АДЫГЕЙСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ ИКОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
Кафедра информатики ивычислительной техникиКУРСОВАЯ РАБОТА
«НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОНКУРЕНТНОГОРАВНОВЕСИЯ»Майкоп, 2008
Оглавление
Введение. 3
1.Экономическое равновесие. Содержательный аспект. 4
2.Описание общей модели Вальраса. 9
3.Модель Эрроу-Дебре. Существование конкурентного равновесия. 20
4.Модель регулирования цен и устойчивость конкурентного равновесия. 32
Рассмотренныезадачи. 39
Заключение. 41
Списоклитературы… 42
Введение
Существуетразличные системы моделирующие рынок, некоторые описывают его в статическом,некоторые в динамическом состоянии, но большинство из таких систем рассматриваютрынок одного продавца и не рассматривают конкурентные рынки. А для того чтобыболее подробно изучить поведение рынка при колебании спроса и предложения на туили иную продукцию необходимо рассматривать системы, моделирующие рынок именнов условиях конкуренции.
В даннойработе были рассмотрены некоторые аспекты экономического равновесия, а так жесистемы, моделирующие рынок в условиях конкурентной среды.
1. Экономическое равновесие. Содержательный аспект
Взаимодействиемежду складывающимися на рынке готовой продукции потребительским спросом ипредложением фирм приводит к понятию равновесия. О равновесии можно говорить,как о характеристике состояния любой системы, на которую воздействуют различныестороны (в частности, только одна сторона), каждая со своими интересами. Втаком общем смысле равновесие – это то состояние системы, которое устраиваетвсех заинтересованных в ее состоянии сторон, за неимением ничего лучшего.
Приведунесколько конкретных понятий.
1. Равновесиев задачах принятия решения со многими участниками. Предположим, что интересыучастников (лиц, принимающих решения) не противоположны, но и не совпадают.Однако степень достижения своей цели каждым из них зависит как от егособственных решений, так и от действий всех остальных участников. Подравновесным состоянием данной системы понимается такая ситуация (совокупностьвыбранных решений), когда отклонение от этой ситуации разве что ухудшаетположение уклониста (при условии, что остальные участники придерживаются этойситуации). Равновесная ситуация не обеспечивает участникам «наилучшеедостижение цели», но, если такая ситуация существует, то, в условиях отсутствияобмена информациями участникам ничего другого не остается, как придерживатьсяее (дабы хуже не было). Это так называемое равновесие по Нэшу. Оно широко применяетсяв теории игр – разделе исследования операций, посвященном математическиммоделям задач принятия решения в условиях конфликта и неопределенности.
2. Равновесныедействия противоборствующих сторон. Такая ситуация предполагает наличие двухлиц, принимающих решения, с прямо противоположными интересами (например, двеконкурирующие фирмы, выпускающие один и тот же товар, имеющие один и тот жерынок сбыта). Здесь каждая сторона принимает решение с учетом «закона подлости»,т.е. выбирает лучшее из тех решений, которые «разрешены» ее противником.Равновесным является то состояние, одностороннее отклонение от которогоневыгодно уклонисту. Такое равновесие называется седловой точкой и, если оносуществует, то противники вынуждены ее придерживаться. Видно, что седловаяточка является частным случаем равновесия по Нэшу.
3. Равновесиена основе угроз. Этот принцип применяется в задачах принятия решения с обменоминформацией. Равновесным называется такое состояние системы, когда любоемотивированное предложение (угроза) одних участников, направленное на изменениеданного состояния системы, встречает мотивированное возражение (контругрозу) состороны других участников.
4. Равновесиев задаче потребителя наилучшее состояние потребителя описывается точками, вкоторых бюджетные линии касаются соответствующих кривых безразличия. Эти точкихарактеризуют спрос, во-первых, как платежеспособную потребность в товарах,во-вторых, как набор товаров, максимизирующий полезность потребителя.Отклоняясь от них в своем выборе, потребитель нарушил бы одно из условий «оптимальности».Поэтому данные точки и отражают равновесное состояние потребителя. Аналитическиэто состояние характеризуется равенством между отношением цен товаров ипредельной нормой замещения.
5. Равновесиев задаче фирмы. Условия равновесия в задаче фирмы концептуально схожи ссоотношениями, формируемыми в теории спроса. Цель фирмы – максимизация прибыли(или минимизация издержек) при ограниченных ресурсах (при фиксированном уровневыпуска). Набор затрат ресурсов, удовлетворяющих этим условиям, и отражаетравновесное состояние производства. Реализация других объемов затрат можетпривести лишь к нарушению условий «оптимальности». Аналитически состояниеравновесия фирмы выражается равенством между отношением цен на соответствующиефакторы производства и готовый продукт и предельной нормой замещения.
Характернымсвойством «равновесий» в приведенных примерах является их устойчивость противотклонения.
Чтобыпонять присуще ли это свойство экономическому равновесию, рассмотрим рынокодного товара, относительно которого будем говорить о совокупном спросепотребительского сектора и о совокупном предложении производственного сектора.
Пустьцена товара фиксирована. Это положение соответствует условиям совершеннойконкуренции, когда отдельные участники экономики не влияют на цену товара.Пусть имеет место равновесие: />, где /> — совокупный спрос, /> — совокупное предложение, /> – цена товара, /> – доход потребительскогосектора, /> — цены затрат. Формальноэто равновесие может быть нарушено либо по «воле» рынка, который распоряжаетсяценой товара, либо по воле покупателя (управляющего спросом, например,посредством изменения величины дохода) или производителя (управляющегопредложением, например, посредством изменения объемов затрат). В первом случаебудем говорить о ценовых причинах нарушения равновесия, во втором – о неценовыхпричинах.
