Контрольная работа
по дисциплине «Эконометрика»
студента гр. ВФ-108
Звягиной Марии Михайловны
Раздел I. Практическая часть
Содержание заданий.
Задание 1
1. По исходным данным выполнить корреляционный анализ:
Таблица 9
Основные показателиработы грузовых автомобилей крупных и средних организаций автомобильного транспортав 2006 году Перевезено грузов, тыс. тонн Расходы, млн, руб Владимирская 594,6 258,3 Брянская 3178,9 656,5 Белгородская 523,8 824,4 Воронежская 2572,3 220,1 Ивановская 308,5 73,8 Костромская 580,5 82,7 Рязанская 203,7 65,4 Смоленская 389,3 86,6 Тульская 225,8 36,5 Ярославская 693,4 279,9
Основной задачей корреляционного анализа является — выявлениесвязи между случайными переменными и оценка её тесноты. Показателем тесноты линейнойсвязи является коэффициент корреляции r.
1.1. Построить корреляционное поле и предложить гипотезу о связи исследуемых факторов
Для трактовки линейной связи между переменной X («Перевезено грузов») и Y(«Расходы») при помощи встроенных возможностей Microsoft Excel построимполе корреляции заданной выборки наблюдений (диаграмма 1).
корреляционный регрессионный анализ
Характер расположения точек на диаграмме позволяет сделать предварительныйвывод о том, что связь между переменными прямая, т.е. увеличение одной из переменныхведет увеличению условной (групповой) средней другой.
Связь между переменными в диапазоне /> достаточно тесная, однаков диапазоне /> имеются точки выброса, т.е. точки,находящиеся на достаточно отдаленном расстоянии от общего массива точек. Им соответствуютданные по Брянской, Белгородской и Воронежской областям.
Диаграмма 1.
/>
Сделаем предположения, что:
1. данные по Брянской области являются точкой выброса;
2. данные по Белгородской области являются точкой выброса;
3. данные по Воронежской области являются точкой выброса;
4. данные по Брянской и Белгородской областям являются точками выброса;
5. данные по Брянской и Воронежской областям являются точками выброса;
6. данные по Белгородской и Воронежской областям являются точками выброса
7. данные по Брянской, Белгородской и Воронежской областям являются точкамивыброса.
1.2. Определить коэффициенты корреляции
Для заданного массива переменных коэффициент корреляции r = 0,454 (рассчитан при помощи функцииMicrosoft Excel КОРРЕЛ).
Коэффициент корреляции r > 0, следовательно, корреляционная связь между переменнымипрямая, что подтверждает предварительный вывод, сделанный в п.1.1.
Коэффициент корреляции r принял значение на отрезке [-1; 1], следовательно, мы можем оценитьтесноту связи случайных величин, заданных массивами, при помощи шкалы Чеддока: Теснота связи Значение коэффициента корреляции при наличии: прямой связи обратной связи Слабая 0,1 — 0,3 (-0,1) — (-0,3) Умеренная 0,3 — 0,5 (-0,3) — (-0,5) Заметная 0,5 — 0,7 (-0,5) — (-0,7) Высокая 0,7 — 0,9 (-0,7) — (-0,9) Весьма высокая 0,9 — 0,99 (-0,9) — (-0,99)
Коэффициент корреляции r принадлежит интервалу (0,3; 0,5), следовательно, связь междупеременными умеренная.
Рассчитаем коэффициенты корреляции, исключая данные по субъектамРФ согласно выдвинутым предположениям:
r = 0,116
r = 0,821
r = 0,578
r = 0,511
r = 0,455
r = 0,949
r = 0,824
Анализ полученных коэффициентов показывает, что предположение5 верно, т.е. данные по Брянской и Белгородской областям являются точками выброса(исключение точек, соответствующих указанным субъектам РФ, из корреляционного поляне повлекло за собой значительного изменения коэффициента корреляции). Все остальныепредположения считаем неверными. Кроме того, отмечается значительное увеличениетесноты связи между переменными при исключении из корреляционного поля точек, соответствующихданным по Белгородской и Воронежской областям (предположение 6), и её значительноеуменьшение при исключении данных по Брянской области.
