КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА
по курсу «Количественные методы вбизнесе»
1. Временные ряды ипрогнозирование
Нижеприводятся данные о прибылях компании за последние 10 кварталов:Год
1ый
2ой
3ий Квартал 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 Прибыль 146 106 123 89 97 74 80 53 56 35
Спомощью сезонной модели, дать прогноз на два последних квартала третьего года.
Сетевойанализ и планирование проектов
Втаблице ниже приведен перечень мероприятий по расширению производства в связи соткрытием второго завода. Программой расширения предусматривается переводперсонала с существующего завода (завод А) на новый завод (завод Б). Далееприведены детали этой программы, в том числе обычная продолжительность ирасходы, а также сокращенная продолжительность и соответствующие расходы покаждому действию:
Действие Очередность Продолжительность (недель) Расходы (1000 ф. ст.) Обычн. Сокращ. прогр. Обычн. Сокращ. прогр.
А. Найти новых инструкторов - 10 8 2 4
Б. Подготовка новых инструкторов А 8 4 3 5
В. Новые инструкторы замещают старых на А Б 2 2 1 1
Г. Наем новых работников для А В, З 10 8 2 3
Д. Подготовка новых работников для А Г 6 4 5 7
Е. Перевод инструкторов на Б Б 3 2 1 2
Ж. Подготовка инструкторов на Б В, Е 4 3 2 3
З. Перевод нового оборудования на Б А 15 12 12 21
И. Перевод персонала с А на Б Д, Ж 4 2 2 5
К. Подготовка персонала на Б И 8 5 5 8
(i) Составьтесетевой график и определите критический путь проекта.
(ii) Определитестоимость сокращения сроков каждого действия на одну неделю. Определите, каклучше всего сократить продолжительность всего проекта на одну неделю.
(iii) Если Выхотите сократить продолжительность проекта еще на две недели, то как этосделать и во что это обойдется с точки зрения дополнительных расходов.
Временные ряды и прогнозирование
Нижеприводятся данные о прибылях компании за последние 10 кварталов:Год
1ый
2ой
3ий Квартал 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 Прибыль 146 106 123 89 97 74 80 53 56 35
С помощью сезонной модели, датьпрогноз на два последних квартала третьего года.
Решение
1. При моделировании временныхрядов статистические методы исследования исходят из предположения о возможностипредставления значений временного ряда в виде суммы нескольких компонент,отражающих закономерность и случайность развития, в частности в виде суммы трехкомпонент:
Y(t) = T(t) + S(t) +E(t),
где T(t) — тренд (долговременная тенденция)развития;
S(t) — сезонная компонента;
E(t) — остаточнаякомпонента.
Сезонная компонента характеризует устойчивыевнутригодичные колебания уровней. Она проявляется в некоторых показателях,представленных квартальными или месячными данными. Для данных с иным шагомнаблюдения S(t)=0.
Для решения задач анализа и моделированиятенденции изменения T(t) исследуемого показателя используются моделикривых роста.
Кривые роста — это математические функции,предназначенные для аналитического выравнивания временного ряда.
Наиболее часто в практической работе используютсякривые роста, которые позволяют описывать процессы трех основных типов: безпредела роста; с пределом роста без точки перегиба; с пределом роста и точкойперегиба.
Для описания процессов без предела ростаслужат функции:
Y(t) = A0+ A1t — прямая
Y(t) = A0+ A1t + A2t2 — парабола II порядка
Y(t) = exp(A0)tA1
- степенная
Y(t) = exp(A0+ A1t)
- экспонента
Y(t) = exp(A0+ A1t)tA2 — кинетическая кривая
Y(t) = A0+ A1Lnt (1+ A2Lnt)
- линейно-логарифмическая функция II порядка
Y(t) = A0+ A1Ln(t)
- линейно -логарифмическая функция I порядка
Процессы развития такого типа характерны в основномдля абсолютных объемных показателей, но часто им соответствует и развитиенекоторых качественных относительных показателей.