Рассмотримсначала неценовые причины (вызванные влиянием сезонности, моды, изменениемэкономической политики и т.д.). Предположим, что при неизменном предложениипотребитель «сознательно» отклоняется от равновесия, увеличивая или уменьшаяспрос:
a) />, b) />.
Если прификсированном спросе от равновесия отклоняется производитель, то соответственнопридем к одному из двух неравенств:
c) />, d) />.
Вэтих соотношениях случаи a) и c) приводят к дефициту, т.е., в конечном счете, кповышению цены, что выгодно производителю и невыгодно потребителю.Следовательно, в случаях a) и c) неценовые причины вызывают изменениеравновесной цены. Случаи b) и d) приводят к излишкам, т.е., в конечном счете, кснижению цены, что выгодно потребителю и невыгодно производителю.Следовательно, в случаях b) и d) неценовые причины также вызывают изменениеравновесной цены.
Исходяиз таких рассуждений, можно было бы заключить, что потребителю выгодноотклонение от равновесия в сторону снижения спроса, а производителю – в сторонуснижения предложения.
Каквидно, по отношению к экономическому равновесию однозначно нельзя утверждать оего устойчивости против отклонения. Но зато эти рассуждения помогают обнаружитьустойчивость другого характера – тенденцию экономического равновесия кустойчивости против колебания цены, какой бы причиной оно ни было вызвано.Поясним это положение.
/>
Рис. 1.Устойчивость равновесия против колебания цен.
Будемисходить из того факта, что экономическое равновесие может быть нарушено как поценовым, так и по неценовым причинам. Пусть на уровне цен />имеет место равновесие /> (точки здесь заменяютпрочие, в частности, неценовые, переменные). Допустим, что по какой-тонеценовой причине повысился спрос до уровня />./>Как видно из рис. 1, спрос />соответствуетцене />, так что
/>
/>
т.е. спросстал больше предложения. Цене /> соответствуютдве точки: /> и />. Естественно поставитьвопрос: может ли цена /> бытьравновесной, иначе, может ли одна из этих двух точек быть равновеснымсостоянием? Обратимся к точке /> (относительноточки /> рассуждения зеркальноаналогичны).
Длятого чтобы точка /> оказаласьравновесной, кривая спроса должна сместиться и пройти через эту точку.Формально это возможно, тогда, когда выполняется равенство />. Содержательно, бюджетпотребителя должен уменьшиться ровно на величину />,и тогда бюджетная линия в пространстве товаров параллельно сместится от точки /> до точки />. Такое изменение ситуацииприведет к уменьшению дохода производителя />,и оно вызвано двумя причинами: снижением цены /> ивыпуска />. При данных неизменныхтехнологических условиях производителю нечего этому противопоставить, так какнежелание снизить цену своего товара или объема выпуска приведет к еще худшемурезультату. Таким образом, неценовые причины могут привести к переходу в новоесостояние равновесия, и это свидетельствует о неустойчивости равновесия противнеценовых возмущений в экономике.
Теперьразберём ценовую причину. Пусть цена товара упала до величины />. Как видно из рис. 1,при этой цене спрос превышает предложение />,что влечет повышение цены товара. Если предложение подтягивается до новогоуровня спроса, т.е. до величины />, то,согласно кривой предложения, цена должна повышаться до величины />. Но такой ценесоответствует спрос />. Продолжая этирассуждения, можно заметить, что цена последовательно приближается кравновесному значению />, а спрос ипредложение сходятся к общему (равновесному) значению />. Здесь описана идеяпроцедуры рыночного регулирования цены «невидимой рукой Адама Смита». Порасположению вспомогательных линий на графике эту процедуру называютпаутинообразной моделью регулирования цены товара. Аналогичную картину можнополучить при исходном предположении о повышении цены над />.
Врезультате можно сделать вывод о том, что экономическое равновесие устойчивопротив ценовых возмущений.
2. Описание общей модели Вальраса
Исходнымиконцепциями модели Вальраса являются:
· дезагрегированностьучастников рынка: рассматриваются отдельные потребители и отдельныепроизводители;
· совершенностьконкуренции;
· общностьравновесия.
Последняяконцепция означает рассмотрение равновесия по всем товарам сразу, а не поотдельным товарам. Следовательно, в модели Вальраса вводится понятие общегоравновесия (т.е. равновесия по всем товарам).
Будемпредполагать, что на рынке продаются и покупаются товары двух видов: готовыетовары, являющиеся продуктом производства (товары конечного потребления) ипроизводственные ресурсы (первичные факторы производства). Поэтому будемрассматривать «расширенное» пространство товаров />,где n – число видов всех товаров. Компонентами вектора /> являются как выпуски, таки затраты (первичные факторы). Для различения их, затраты снабжаютотрицательным знаком. Если /> естьвектор чистого выпуска, то все его компоненты, соответствующие затратам, будутравны нулю; если />есть вектортолько первичных факторов, то все его компоненты, соответствующие конечнымпродуктам, будут равны нулю.
Индексы(виды) товаров, как и раньше, будем обозначать буквой /> />, индексы потребителей – буквой/> /> и индексы производителей –буквой /> />.
Через/> будем обозначать векторцен товаров.
Выходяна рынок, каждый потребитель или производитель становится одновременнопокупателем одних и продавцом других товаров. Потребитель, т.е. участник рынка,«непосредственно не занятый в производстве», может продавать имеющиеся в егораспоряжении первичные факторы и покупает товары производителей. Производитель,т.е. участник рынка, «непосредственно занятый в производстве», продает своюготовую продукцию и покупает первичные факторы у потребителей.
