Министерствообразования и науки РФ
ГОУ ВПО«Кемеровский государственный университет»
Экономическийфакультет
Кафедрамаркетинга
Контрольнаяработа
Подисциплине: Экономико-математическиеметоды и модели
На тему: Межотраслевой баланс производства ираспределения продукции отраслей материального производства
Научный руководитель: Лысенко Елена Александровна
Работу выполнил: студент 4 курса, группы Э-051
Багдасарян Армен Жирайрович
Кемерово 2008
Экономикаусловно разделена на четыре сектора (А, Б, В и Г).
Таблица1. Коэффициенты прямых материальных затрат0.11 0.10 0.06 0.15 0.05 0.00 0.04 0.12 0.15 0.05 0.04 0.07 0.15 0.07 0.07 0.05
Таблица2. Объемы конечной продукцииОтрасли экономики А Б В Г 350 300 250 200
Таблица3. Цены на продукцию отраслейОтрасли экономики А Б В Г 5 15 5 10
Таблица4. Изменение удельной условно-чистой продукции, %Отрасли экономики А Б В Г - 10 -15 -
1.ОбозначимчерезXi; (i=l, n) валовую продукцию i-ой отрасли.
Введемв рассмотрениеxij, (i=l, n), которое выражает количество продукции i-ой отрасли необходимое дляпроизводства продукции j-ойотрасли. Хij, (i=1, n) ещеназывают производственно-эксплуатационными нуждами отраслей, а такжемежотраслевыми поставками.
ОбозначимчерезYj, (i=l, n) конечную продукцию i-ой отрасли.
Наконец,обозначим черезZj, (j=l, n) условно чистую продукцию j-ой отрасли.
Вданной задаче система уравнений будет иметь вид:
X1 = 0.07x1 +0.10x2 + 0.00x3 + 0.15x4 +350
/>X2 = 0.03x1 + 0.03x2 +0.04x3 + 0.12x4 + 250
X3 = 0.15x1 +0.05x2 + 0.04x3 + 0.07x4 +200
X4 = 0.10x1 +0.07x2 + 0.10x3 + 0.05x4 +150
Решениеможет быть найдено как с помощью точных (прямых) методов, так и с помощьюприближенных (итерационных) методов.
Прямыеметоды позволяют найти точное решение за конечное число шагов.
Итерационныеметоды теоретически также позволяют найти точное решение, но при этом числошагов будет бесконечным.
Приближеннымиметодами решения данной системы уравнений являются метод простой итерации иметод Зейделя, позволяющие найти приближенный ответ с определенной точностью.Процесс вычислений продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие:
| Xj(k) — Xj(k-1) |/>е, (i = l,n)
Результатывычислений приведены в следующих таблицах:
Методпростой итерацииe 0,0001 0,001 0,01 0.1 1 X1 534,704 534,704 534,704 534,704 534,704 X2 696,226 696,226 696,226 696,226 696,226 Хз 337,313 337,313 337,313 337,313 337,313 X4 396,857 396,857 396,857 396,857 396,857 Количество итераций 14 12 10 8 6
МетодЗейделя
Процессвычисления в методе Зейделя продолжается до тех пор, пока не будут выполнены теже условия, что и в методе простой итерации.
Надозаметить, что метод Зейделя сходится к точному решению быстрее, чем методпростой итерации. Метод Зейделяe 0,0001 0,001 0,01 0.1 1 X1 534,704 534,704 534,704 534,704 534,704 X2 696,226 696,226 696,226 696,226 696,226 Х3 337,313 337,313 337,313 337,313 337,313 X4 396,857 396,857 396,857 396,857 396,857 Количество итераций 11 9 8 6 5
Награфике показана зависимость количества итераций от точности решения иприменяемого метода.