Основной подход выделения сезонной компонентыоснован на предварительном сглаживании данных и выделении тенденции при помощискользящей средней (на нем базируются статистические критерии сезонности:дисперсионный, автокорреляционный, гармонический и др.). Наиболеераспространен гармонический критерий, который позволяет не только проверятьналичие сезонных колебаний, но и оценивать значимость гармоник Фурье,отображающих эти колебания.
Достоинство таких моделей состоит в том, что ониобеспечивают стабильность прогноза даже в точках цикла с наименьшими значениямипрогнозируемой переменной.
Для прогнозирования сезонных процессов используютсямодели трех типов: СС — модели (скользящего среднего); АР — модели(авторегрессии); и АРИСС — модели (смешанные модели интегрированногоскользящего среднего). Модели последнего класса обычно реализуются по методикеБокса- Дженкинса. Они, как и многие другие сложные с теоретической ипрактической точки зрения средства статистического анализа. требуютиндивидуального подхода к исследуемому показателю и высокой квалификацииисследователя. Поэтому в практике массовых статистических расчетов обычноиспользуются модели первых двух классов.
Сезонные колебания могут быть отражены СС-моделямидвух типов мультипликативной и аддитивной [8,14].
Сезонныекомпоненты, по природе своей, могут быть аддитивными или мультипликативными.Различие между двумя видами сезонности состоит в том, что в аддитивной моделисезонные отклонения не зависят от значений ряда, тогда как в мультипликативноймодели величина сезонных отклонений зависит от значений временного ряда.
2.Расчет параметров функции долговременного тренда T(t) обычно производится методомнаименьших квадратов (МНК). В качестве решения принимается точка минимума суммыквадратов отклонений между теоретическим и эмпирическим уровнями:
/>
где:yt2 — выровненные (расчетные) уровни;
yt — фактические уровни.
Параметрыуравнения ai, удовлетворяющие этому условию,могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденногоуравнения тренда вычисляются выровненные уровни. Нормальные уравнения МНК имеютвид:
длялинейного тренда:
/>/>
/>
/>
Рис.1.1 — Поиск долговременного линейного тренда и оценка наличия сезонной функциив остаточных членах отклонения факта от линейного прогноза
Длярешения указанного уравнения используют встроенные функции анализа пакета«электронных таблиц» EXCEL-2000. На рис. 1.1 приведенырезультаты определения долговременного линейного тренда фактической функцииприбыли за 10 кварталов.
Каквидно из графиков рис. 1.1 остаточные члены имеют устойчивую гармоническуюсоставляющую с периодом 2 квартала и снижением амплитуды гармоник по времени.
/>
Рис. 1.2 — Определение функции, описывающей изменение амплитуды гармоник
Дляоценки функции снижения амплитуды гармоник проведем статистическую обработкумодулей отклонений фактической прибыли от линейного прогноза в среде«электронных таблиц» EXCEL-2000 (рис.1.2).
Учитывая данные, приведенные на рис. 1.1, 1.2полученные регрессионные уравнения следует отнести к устойчивым, посколькупоказатель отклонения
R2 > 0,6.
Таким образом:
— полученное уравнение линейной регрессии:
Y=-10,6*x+144,2
- полученноеуравнение мультипликативной регрессии с сезонным компонентом:
Y=-10,6*x+144,2+(-1,0909*x+15,2)*cos[3,1416*(x-1)]
На рис. 1.3 приведенырезультаты прогнозирования:
/>
Рис. 1.3 — Результаты прогнозирования фактическойприбыли уравнением мультипликативной регрессии с сезонным компонентом(гармоника с периодом в 2 квартала)
В табл. 1.1 представленырезультаты расчета – прогнозирования прибыли предприятия в 11 и 12 квартале (3и 4 квартал 3 года работы предприятия) с использованием уравнениямультипликативной регрессии с сезонным компонентом гармоники.
На рис. 1.4 представлены результатыоценки остаточных членов компоненты E(t).