Поэтомукаждый потребитель i как участник рынка характеризуется тремя параметрами:начальным запасом товаров />,функцией дохода />и вектор-функциейспроса на продукты производства />.
Каждыйпроизводитель j характеризуется двумя параметрами: вектор-функцией предложенияготовой продукции />и вектор-функциейспроса на затраты />. Однако в моделиВальраса применяется несколько обобщенная характеристика производителя – спомощью одного множества />,трактуемого как множество его (оптимальных) производственных планов. На языке «затраты-выпуск»это множество можно определить следующим образом: />,где /> – производственнаяфункция. Очевидно, />.
Сучетом всего вышесказанного, под математической моделью рынка будем пониматьсовокупность элементов:/>
/> (2.1)
где /> – пространство центоваров, N – множество всех участников рынка (N содержит l+m элементов).
Безкачественных потерь вместо (2.1), как модель рынка, можно рассматриватьсовокупность
/>
Вектор/> содержит цены, как товаровконечного потребления, так и затрат. Причем цены меняются не по желаниюотдельных участников рынка, а исключительно под воздействием совокупного спросаи совокупного предложения. Поэтому одним из ключевых является вопрос:существуют ли такие цены, которые устраивают как потребителей, так ипроизводителей?
Исходяиз технических соображений, будем предполагать, что пространство цен P включаетв себя нуль пространства />, т.е.будем допускать существование нулевых цен.
Каждыйучастник рынка выступает в двух лицах: как покупатель и как продавец. Очевидно,число продавцов и покупателей для разных товаров будет разным. Поэтому числа ине следует ассоциировать с числом продавцов и покупателей.
Доходкаждого потребителя предполагается состоящим из двух компонент: 1) выручки отпродажи принадлежащего ему начального запаса товаров (/>), 2) дохода, получаемогоот его участия в прибыли производственного сектора (обозначим />), например, посредствомприобретения ценных бумаг и других видов инвестиционной и трудовойдеятельности. Таким образом, предполагаем, что/>
/> (2.2)
Вмодели Вальраса считается, что весь доход производственного сектора полностьюраспределяется между потребителями:
/>
где />, а скалярное произведениесправа, с учетом структуры векторов />,трактуется как прибыль всего производственного сектора. Заметим, чтосуммирование векторов />осуществляетсяпокомпонентно.
Функцииспроса />, /> и предложения />, предполагаются векторнымии множественнозначными. Например, для функции /> первоесвойство означает, что />, где /> — скалярная функция спросана k?ый товар. Второе свойство означает, что функция /> каждому p ставит всоответствие не один вектор />, амножество таких векторов, т.е. />. Этоимеет место когда максимум спроса достигается не только в одной точке.
Вмодели Вальраса понятия совокупных спроса и предложения формализуются следующимобразом.
/>Определение 2.1. Функцией совокупного(рыночного) спроса называется множественнозначная функция/>
/> (2.3)
Функциейсовокупного (рыночного) предложения называется множественнозначная функция/>
/> (2.4)
Введемобозначения:
/>, />, />
Поопределению, любой элемент множества Y можно представить вектором />, где />. Так как />есть множество оптимальныхпланов производителя j, то компонентами вектора /> являютсяоптимальные объемы выпуска и затрат, и все они составляют решение одной и тойже оптимизационной задачи. Таким образом, часть компонент вектора />, как и векторов />, отражает предложениеготовых продуктов, а часть – спрос на первичные факторы. Поэтому вектор /> нельзя называть однозначнопредложением. В то же время, вектор />можетбыть интерпретирован как совокупное предложение, так как часть компонентвектора />, соответствующая спросу, «компенсируется»вектором b.
/>
/>Рис. 2. Сумма вектора и множества.
Покажем,что для любого p /> и />, т.е. областью изменения совокупныхфункций является то же самое пространство, что и для индивидуальных функций.Рассмотрим сначала двух потребителей. Для любого /> множество/> образуется смещениеммножества /> в направлении вектора x надлину этого вектора (рис. 2). Поэтому:
/>
/>
Рассмотримтрех потребителей. Для любого /> множество/> образуется смещениеммножества /> в направлении вектора x надлину этого вектора. Поэтому:
/>
/>
Продолжаяэти рассуждения, получаем
/>
Точнотак же устанавливается включение />. Таккак /> и потому />, то множество b+Yобразуется смещением множества Y в направлении вектора b на длину этоговектора. Поэтому />.
Формализовавпонятия функций совокупных спроса и предложения, модель рынка (2.1) можнопредставить совокупностью вида/>
/> (2.5)
Любойвектор /> называется совокупнымспросом (соответствующим вектору цен p); любой вектор /> – совокупным предложением(соответствующим вектору цен p). Эти векторы являются (оптимальными) реакциямисовокупного покупателя и совокупного продавца на установившийся на рынке векторцен. Если при этом />, то на рынкевозникает дефицит товаров, а при /> появляютсяих излишки. Такие цены не могут считаться удовлетворительными, так как в одномслучае ущемлены интересы покупателей, а в другом – продавцов. Очевидно,наилучшим вариантом для экономики является равенство />. Этот идеальный случай напрактике не всегда имеет место. Поэтому целесообразно как-то его ослабить. Вмодели Вальраса допускается наиболее «гуманный» с точки зрения интересовпотребителей вариант обобщения понятия экономического равновесия.
/>Определение 2.2. Набор векторов /> называется конкурентнымравновесием на рынке (2.5), если />,/>
/>, /> (2.6)
/> (2.7)
/> (2.8)
В этом случаеp* называется равновесным вектором цен.