Исследованиечисла итераций метод простой итерации -метод Зейделя
/>
2.При рассмотрении межотраслевого баланса с использованием натуральных единицизмерения мы приходим к натуральному межотраслевому балансу. Он имеет следующийвид:
Xj=?xij + Zi, j = l,n;
Xi=?xij + Yi, i=l,n;
xij=aij*Xj, i,j=1,n
Найдемпроизводственно-эксплуатационные нужды отраслей при заданных прямыхматериальных затратах и объемах валовой продукции.
a11x1+ a12x2 + a13x3+a14x4
/>a21x1+ a22x2 + a23x3+a24x4
a31x1+ a32x2 + a33x3+a34x4
a41x1+ a42x2 + a43x3+a44x4
/>
0,11*534,704 0,10*696,226 0,06*337,313 0,15*369,857 58,8 69,62 20,24 55,48
/>0,05*534,704 0,00*696,226 0,04*337,313 0,12*369,857 26,73 0 13,49 44,38
/>
0,15*534,704 0,05*696,226 0,04*337,313 0,07*369,857 80,2 34,8 13,49 25,89
0,15*534,704 0,07*696,2260,07*337,313 0,05*369,857 80,2 48,74 23,61 18,49
Натуральныймежотраслевой балансОтрасли А Б В Г ? Y X А 58,8 69,62 20,24 55,48 102,7 350,01 452,708 Б 13,58 9,51 12,58 31,44 67.И 250,01 317,127 В 67,91 15,85 12,58 18,34 114,68 200.02 314,693 Г 45,27 22,19 31,46 13,1 112,02 150,02 262,041 ? 158,45 79,26 56,62 102,18 396,51 Z 294,26 237,86 258,07 159,86 X 452,708 317,127 314,693 262,041
Всводном материальном балансе все показатели даются в денежном или стоимостномвыражении. При этом каждый продукт оценивается по единой цене независимо оттого, где он используется. Это главное условие сводного материального баланса.
Длятого, чтобы перейти от натурального баланса к стоимостному умножим каждоеуравнение межотраслевого баланса на соответствующую цену продукции отрасли.
Получаем:
Хi*Рi = ?аij,*Хj*Рi+Yi*Рi, i = l,n;
Обозначимчерез:
Xi = Xi * Рi -стоимостноевыражение валовой продукции i-oй отрасли;
Yi = Yi * Pi — стоимостное выражение конечнойпродукции;
Подставим:
Xi = ?aij* Xj * (Pj/Pj) * Pi + Yi, i=l,n;
Xi= ?aij*Xj + Yi; i=l,n;
Коэффициентысводного материального баланса величины ajj, равны одноименному коэффициенту натурального балансаумноженному на отношение цены затрачиваемого продукта к цене производимогопродукта. Это отношение называется индексом относительной ценности двухпродуктов. Оно показывает во сколько раз единица затрачиваемого продукта дорожеединицы производимого продукта.
Xi = ?xj + Zj;j=1,n.
Приэтом Zj= Zjтак как натуральные единицы измерения равныстоимостным.
Найдемпроизводственно — эксплуатационные нужды для сводного материального баланса:
Xij = Xij*Pi, i = l,n;
/>XllPl + X12P1 + X13Pl + X14P
/>X21P2 + X22P2 + X23P2 + X24P2
/>X31P3 + X32P3 + X33P3 + X34P3
X4lP4 + X42P4 + X43P4 + X44P4
/>
31,69*5 31,71*5 0*5 39,3*5
/>13,58*15 9,51*15 12,58*1531,44*1
67,91*5 15,85*5 12,58*5 18,34*5
45,27*10 22,19*10 31,46*10 13,1*10
/>
158.45158,55 0 196,5
203,7142,65188,7 471,6
339,5579,25 62,9 91,7
452,7221,9 314,6 131
Найдемстоимость валовой продукции (Xj)
Xi = Xi*P;
/>452,708*5 2263,54
317,127*15 4756,90
Xi = 314,693*5 1573,46
/>262,041*10 2620,41
Найдемстоимость конечной продукции (Yi):
Yi = Yi*Pi
/>
350*5 1750
/>Yi = 250*15 3750
200*5 1000
/> 150*10 1500
Наоснове выше найденных данных таблица свободного материального баланса будетиметь следующий вид:Отрасль А Б В Г ? Y X А 158.45 158.55 196.5 513.5 1750 2263.54 Б 203.7 142.65 188.7 471.6 1006.65 3750 4756.90 В 339.55 79.25 69.2 91.7 573.4 1000 1573.46 Г 452.7 221.9 314.6 131 1120.2 1500 2620.41 ? 1154.4 602.35 566.2 890.8 3213.75 Z 1471.29 3568 1290.36 1598.61
X 2263.54 4756.90 1573. 46 2620.41
3.Коэффициенты bij — элементы матрицы В и могут быть определены черезкоэффициенты прямых материальных затрат (аij), т.к.