1.3. Оценить статистическую значимость вычисленных коэффициентов корреляции
Оценку статистической значимости коэффициентов корреляции будемпроводить при помощи t-критерия Стьюдента на уровне значимостиα= 0,05. Парный двухвыборочный t-тест для средних
r = 0,454
Переменная 1
Переменная 2 Среднее 927,08 258,42 Дисперсия 1101362,746 73524,47289 Наблюдения 10 10 Корреляция Пирсона 0,454062283 Гипотетическая разность средних df 9 t-статистика 2, 208751921 P (TРасчетное значение критерия Стьюдента tр= 2,21 меньше критического tКРИТ= 2,306 (взято из таблицы t-распределений Стьюдентапри числе степеней свободы n-2= 8 и величинепогрешности α= 0,05), из чего делаем вывод о незначимости коэффициентакорреляции.
Так как исключение данных по Брянской и Белгородской областямсогласно ранее проведенному анализу не значительно влияет на коэффициент корреляции,то при нахождении t-критерия Стьюдента для выборки исходныхданных при предположении 5 получим практически аналогичный результат. Парный двухвыборочный t-тест для средних
r = 0,455
Переменная 1
Переменная 2 Среднее 696,0125 137,9125 Дисперсия 607399,8755 9534,678393 Наблюдения 8 8 Корреляция Пирсона 0,510547416 Гипотетическая разность средних df 7 t-статистика 2,149664636 P (TРасчетное значение критерия Стьюдента tр= 2,15 меньше критического tКРИТ= 2,45 (взято из таблицы t-распределений Стьюдентапри числе степеней свободы n-2= 6 и величинепогрешности α= 0,05). Коэффициент корреляции незначим.
1.4. Сделать итоговые выводы.
Между показателями работы грузовых автомобилей крупных и среднихорганизаций автомобильного транспорта в 2006 году существует умеренная статистическаявзаимосвязь. Для проведения анализа данные по Брянской и Белгородской областям можноне учитывать.
Задание 2
2. По исходным данным выполнить регрессионный анализ:
2.1. Рассчитать параметры уравнения линейной парной регрессии;
Линейное уравнение парной регрессии имеет вид:
/>,
где /> - оценка условного математическогоожидания y;
b0, b1 — эмпирические коэффициентырегрессии, подлежащие определению.
Эмпирические коэффициенты регрессии b0, b1будем определять с помощью инструмента Регрессия MS Excel. ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,454062283
R-квадрат 0, 206172557
Нормированный R-квадрат 0,106944127
Стандартная ошибка 991,7552465
Наблюдения 10
Дисперсионный анализ
df
SS
MS
F
Значимость F Регрессия 1 2043636,965 2043636,965 2,078 0,187 Остаток 8 7868627,751 983578,469 Итого 9 9912264,716
Коэффициенты
Стандартная ошибка
Y-пересечение 472,939 444,546
Переменная X 1 1,757 1,219
/> /> /> /> /> /> /> /> />
Таким образом, эмпирические коэффициенты регрессии соответственноравны b0= 472,94, b1 = 1,76.
Тогда уравнение парной линейной регрессии, связывающей объемыперевозимых грузовыми автомобилями крупных и средних организаций автомобильноготранспорта в 2006 году, y с величиной расходов на перевозку x, имеетвид:
/>
2.2. Дать с помощью общего (среднего) коэффициента эластичности сравнительнуюоценку силы связи фактора с результатом
Оценим тесноту статистической связи между расходами на перевозки,производимые грузовыми автомобилями крупных и средних организаций в 2006 году, xи их объемами y. Эта оценку производится с помощью коэффициента корреляцииrxy.
Величина этого коэффициента рассчитана в п.1.2 и равна r = 0,454. Как говорилось выше, связьмежду переменными умеренная прямая.
Параметр R-квадрат представляет собой квадрат коэффициента корреляцииrxy2 и называется коэффициентом детерминации. Величинаданного коэффициента характеризует долю дисперсии зависимой переменной y,объясненную регрессией (объясняющей переменной x).
Соответственно величина 1 — rxy2характеризует долю дисперсии переменной y, вызванную влиянием всех остальных,неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных.
Таким образом, доля всех неучтенных в полученной эконометрическоймодели объясняющих переменных приблизительно составляет: 1 — 0, 206 = 0,794 или79,4%. Степень связи объясняющей переменной x с зависимой переменной yопределяется при помощи коэффициента эластичности, который для модели парнойлинейной регрессии определяется в виде:
/>.
Тогда
/>
Следовательно, при изменении величины расходов на грузоперевозкина 1% их объем изменяется на 0,49%.
2.3. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.
Средняя ошибка аппроксимации оценивается по зависимости:
/>
Для этого исходную таблицу дополняем двумя колонками, в которыхопределяем значения/>, рассчитанные с использованием зависимостии значения разности />.