Поопределению функций совокупных спроса и предложения, из включений (2.6) следует
/>, где />, />;
/>, где />,/>,
т.е.совокупные спрос и предложение формируются как суммарные величиныиндивидуальных спросов потребителей и индивидуальных предложенийпроизводителей. Поэтому в развернутом виде условия равновесия (2.6) – (2.8)можно переписать так:/>
/>, />; (2.9)
/>, />; (2.10)
/> (2.11)
/> (2.12)
Экономическоесодержание условий, определяющих конкурентное равновесие на рынке (2.5),таково. Условие (2.6) показывает, что на цены p* каждый потребительи каждый производитель реагирует наилучшим образом. Это наглядно видно изсоотношений (2.9) и (2.10). Условие (2.7) отслеживает, чтобы совокупноепредложение не было меньше совокупного спроса. Условие (2.8) требует, чтобы встоимостном выражении совокупный спрос равнялся совокупному предложению.Условие (2.8) автоматически выполняется в том случае, если в (2.7) имеет местострогое равенство. В этом случае равновесие будет задано соотношениями:/>
/>, />,/> (2.13)
т.е.нужность в условии (2.8) отпадает
Предположим,что для некоторого товара в (2.7) имеет место строгое неравенство: />. Тогда в стоимостномвыражении получаем неравенство />, несоответствующее условию (2.8). Величина />называетсяизлишком.
/>
Рис. 3.Предложение с излишком
/>
Согласнозакона предложения, в случае появления излишка цена товара должна быть снижена(рис. 3.). Но это приведет к изменению «равновесной» цены />. Выход из противоречия:
/>
Отсюда видно,для восстановления условия (2.8) нужно «ликвидировать» излишек. С учетом знака />это возможно только при />. Но тогда
/> и />
т.е. товар kвообще исключается из обращения на рынке.
Обоснованиесправедливости (2.8) тем, что «поставляемый сверх имеющегося спроса товарполучает нулевую цену», экономически осмыслено, но не поддается адекватнойформализации. Действительно, для фиксированного числа /> неравенство
/>
несовместимос равенством
/>
Такимобразом, формальный выход из рассматриваемой ситуации состоит в том, чтобысчитать цену перепроизводимого товара равной нулю. Чисто теоретически этотприем состоятелен, так как не приводит в дальнейшем к противоречиям.
Вто же время, следует признать отсутствие экономически осмысленного объяснениясуществования товара с нулевой ценой. Объявление такого товара «свободным»представляется несостоятельным. Строго говоря, в экономике нет свободныхтоваров, любой побочный продукт может найти применение, т.е. имеет ненулевуюцену. Трудно согласиться и с «хорошо известной экономистам модификацией законаспроса и предложения о существовании перепроизводимых товаров с нулевой ценой»,поскольку в случае перепроизводства «спрашиваемая» часть этого товара продаетсяпо ненулевой цене. Для экономики существование излишек так же плохо, как исуществование дефицита. Все это говорит в пользу целесообразности определенияравновесия в виде (2.13).
/>
Рис. 4.Схема формирования равновесных цен
Итак,модель рынка по Вальрасу построена. Как видим, центральное место в ней занимаетпонятие конкурентного равновесия. Привлекательность равновесия как состояниярынка (и экономики в целом), заключается в возможности реализации всехпроизведенных товаров и в удовлетворении спроса всех потребителей. />Процесс формирования рыночных цен условно можно сравнить сработой некоторого алгоритма (автомата), состоящего из четырех блоков (рис. 4).В первом блоке P формируется вектор цен.
Информацияо векторе p поступает в блоки D и S, в которых формируются соответственномножества D(p) и S(p), содержание которых, в свою очередь, передается в блок R.В блоке R осуществляется попарное сравнение элементов />, />. Если существует пара илипары (x, y), для которых выполняется условие x=y (или условия (2.7), (2.8)), топроцесс заканчивается. В противном случае цены p отвергаются, о чем поступаетсигнал в блок P, где формируются новые цены. Процедура продолжается до тех пор,пока не будет найден равновесный вектор цен.
Утвердительныйответ на этот вопрос связан с разрешением двух важных проблем:
1. установлениефакта существования конкурентного равновесия в модели Вальраса;
2. разработкасходящейся к равновесной цене вычислительной процедуры (метода) формированиярыночных цен.
Существованиеравновесия в модели Вальраса не установлено. Причина заключается в уровнеформализма этой модели – она весьма абстрактна. Конкретизируя определениясоставляющих ее элементов и уточняя их функциональные свойства, можно получитьразные модификации модели Вальраса. Наиболее известная из них носит названиемодели Эрроу-Дебре, по именам ее создателей.
Проблемаразработки численных методов вычисления равновесных цен связана с установлениемнеобходимых и достаточных признаков равновесия. Нужно, чтобы они быликонструктивными, т.е. порождали сходящуюся итеративную процедуру, каковойявляется, например, паутинообразная модель.
3. Модель Эрроу-Дебре. Существование конкурентного равновесия
Структурномодель Эрроу-Дебре весьма близка к модели Вальраса. От последней она отличаетсяконкретизацией природы происхождения функций предложения и спроса, а такжемеханизма образования дохода потребителя. Покажем это по порядку.