В =[Еn-А]?1
Дляопределения матрицы В обозначим [Еn — А] = С, тогда С*В = Еn
Значит,по правилам умножения (строка на столбец) матриц, получим:
/> i=l,n; k=l,n;
Получаемn систем уравнений, в каждом изкоторых п уравнений. Первая система позволяет найти компоненты первого столбцаматрицы В, вторая — второго и т.д.
Найдемэлементы матрицы С для заданных условий:
[Е-А]= С
/>/> 0.07 0.10 0.00 0.15 0.93 -10 0 -0.15
A = 0.03 0.03 0.04 0.12 C = -0.03 0.97 -0.04 -0.12
/>0.15 0.05 0.04 0.07 -0.15 -0.05 0.96 -0.07
0.10 0.07 0.10 0.05 -0/10 -0.07 -0.10 0.95
Т.к. С*В = Еn запишем системыуравнений:
/>0,93b13 — 0,10b23 – 0b33 — 0,15b43 =0
-0,03b13 + 0,97b23 — 0,04b33 — 0,12b43=0
-0,15b13 — 0,05b23+ 0,96b33 — 0,07b43 =1
-0,10b13 — 0,07b23 — 0,10b33 + 0,95b43 =0
/>0,93b14 — 0,10b24 – 0b34 — 0,15b44 =0
-0,03b14 + 0,97b24 — 0,04b34- 0,12b44=0
-0,15b14 — 0,05b24+ 0,96b34 — 0,07b44 =0
-0,10b14 — 0,07b24 — 0,10b34+ 0,95b44 =1
Значениеполных материальных затрат (bij) найдены по методу Гаусса.
/> 1,1043 0,1290,0952 0,1925
B= 0,0592 1,05060,05910,1464
0,1858 0,08221,0573 0,1183
0,1401 0,09970,1176 1,096
4.Через коэффициенты полных материальных затрат (by) и объемы конечной продукции (Y;) можно определить объемы валовой продукции (хij), используя модель объемов выпуска,которая имеет следующий вид:
X = B*Y;
Xi = ?bij*Yi
Такимобразом, объемы валовой продукции будут равны:
/>
452,73
Х=317,15
314,68
262,02
Значенияваловой продукции, полученные с помощью приближенных методов, в нашем случае ипо методу простой итерации, и по методу Зейделя равны:
/> 452,708
X =317,127
314,693
262,041
Такимобразом, расхождения результатов имеют значения:
?x1 =-0,022
?х2 =-0,023
?х3 = 0,013
?х4= 0,021
Незначительныерасхождения в результатах можно объяснить тем, что при расчете былииспользованы разные методы. При нахождении объема валовой продукции черезкоэффициенты прямых материальных затрат (аij) использовались приближенные методы, где решение находится сзаданной точностью Е.
Принахождении объема валовой продукции с помощью коэффициентов полных материальныхзатрат (bij) использовалсяточный метод расчета (метод Гаусса), который позволяет определить единственноточное значение.