Таблица 1.1 — Результатыпрогнозного моделирования
/>
/>
Рис. 1.4 — Оценка членовостаточной компоненты уравнения моделирования
2. Сетевой анализ и планирование проектов
Втаблице ниже приведен перечень мероприятий по расширению производства в связи соткрытием второго завода. Программой расширения предусматривается переводперсонала с существующего завода (завод А) на новый завод (завод Б). Далееприведены детали этой программы, в том числе обычная продолжительность ирасходы, а также сокращенная продолжительность и соответствующие расходы покаждому действию:
Действие Очеред-ность Продолжительность (недель)
Расходы
(1000 ф. ст.) Обычн. Сокращ. прогр. Обычн. Сокращ. прогр.
А. Найти новых инструкторов - 10 8 2 4
Б. Подготовка новых инструкторов А 8 4 3 5
В. Новые инструкторы замещают старых на А Б 2 2 1 1
Г. Наем новых работников для А В, З 10 8 2 3
Д. Подготовка новых работников для А Г 6 4 5 7
Е. Перевод инструкторов на Б Б 3 2 1 2
Ж. Подготовка инструкторов на Б В, Е 4 3 2 3
З. Перевод нового оборудования на Б А 15 12 12 21
И. Перевод персонала с А на Б Д, Ж 4 2 2 5
К. Подготовка персонала на Б И 8 5 5 8
Л. Завод Б начинает производство К 3 2 8 10
(iv) Составьтесетевой график и определите критический путь проекта.
(v) Определитестоимость сокращения сроков каждого действия на одну неделю. Определите, каклучше всего сократить продолжительность всего проекта на одну неделю.
ЕслиВы хотите сократить продолжительность проекта еще на две недели, то как этосделать и во что это обойдется с точки зрения дополнительных расходов.Решение
1.На рис.2.1 представлен сетевой граф в представлении событий и работ, построенныйна основании логических последовательностей работ исходных данных.
Втабл.2.1 представлены результаты расчета параметров графа, проведенные в среде«электронных таблиц» EXCEL-2000. Как видно из графиковрис.2.1 и данных расчета по табл.2.1:
а)Длина критического пути составляет:
- для обычногографика работ – 51 неделя;
- длясокращенного графика работ – 35 недель;
б)Соответственно, общая стоимость работ составляет:
- для обычногографика работ – 43 тыс.ф.ст.;
- длясокращенного графика работ – 69 тыс.ф.ст.;
в)наименьшая удельная стоимость сокращенного графика для каждой
отдельнойработы составляет:
— 0,5 тыс.ф.ст./нед для работы Б критического пути (Подготовка новыхинструкторов) с возможностью сокращения времени работы на 4 недели;
— 0,5 тыс.ф.ст./нед для работы Г критического пути (Наем новых работников для А)с возможностью сокращения времени работы на 2 недели.
/>Рис. 2.1 — Сетевой граф работ и определениекритического пути (утолщенные стрелки)
Таблица 2.1 – Расчеты параметров сетевого графа/>
Такимобразом, учитывая запасы сроков работ некритических путей (табл. 2.1 – от 11 до23 недель), сокращение длительности работ на критическом пути (работы Б и Г) неповлияет на формирование последовательностей работ критического пути(обозначено серым цветом).
Следовательно,целесообразно применить сокращение работы Г на одну неделю, что увеличитстоимость проекта на + 0,5 тыс.ф.ст. Возможно дополнительное сокращение работ Геще на одну неделю и сокращение работ Б также на одну неделю по той жестоимости повышения проекта.
Список использованной литературы
1.Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики:Учебное пособие. – Москва: Финансы и статистика, 2000.
2. Мазур И.И., Шапиро В.Д., Ольдерогге Н.Г.Управление проектами – М. «Экономика», 2001 – 574 с.
3. Управление проектами / под ред. Дж.К. Пинто –СПб: Питер, 2004 – 464 с.