Длякаждого производителя j введем множество />,которое, в отличие от модели Вальраса, здесь будем трактовать как множествопроизводственных планов (а не оптимальных планов), т.е. это есть множество n?мерныхвекторов />, часть компонент которыхописывает затраты, а другая часть – соответствующие этим затратам выпускитоваров. Компоненты, соответствующие затратам, как и в модели Вальраса,снабжаются отрицательными знаками. Поэтому скалярное произведение /> показывает прибыль,полученную производителем j в результате реализации плана />. Отсюда оптимальный план />, участвующий в определениисовокупного предложения (см. (2.3) и (2.4)), определяется как решение задачи:/>
/> при ограничении /> (3.1)
Оптимальноерешение этой задачи обозначим через />, амножество всех таких решений (множество оптимальных планов) – через />. Если задача (3.1) имеетединственное решение, то, />.
Доходпотребителя i складывается следующим образом. Вводится коэффициент />, который показывает долю i?гопотребителя в прибыли j?го производителя. Предполагается (как и в моделиВальраса), что прибыль каждого производителя делится между всеми потребителямиполностью, т.е. для любого j=1,…, m
/>, />
Пользуяськоэффициентами />, суммарныедивиденды />, получаемые потребителем iот производственного сектора, можно представить как
/>
где />. Поэтому общий доходпотребителя i при реализации производственных планов />, j=1,…, m, вычисляется по формуле
/>
Функцияспроса потребителя конкретизируется следующим образом. Вводится множестводопустимых векторов потребления />, апредпочтение потребителя на этом множестве задается с помощью функцииполезности />. В результате вектор-функцияспроса строится как решение задачи:/>
/> при ограничениях />, /> (3.2)
Оптимальноерешение этой задачи обозначим через />, амножество всех таких решений – через />. Еслизадача (3.2) имеет единственное решение, то />.
Такимобразом, очерчены конкретные виды множеств в правых частях соотношений (2.3) и (2.4),определяющих функции совокупных спроса и предложения:/>
/> (3.3)
/> (3.4)
Модель(2.5), в которой функции и определены в виде (3.3) и (3.4), называется модельюЭрроу-Дебре, если выполнены следующие требования./>
У?1.Множество /> компактно в /> и содержит нулевой вектор (j=0,…, m).
У?2.Множество /> выпукло в />.
У?3.Множество /> замкнуто и выпукло в /> и таково, что из />, /> для некоторого r, следует /> для всех k=1,…, n (i=1,…, l).
У?4.Функция полезности /> непрерывнодифференцируема на /> и строго вогнута(i=1,…, l).
У?5.Функция /> обладает свойствомненасыщаемости (i=1,…, l).
У?6.Существует />, для которого /> (i=1,…, l).
УсловиеУ?1, с учетом непрерывности функции прибыли, обеспечивает существованиерешения задачи (3.2). Условие У?2 допускает эффективность использования «смешанных»планов производства на уровне всего производственного сектора. Условия У?3и У?4 имеют технический характер. Условие У?6 требует наличия укаждого потребителя «существенного» начального запаса всех товаров. Оно считаетсядостаточно жестким, но без него (или незначительного его ослабления) нельзядоказать существование конкурентного равновесия в модели Эрроу-Дебре (см.замечание после доказательства теоремы 3.1).
Преждечем приступить к доказательству теоремы, разъясню несколько терминов исформулирую вспомогательные утверждения.
Пусть/>, а F – множественнозначноеотображение, которое переводит каждую точку /> внекоторое подмножество множества X (/>, />).
ОтображениеF называется полунепрерывным сверху, если из соотношений />, где />, и />, где />, следует />. Другими словами, длякаждого открытого множества U, содержащего множество />, можно найти такое число />, что />, как только /> (где /> – расстояние между точками/> и />).
Непрерывноеотображение всегда полунепрерывно сверху, а обратное неверно. Чтобыполунепрерывное сверху отображение было непрерывным, нужно, чтобы оно былоодновременно полунепрерывным снизу, т.е. для каждого /> при /> существовали такие />, что />.
ОтображениеF называется ограниченным, если для любого /> множествоF(x) является ограниченным, как подмножество евклидова пространства />.
/>Лемма 3.1. Пусть P, X – выпуклые и компактные подмножествапространства />, /> – такоемножественнозначное отображение, что для любого /> множествоB(p) есть непустой выпуклый компакт. Тогда множественнозначное отображение />, такое, что
/>
полунепрерывносверху, если функция /> непрерывна ивогнута.
Пусть/>, />. Линейное уравнение /> называется гиперплоскостьюв /> (или (n?1) – мернымлинейным многообразием). Это есть обобщение понятия обычной плоскости в />. Гиперплоскость /> делит все пространство /> на две части: /> и />.
Пусть/>. Говорят, чтогиперплоскость /> разделяет X и Y,если для всех /> />, а для всех /> />. Например, если X и Y – выпуклыемножества, не имеющие общих точек, то, очевидно, между ними существует разделяющаягиперплоскость.
/>Лемма 3.2. Пусть /> – выпуклоемножество, не имеющее общих точек с неотрицательным ортантом />. Тогда найдется вектор />, у которого хотя бы однакомпонента строго положительна и /> длявсех />.
/>Доказательство этого утверждения предоставлено на рисунке.
/>
Рис. 5.Иллюстрация к лемме 3.2.
Точка/> называется неподвижнойточкой множественнозначного отображения F, определенного на X, если />.
Приведем бездоказательства теорему существования неподвижной точки.
/>Теорема (Какутани). Пусть /> – компактное, выпуклоемножество, а F – полунепрерывное сверху отображение, которое каждой точке /> ставит в соответствиезамкнутое, выпуклое подмножество />. Тогдаотображение F имеет неподвижную точку в X.