5.Чтобы определить, как изменяются цены в отраслях при изменении удельной условночистой продукции, применяется модель равновесных цен, которая имеет следующийвид:
Рi = ?аij*Рi + Zj j=l,n;
где zj=-Zj / Xj, и zj — удельная условно — чистая продукция j-той отрасли, приходящаяся на единицу валовой продукции этойотрасли.
Р =А’*Р + Z, (En-A’)*P = Z
Р* (En – А’)*(Еn — А’)?1=(Еn – A’)?1 *Z, значит Р = (Еn – А’) ?1* Z, а так как
(Еn-А’) ?1=В B'=(Еn – А’) ?1, то Р = B’*Z -это и есть модель равновесных цен.
МатрицаВ’ — матричный мультипликатор ценового эффекта распространения.
/>
1,1043 0,0592 0,1858 0,1401
В’ =0,129 1,0506 0,0822 0,0997
0,0952 0,0591 1,0573 0,1183
0,1925 0,1464 0,1176 1,096
Найдемzj:
Z1 =1471,29/452,73= 3,2
Z2 =3568/317,15= 11,2
Z3 =1290,36/314,68=4,1
Z4 = 1598,61/262,02=6,1
Дляпроверки полученных значений найдем цены:
P1 = b11*Z1 + b21*Z2 + b31*Z3 + b41*Z4
P2 = b12*Z1 + b22*Z2 + b32*Z3 + b42*Z4
Рз = b13*Z1 + b23*Z2 + b33*Z3 + b43*Z4
P4 = b14*Z1 + b24*Z2 + b34*Z3 + b44*Z4, такимобразом
P1= 1,1043*3,2+0,059 *11,2+0,1858 *4,1 +0,1401*6,1 = 5
P2= 0,129*3,2+1,0506*11,2+0,0822*4,1+0,0997*6,1 = 15
P3 = 0,0952*3,2+0,0591*11,2+1,0573*4,1 +0,1183*6,1 =5
P4= 0,1925*3,2+0,1464*11,2+0,1176*4,1+1,096*6,1 = 10
Найдемновые цены:
Pj = 0,05bij*Zi — 0,1 bij*Z4+Рi
P1 =0,05*1,1043 *3,2-0,l*0,1401*6,l +5=5,16,
P2 = 0,05*0,129*3,2-0,1*0,0997*6,1+15=14,96
P3 = 0,05*0,0952*3,2-0,1*0,1183*6,1+5=4,95
P4= 0,05*0,1925*3,2-0,1*1,096*6,1+10=9,36
Значенияизменений получатся:
/>P1 = 0,16
/>P2 = -0,04
/>P3 = -0,05
/>P4=-0,64
Впроцентах:
/>Pi =/>Pi/Pj*100%
/> P1 =0,16 /5* 100% = 3,2%
/>P2 =-0,04 /15*100% = -0,27%
/>P3 =-0,05 /5*100% = -1%
/> P4 = -0,64/10* 100% = -6,4%
Извыше приведенных расчетов следует, что увеличение величины удельно условно — чистой продукции в секторе А на 5% и понижение в секторе Г на 10% привело кизменению цен во всех отраслях экономики. Наибольшее увеличение произошло всекторе А — на 3,2%, наименьшее в секторе Г на -6,4%, а в секторах Б; В и Гцены снизились на 0,04; 0,05 и 0,64 соответственно.
Вывод
Наоснове данной работы можно проследить взаимосвязи происходящих процессов вэкономике и оценить влияние изменений, как на каждый отдельный сектор, так и навсю экономику в целом.
Примененныйбалансовый метод планирования позволяет увязать объем и структуру общественныхпотребностей с материальными, трудовыми, финансовыми ресурсами, а так жеопределить основные пропорции воспроизводства в целом в экономике, по отраслями экономическим районам.
Такимобразом, следует сказать, что межотраслевой баланс -это основа прогнозированияразвития экономики.