
3. Споживачвизначає попит на />-й продукт утакий спосіб. Якщо на />-й продукт попитунемає або гранична корисність споживача менша за граничні витрати, то споживачзалишає величину попиту без змін. У протилежному випадку він коректує обсягпопиту на />-й продукт за формулою
/>, />,
де />, />, – додатні коефіцієнти.
4. Обчислюєтьсянадлишковий попит, який дорівнює
/>
Якщо /> з точністю до /> дорівнює 0, тоді процесобчислення цін припиняється та вважається, що сформовано рівноважну системуцін, яка задовольняє і фірму й споживача.
5. Якщо /> з точністю до /> не дорівнює 0, тоаукціонником за наступними формулами здійснюється регуляція цін
/>, />,
/>,
де /> й /> – додатні коефіцієнтикорекції.
3. Задачавизначення рівноважного випуску продукції
Складемоалгоритм, який визначає на основі міжгалузевого аналізу величину випуску задопомогою моделі Леонтьєва при відомій матриці коефіцієнтів прямих витрат /> і векторів кінцевогопопиту />.
Для розв’язання даної задачі використовуємообчислювальну схему Гаусса-Зейделя.
Визначимо перелікзмінних: />– кількість секторівекономіки; /> – матриця коефіцієнтівпрямих витрат; /> – кінцевий попитна />-й продукт; />– ітераційний розв’язок />-го порядку; />– значення критеріюзбіжності; /> – загальна сума абсолютнихвідхилень; /> – лічильник ітерацій; />– загальний кінцевий попит;/> – загальний випуск.
Під часвикористання методу Гаусса-Зейделя як основні рівняння виступають такі:
/>,
/>,
………………………………………
/>, (7)
………………………………………
/>,
Де />, />
Якщо розбитиматрицю коефіцієнтів прямих витрат по діагоналях на дві частини: />,
Де
/>,
/>,
то систему (7)можна записати у вигляді
/>.
Зауважимо, що />– кількість секторівекономіки, /> – коефіцієнти матрицікоефіцієнтів прямих витрат, /> –коефіцієнти вектора кінцевого попиту. Вважається, що
/>.
Ітераційнийпроцес триває доти, доки
/>.
4.Оптимізаційні задачі в моделі Леонтьєва
Сформулюємонаступну екстремальну задачу. Нехай вектор трудових ресурсів дорівнює />, де /> – витрати трудовихресурсів />-ї галузі. Суму /> назвемо обсягом витратресурсів, необхідних для виробництва валового продукту />. Позначимо через /> загальний об’єм трудовихресурсів, />. Тоді має місце нерівність/>. Розв’язок системи рівнянь /> при /> існує, але не прибудь-якому невід’ємному векторі />. Нехай вектор /> задає не кінцевий попит, алише структуру кінцевого попиту, тобто можна вважати, що />. Необхідно максимізувати /> – кіль-кість комплектівтоварів, що випускають, тобто
/>. (8)
Суть задачі (3.13) полягаєв раціональному розподілі трудових ресурсів під час виробництва номенклатуритоварів.
Якщо матриця /> продуктивна, то задача (8)припустима й має розв’язок. Справді, якщо />, то існує додатне /> таке, що
/>
Значення /> є припустимим для задачі(8). Очевидно, що множина всіх припустимих значень є обмеженою, отже, задача(8) має розв’язок.
Розглянемо узагальненумодель Леонтьева (УМЛ), в якій передбачається, що кожна галузь має не одинтехнологічний спосіб для виробництва свого продукту. Нехай у виробничій системіє /> типів товарів і /> технологічних процесів />, кожен з яких випускаєодин товар.
Позначимокількість ресурсу />-го типу й об'ємуроботи, необхідних для виробництва одиниці продукції виду /> в галузі /> за допомогою технології />, відповідно як
/>
/>
тоді узагальненуматрицю коефіцієнтів прямих витрат (узагальнену матрицю Леонтьєва) і векторкоефіцієнтів трудових витрат можна визначити як
/>
/>.
Матрицякоефіцієнтів випуску виходить із одиничної матриці шляхом такого розширення:
/>.
Виразимо векторобсягу випуску, що описує режим роботи всіх технологічних способів узагальненоїмоделі Леонтьєва, як
/>.
Вектор кінцевогопопиту
/>.
Кожна галузьвибирає з кількості доступних їй технологій одну певну технологію. Якщоприпустити, що вибір технологій здійснюється з урахуванням задоволеннякінцевого попиту />, який пропонуютькожній з галузей, так, щоб мінімізувати об'єм витрат „живої" роботи всуспільстві в цілому, то задача технологічного вибору може бути наведена увигляді задачі лінійного програмування
/>. (9)
Для сформульованоїузагальненої моделі Леонтьєва існує так називана теорія заміщення: якщо в УМЛприпустити можливість виробництва додатного вектора попиту />, то, як би не змінювавсякінцевий попит, оптимальний базис /> залишатиметьсянезмінним. Цей базис є матрицею розміру />.Оскільки будь-яка галузь має виробляти певну кількість продукції, причому цеможливо за допомогою різних виробничих технологій, кожною галуззю буде обранийодин технологічний процес.
В моделі (9) вявному вигляді присутній лише один з обмежених ресурсів – робота. Однак більшреалістично вважати, що рівень діяльності обмежений не тільки роботою, але взалежності від вибору тривалості періоду виробництва також й основними фондами,головними складеними елементами яких є виробничі будинки й верстати, а такожземлею й багатьма іншими ресурсами. Обмеження ресурсів можна виразити у виглядісистеми нерівностей. Якщо позначити обсяг ресурсу />,необхідний для випуску в галузі />, як /> де /> а обсяг ресурсу />, що насправді є внаявності, як /> де/> тоді реально досяжнийобсяг випуску має відповідати такій умові:
/>,
де />,
/>.
Якщо ввести умовиобмеженості ресурсів в задачу (9), то можна записати її в більш загальномувигляді:
/> (10)
Вектор обмеженьресурсів можна вважати невід’ємним,тому очевидно, що задача (10) аналогічна задачі лінійного програмування. Якщовважати задачу (10) вихідною й навести її у вигляді
/> (11)
то двоїста їйзадача записується так:
/> (12)
де /> – вектор цін на продукцію,/> – вектор цін на ресурси.
Розв’язок задачі(12), тобто оптимальна система цін />,збігається з симплексним мультиплікатором, який відповідає оптимальному базисузадачі (11). Через те, що константи системи обмежень ресурсів не додатні,елементи симплексного мультиплікатора для ресурсів є невід’ємними. Якщо матрицю діяльності, щоутворює оптимальний базис, і відповідний їй вектор коефіцієнтів трудових витратнавести як
/>
то синтез оптимальнихцін можна записати так:
/>
або інакше
/>. (13)
Формула (3.18)означає, що ціна продукції дорівнює сумі витрат продуктів виробництва,обмежених ресурсів і роботи. Всі витрати виражаються у вартісному вигляді. Якщояк обмежений ресурс розглядати тільки роботу, то (13) прийме такий вигляд:
/>. (14)
Симплекснийкритерій
/> (15)
інтерпретують як критерійприбутковості технологічного процесу />. Співвідношення(15) означає, що технологія, яка не відповідає критерію прибутковості, – цезастаріла технологія й її вибрано не буде. Крім того, симплексний критерій длязадачі (13) означає, що ресурс />, якийіснує в кількості, що перевищує оптимально використовуваний об’єм, став ресурсом свободним, а його ціна перетворюється на нуль.