Доказательствосуществования равновесия в модели Эрроу-Дебре будет проведено с помощью леммыГейла, которую сформулируем в терминах элементов рынка. Сначала пронормируемцены, поделив все pk на одну и ту же величину />. Тогда пространство цен Pпревращается в стандартный симплекс, лежащий в неотрицательном ортанте />:
/>
Пронормировавтаким образом цены переходим к другому масштабу цен. В данном случаепреобразование пространства цен в стандартный симплекс преследует чистотехнические цели.
/>Лемма (Гейла). Пусть S – ограниченное, полунепрерывноесверху множественнозначное отображение симплекса P в />, удовлетворяющее условиям:
a)S(p) есть непустое выпуклое множество для всех />;
b)для всех /> />. Тогда существуют такие /> и />, что />.
/>Условие b) означает, что для каждого /> множество /> не имеет общих точек снеположительным ортантом />.Действительно, для любой точки /> илюбого /> /> (рис. 6). При этихусловиях лемма Гейла утверждает о существовании такого />, что /> не пусто.
/>
Рис. 6:Иллюстрация к лемме Гейла
Доказательствопроведем от противного: пусть лемма не верна. Это означает, что ни для одноговектора /> множество S(p) не имеетобщих точек с />. Покажем, что вэтом случае существует такое сколь угодно малое положительное число /> (не зависящее от p и z),что семейство /> выпуклыхмножеств /> также не касается неотрицательногоортанта /> (рис. 7)./>
/>
Рис. 7.Иллюстрация к доказательству леммы
Действительно,если бы это было так, то существовала бы последовательность /> и точки />, />, для которых /> при /> (сходящаясяпоследовательность /> найдется, таккак /> компактны и лежат вограниченной области пространства />). Тогдаиз полунепрерывности сверху отображения S следуют соотношения /> и />, что противоречит нашемупредположению. Следовательно, семейство /> непересекается с неотрицательным ортантом.
Тогдадля каждого множества /> из этогосемейства и положительного ортанта существует разделяющая гиперплоскость />, такая, что для любого /> />.
Построиммножественнозначное отображение />, гдемножество /> состоит из всех техвекторов симплекса P, которые представляют гиперплоскости, разделяющиеположительный ортант и множество />. Таккак это семейство не касается с положительным ортантом, множество /> непусто. Отображение /> полунепрерывно сверху, каки отображение W (полунепрерывность последнего вытекает из его вида ианалогичного свойства S). Благодаря этому свойству отображения />, множество /> выпукло и замкнуто, как исимплекс />. Следовательно,отображение /> удовлетворяет всемусловиям теоремы Какутани и потому имеет в P неподвижную точку />. Но, согласно условию b)леммы, для этой точки справедливо неравенство /> при/>. Тогда /> для />. Последнее противоречитнеподвижности точки p0в />.Следовательно, наше первоначальное предположение приводит к противоречию, что идоказывает лемму.
Теперьперейдем к основному вопросу.
/>Теорема 3.1. В модели Эрроу-Дебре существуетконкурентное равновесие.
Доказательство.Обозначим для каждого />/>
/>
/> (3.5)
Как следуетиз условий У?1 и У?5, множество /> естьнепустое, компактное и выпуклое множество. Обозначим через /> отображение />. Из непрерывности(линейности) функций />, j=1,…, m, и из леммы 3.1. следует,что /> есть ограниченное,полунепрерывное сверху отображение.
Исходяиз того, что />, j=1,…, m, задача (3.2) должнарешаться при ограничении/>
/> (3.6)
где /> – оптимальное решениезадачи (3.1). Известно, что для оптимального решения задачи (3.2) в (3.6)должно иметь место строгое равенство:/>
/> (3.7)
Если это нетак, то в силу условия У?5 существует />,для которого />, а по условию У?4можно найти такое />, где />, что />, причем /> все еще удовлетворяетограничениям (3.6). Но это противоречит определению /> какточки максимума. Таким образом, равенство (3.7) действительно имеет место.
Таккак по условию У?1 />, то поопределению максимума />.Отсюда и из условий У?1 – У?6 следует, что множество /> оптимальных решений задачи(3.2) при ограничениях (3.6) есть непустой выпуклый компакт. Поэтому множество /> также будет непустымвыпуклым компактом. Из условий У?4 – У?6 и леммы 3.1 следует, что /> есть полунепрерывноесверху множественнозначное отображение.
Построимотображение S для любого /> следующимобразом:/>
/> (3.8)
где
/>, />, />
Как и выше,можно показать, что S есть ограниченное, полунепрерывное сверхумножественнозначное отображение из P в /> ичто множество S(p) непусто, выпукло и замкнуто. Суммируя обе стороны равенства (3.7)по i=1,…, l, получаем
/>
или
/>
Вобозначениях элементов множества S(p) это равенство записывается как/>
/>, /> (3.9)
Видно,что отображение S, порождающее для каждого /> множество(3.8), удовлетворяет всем условиям леммы Гейла. Из этой леммы следуетсуществование таких /> и />, что />. Поэтому набор векторов />, где />, образует конкурентноеравновесие в модели Эрроу-Дебре. Действительно, условие (2.6) выполнено попостроению векторов /> и />; условие (2.7) следует изнеравенства />; условие (2.8) вытекает из(3.9) и, наконец, отображения D и S являются функциями совокупных спроса ипредложения в модели Эрроу-Дебре, так как они определены посредствомсоотношений (3.3) и (3.4) Теорема доказана.
Всвязи с тем, что наиболее жестким из всех условий, определяющих модельЭрроу-Дебре, является У?6, обсудим одну возможность его ослабления.