Перевезено грузов, тыс. тонн
Расходы, млн, руб
/>
/> Владимирская 594,6 258,3 926,869 0,559 Брянская 3178,9 656,5 1626,656 0,488 Белгородская 523,8 824,4 1921,720 2,669 Воронежская 2572,3 220,1 859,737 0,666 Ивановская 308,5 73,8 602,633 0,953 Костромская 580,5 82,7 618,274 0,065 Рязанская 203,7 65,4 587,871 1,886 Смоленская 389,3 86,6 625,128 0,606 Тульская 225,8 36,5 537,083 1,379 Ярославская 693,4 279,9 964,828 0,391 сумма = 9,662
Средняя ошибка аппроксимации составляет:
/>
Практически полагают, что значение средней ошибки аппроксимациине должно превышать 12-15% для грубого приближения регрессии к реальной зависимости.В нашем случае ошибка чрезмерна велика.
Воспользуемся результатами исследования, проведенного в п.1,т. е исключим из рассматриваемой выборки данные по Брянской и Белгородской областям.
В этом случае уравнение парной регрессии примет вид:
/>.
Доля неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющихпеременных составит: 1 — 0,260 = 0,74 или 74%.
Коэффициент эластичности составит:
/>,
а средняя ошибка аппроксимации:
/>
Исключение точек выброса из рассматриваемой выборки снизило ошибкуаппроксимации, однако её значение превышает допустимое значение.
2.4. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделированияс помощью критерия Стъюдента и F-критерия Фишера.
Проведем более строгую оценку статистической надежности моделированияс помощью F-критерия Фишера.
Для этого проверим нулевую гипотезу H0о статистическойнезначимости полученного уравнения регрессии по условию: если при заданном уровнезначимости α = 0,05 теоретическое (расчетное) значение F-критерия (F)больше его критического значения (FКРИТ), то нулевая гипотезаотвергается и полученное уравнение регрессии принимается значимым.
Расчетное значение F, определенноес помощью инструмента Регрессия MS Excel, составило F = 2,078.
Критическое значение FКРИТ определим при помощистатистической функции FРАСПОБР. Входными параметрами функции является уровень значимости(вероятность) и число степеней свободы 1 и 2. Для модели парной регрессии числостепеней свободы соответственно равно 1 (одна объясняющая переменная) и n — 2= 10 — 2 = 8.
FКРИТ = 5,318.
Расчетное значение F = 2,078 меньше критического FКРИТ = 5,318,поэтому нулевая гипотеза H0о статистической незначимости уравнениярегрессии /> принимается,что подтверждает вывод, сделанный в п.2.3.
При расчете критериев Фишера для сокращенной выборки (исключаяданные по Брянской и Белгородской областям) получаем аналогичный результат.
F = 2,115 FКРИТ= 5,987.
2.5. Сделать итоговые выводы.
1. Уравнение парной линейной регрессии, связывающее объемы перевозимыхгрузовыми автомобилями крупных и средних организаций автомобильного транспорта в2006 году, y с величиной расходов на перевозку x, имеет вид:
/>
При этом доля всех неучтенных в полученной эконометрической моделиобъясняющих переменных приблизительно составляет 79,4%, т.е. учтенными остаютсялишь 20,6 % параметров.
Величина коэффициента эластичности говорит о том, что при изменениивеличины расходов на грузоперевозки на 1% их объем должен измениться на 0,49%.
Расчет средней ошибки аппроксимации (А = 96,62 %), а такжеанализ при помощи критерия Фишера показал, что полученное уравнение регрессии несоответствует реальной зависимости (в силу большой доли неучтенных в зависимостипараметров).
2. Уравнение парной линейной регрессии для выборки исходных данных,исключающей данные по Брянской и Белгородской областям, которые по результатам выполнениязадания 1 признаны точками выброса, имеет вид:
/>
При этом доля всех неучтенных в полученной эконометрической моделиобъясняющих переменных приблизительно составляет 74%.
Величина коэффициента эластичности говорит о том, что при изменениивеличины расходов на грузоперевозки на 1% их объем должен измениться на 0,81%.
Расчет средней ошибки аппроксимации (А = 56,25 %), а такжеанализ при помощи критерия Фишера показал, что полученное уравнение регрессии такжене соответствует реальной зависимости (в силу большой доли неучтенных в зависимостипараметров).
Результаты регрессионного моделирования не надежны.