Этоусловие в теореме 3.2 вместе с У?3, У?4 и леммой 3.1 обеспечиваетнепустоту бюджетных множеств /> потребителейи полунепрерывность сверху функций их спроса />.Эти свойства не изменятся, если У?6 заменить следующими условиями: /> для любого вектора />, /> и />, />. Так как второе из условийне является жестким, то существование конкурентного равновесия, помимо условийУ?1 – У?5, зависит от наличия положительного дохода у всехпотребителей. Очевидно, что это условие слабее, чем У?6, так какположительный доход у потребителя может существовать и при отсутствииначального запаса товаров (за счет участия в прибыли производственногосектора). Последнее условие выполняется, если хотя бы одно производственноепредприятие рентабельно и все потребители участвуют в прибыли производственногосектора (как минимум, не являются безработными). Это условие представляется нестоль жестким и, следовательно, существование экономического равновесия – реальным.Однако не следует забывать, что речь идет о моделях рынка, предполагающихвыполнение не совсем реальных условий совершенной конкуренции.
4. Модель регулирования цен и устойчивость конкурентногоравновесия
Доказавсуществование конкурентного равновесия в математической модели рынка,естественно задаться вопросом: как найти конкурентное равновесие и, преждевсего, равновесные цены? Поиск равновесия, в отличие от ранее рассмотренныхвопросов, по существу, является динамическим (развернутым во времени)действием.
Процесспоследовательного приближения к равновесной цене называется регулированием цен.Кто и с какой целью регулирует цены? Ответ заключается в том, что, благодарязаконам спроса и предложения, в условиях конкуренции рынок сам приспосабливаетцены к вариациям спроса и предложения во времени. В начале была обнаружена «геометрическая»картина такого приспособления. Здесь наша задача состоит в обнаружениианалитической формулы регулирования для численного вычисления равновесных цен.
Итеративныйпроцесс поиска равновесных цен должен обладать свойством сходимости, т.е., вконечном счете, должен привести к искомым ценам с любой предзаданной точностью.В этом случае процесс регулирования цен (или собственно конкурентноеравновесие) называется устойчивым.
Такимобразом, задача регулирования цен преследует цель определения условий,заставляющих цены, как функций времени, сходиться к равновесным значениям.Математически эта задача сводится к нахождению условий устойчивости решенийспециально построенных рекуррентных по времени уравнений. Такое уравнениеназывается динамической моделью регулирования цен. Эта модель может быть какнепрерывной, так и дискретной. В первом случае, на основе предположения онепрерывном изменении цен, модель выражается с помощью дифференциальныхуравнений. Во втором случае предполагается дискретный характер изменения цен, т.е.фиксируется изменение цен в отдельные моменты времени (или через определенныепромежутки времени). Поэтому модель регулирования цен имеет вид разностныхуравнений. Непрерывные модели предпочтительны в теоретическом плане. Ихпреимущество состоит в возможности применения удобного аппаратадифференцирования. Будем рассматривать только дискретный случай, наиболеепонятный с точки зрения практического восприятия.
Перейдемк конкретным построениям. Для определенности процесс регулирования рассмотрим вмодели Эрроу-Дебре. Предварительно уточним некоторые предпосылки и ряддополнительных сведений.
Во-первых,цены будем снабжать параметром времени t: /> –цена k?го товара в момент t.
Во-вторых,будем предполагать дискретное изменение времени, т.е. будем рассматриватьотдельные моменты времени t1, t2,… Причем для упрощенияформул будем считать, что />. Этодает возможность вместо последовательности /> рассматриватьпоследовательность моментов t, t+1,…, начиная с t = 0.
В-третьих,вместо пространства товаров /> будемрассматривать пространство />, гдедополнительная n+1?ая координата соответствует особому виду товара – «деньгам».Таким образом, размерность всех векторов спроса и предложения будет равна n+1.Вектор цен, соответственно, будет задан в пространстве />. Причем дополнительная n+1– ая компонента p0будет интерпретироваться как «цена денег».
Длянекоторого вектора цен /> исоответствующих ему векторов совокупного спроса /> исовокупного предложения /> обозначим/>
/> (4.1)
Величина F(p)имеет смысл избыточного спроса при ценах p (противоположная величина /> имеет смысл избыточногопредложения). Рассматривая эту величину для всех />,можно говорить о функции избыточного спроса F, определенной на множестве P.
Дляравновесного вектора цен имеем (см. (2.7), (2.8))/>
/> (4.2)
/> (4.3)
Еслипредположить все цены строго положительными, т.е. />,k=0,1,…, n, то равенство (4.3) будетиметь место только в случае строгого равенства в (4.2), т.е./>
/> (4.4)
Так как эторавенство понимается покомпонентно (/>, k=1,…,n, где /> – функция избыточногоспроса для товара k), то условие (4.3) становится следствием равенства (4.4).Поэтому в случае положительных цен конкурентное равновесие определяется однимусловием (4.4).
ФункцияF обычно предполагается положительно однородной нулевой степени, т.е. для любых/> и постоянного числа /> />. Это свойство означает,что на функцию избыточного спроса изменение масштаба цен не влияет, а существеннылишь относительные цены.
Рассмотрениефункции избыточного спроса связано с ее применением в модели регулирования цен.В основе построения искомой формулы итеративного процесса вычисленияравновесных цен лежит идея о том, что скорость изменения цен пропорциональнаизменению величины избыточного спроса. Действительно, возрастание (убывание)функции избыточного спроса во времени равносильно более быстрому (медленному)росту спроса по сравнению с предложением (см. (4.1)), а это, согласно законаспроса, сопровождается увеличением (уменьшением) цен товаров. Сказанноематематически можно отразить формулой
/>
или вкоординатной форме
/>, k=0,1,…, n
где /> – коэффициентпропорциональности, /> – функцияизбыточного спроса для товара k. Здесь предположим, ради простоты, чтопропорциональность изменения цены и избыточного спроса по всем товарамодинакова (и равна числу />).
Изпоследнего уравнения по определению производной получаем:
/>
Отсюда длядостаточно малых /> можно принятьприблизительно
/>
Принимаявеличину /> как «следующий» за tмомент времени, для дискретного случая приходим к следующему закону измененияцен:
/>, k=0,1,…, n
или ввекторной форме:/>
/>, t=0,1,… (4.5)
Это естьрекуррентное уравнение, когда последующее (по времени) значение ценывычисляется с помощью предыдущего значения. Для его последовательного решениянужно иметь «начальное» условие. Им является значение цены /> в «начальный» моментвремени t=0, которое считается известным.
Длятого, чтобы в уравнении (4.5) было учтено условие положительности цен, можнонаписать/>
/>, t=0,1,… (4.6)
Такимобразом, динамика процесса регулирования цен описана.
Процессрегулирования можно проводить в нормированных ценах или без нормирования цен. Впервом случае вектор /> нормируется спомощью какого-то выделенного товара (например, нулевого), и получается новыйвектор />, компоненты которого />, k=0,1,…, n, являются относительнымиценами. В ненормированном процессе все товары являются равноправными. Сматематической точки зрения ненормированный процесс усложняетсямножественностью равновесных векторов цен, так как все точки луча /> (/>) будут равновеснымивекторами цен.
Устойчивостьконкурентного равновесия, т.е. сходимость итеративного процесса (4.6) кравновесной цене, можно изучать на двух уровнях – на уровне локальнойустойчивости и на уровне глобальной устойчивости. Равновесие называетсялокально устойчивым, если итеративный процесс сходится при начальной точке />, достаточно близкой к />. Если устойчивость имеетместо независимо от местонахождения начальной точки />,то равновесие глобально устойчиво.
Однимиз условий сходимости процесса (4.6) является так называемая строгая валоваязависимость. Говорят, что для ненормированного процесса регулирования цен имеетместо строгая валовая зависимость, если для каждого k функция избыточногоспроса /> есть строго возрастающаяфункция цены /> />. Экономический смысл этогоусловия состоит в том, что при повышении цены k?го товара и постоянстведругих цен можно ожидать увеличения спроса на остальные (взаимозаменимые)товары.
Приводимаяниже теорема сходимости для уравнения (4.6) предполагает ненормированныйпроцесс регулирования и содержит критерий глобальной устойчивости.
/>Теорема 4.1. Пусть /> –строго положительный равновесный вектор в модели Эрроу-Дебре. Пусть функцииизбыточного спроса />, k=0,1,…, n,обладают свойством строгой валовой зависимости. Тогда существует такоеположительное число />, что для всех />система цен />, удовлетворяющая уравнению(4.6), сходится к равновесному вектору цен.
Рассмотренные задачи
1) Производственная функция описывается уравнением />, где L – объемиспользуемого труда. Функция спроса потребителей в экономике равна />. Какой объем продукциибудет произведен в равновесии, какой объем труда будет использован?
Решение: Перепишем функцию спросав виде />. В ситуации равновесияспрос равен предложению: />.Отсюда /> и />, />. Исключая первый случай,окончательно получаем />, тогда />.
2) Спрос ипредложение некоторого товара заданы соответственно уравнениями />, />. Государство установилоналог с продажи на единицу товара в размере 1,5 ден. ед. Найдите, что потеряютпри этом покупатели, а что – продавцы данного товара.
Решение: До введения налогаравновесие определяется условием />,откуда /> — равновесная цена, /> – равновесный объем продажстоимостью 900. Налог с продажи, уплачиваемый покупателями, приводит к тому,что цена для них увеличивается на 1,5 и условие равновесия записывается как />, откуда /> и />. Общий объем налоговогосбора за 250 ед. товаров составит 375 ден. ед. В этой ситуации покупателипотратят /> ден. ед., сэкономив темсамым 25 ден. ед. Однако, они недополучат 50 ед. товара, за который готовы былизаплатить /> ден. ед. Тогда общиепотери покупателей составят /> ден.ед. Общие потери продавцов равны 250 ден. ед. (потери от продажи 250 ед. товарапо цене на 1 ден. ед. ниже).
3) Функцияспроса на капусту имеет вид />,функция предложения имеет вид />, где tобозначает номер периода времени. Определите объемы продаж и цены на капусту впериоды 1,2,…, 5, если />. Определитеравновесную цену и равновесный объем продаж.
Решение:
Период />
/>
/>
/> 1 250 140 160 2 160 68 232 3 232 125,6 174,4 4 174,4 79,52 220,48 5 220,48 116,384 183,616
Приравниваяспрос и предложение, получаем: /> или />. Цена равновесия /> определяется из условия /> и равна />. Тогда равновесный объемпродаж
Заключение
Рассматривая модели,которые описывают рынок в условии конкуренции можно сказать, что они наиболееточно дают нам представление о поведении рынка при изменении спроса ипредложения на тот или иной товар. Но всё же ни одна модель не может описатьповедение рынка с 100% точностью.
Список литературы
1. Данилов Н.Н. Курсматематической экономики, М. Высшая школа – 2006
2. Лебедев В.В. Математическоемоделирование социально-экономических процессов, М.: Изограф – 1997
3. Ивашковский С.Н. Микроэкономика,Дело – 2002
4. Economicus.ru/ www.economicus.ru