Экономическая постановка задачи
На лакокрасочном предприятии производится два видаэмалей (Эм1 и Эм2), два вида лаков (Л1 иЛ2) и смола (См1). При изготовлении каждой эмали может использован, либо лакЛ1, либо лак Л2. Для изготовления эмалей и лаков используются два виларастворителей (Р1 и Р2) и смола См1. Нормы расходов одних продуктов припроизводстве других приведены в таблице 1. По каждому виду сырья известнавеличина ресурса — запас сырья на складе предприятия и объем заключенных на годдоговоров с поставщиками сырья.
Для изготовления эмалей и лаков используется четыре реактора (Рк1, Рк2, Рк3, Рк4). Известенгодовой фонд рабочего времени по каждому виду оборудования. Реакторы 1 и 2взаимозаменяемы. Нормы времени на производство продукции приведены в таблице 2.
В обеих таблицах значения в скобках соответствуют возможным вариантам производствапродукции. Например, в таблице 1 эмаль Эм1 может производиться либо на лаке Л1с нормой расхода 0,8 т/т либо на лаке Л2 с нормой 0.7 т/т.
Товарной продукцией предприятия являются эмали Эм1 иЭм2 и лак Л1.
По каждому виду товарной продукции определен объем заказа — поставка продукции по заключенным с потребителямидоговорам и госзаказ на ее производство.
Известен общий проточный спрос рынка па товарную продукцию предприятия, а такжепрогнозные цены по каждому виду продукции.
Технико-экономические показатели производства продукции по вариантам заданий приведеныв таблице 3.
Необходимо рассчитать оптимальный план производства,максимизирующий прибыль от реализации товарной продукции предприятия, при выполнениивсех заданных условий производства. Предложить обоснованное первоначальноеоптимальное решение задачи.
Исходные данные для расчета
Таблица 1 — Нормы расхода сырья и полуфабрикатовСырье, полуфабрикат Нормы расхода, т/т ПРОДУКЦИЯ Эм1 Эм2 Л1 Л2 См1 Л1 0,8 0,7 Л2 0,7 0,6 См1 0,8 0,7 Р1 0,2 0,3 0,2 Р2 0,3 0,4 0,1
Таблица 2 — Блок производственных мощностейОборудование Норма времени на производство продукции, час/т Эм1 Эм2 Л1 Л2 См1 Рк1 1,0 0,3 Рк2 0,2 0,5 Рк3 0,3 0,2 Рк4 0,6 Таблица 3 — Технико-экономические показатели Наименование продукции, оборудования Вариант 10 ОБЪЕМ ГОСЗАКАЗА И ЗАКЛЮЧЕННЫХ ДОГОВОРОВ НА ПОСТАВКУ, тонн Эмаль 1 55000 Эмаль 2 92000 Лак 1 2500 ПОТРЕБНОСТЬ РЫНКА В ПРОДУКЦИИ ПРЕДПРИЯТИЯ, тонн Эмаль 1 60000 Эмаль 2 98000 Лак 1 3000 ПРОГНОЗНЫЕ ОПТОВЫЕ ЦЕНЫ, грн/т Эмаль 1 5100 Эмаль 2 5600 Лак 1 3550 СЕБЕСТОИМОСТЬ ПРОДУКЦИИ, грн/т Эмаль1 на лаке1 4630 Эмаль1 на лаке2 4635 Эмаль2 на лаке1 5000 Эмаль2 на лаке2 5090 Лак 1 3070 Лак 2 2800 Смола 1 2490 РЕСУРС СЫРЬЯ, тонн Смола 1 12000 Растворитель1 27000 Растворитель2 85000 ГОДОВЫЕ ФОНДЫ ВРЕМЕНИ ОБОРУДОВАНИЯ, час Реактор 1 36000 Реактор 2 16000 Реактор 3 24000 Реактор 4 40000
Технико-экономическиепоказатели производства продукции и потребления материальных ресурсов приведеныв таблице П1. Производительность реакторов и их годовые фонды времени приведеныв таблице П2.
Таблица П1. Технико-экономические показателиПродукт Заказ Спрос Запас Цена Себестоимость, грн/т т т т грн/т На лаке 1 На лаке 2 Эм1 55000 60000 5100 4630 4635 Эм2 92000 98000 5600 5000 5090 Л1 2500 3000 3550 3070 Л2 - - - 2800 См1 - - 12000 - 2490 Р1 - - 27000 - Р2 - - 85000 -
Таблица П2. Годовой фонд времени оборудования, часРк1 Рк2 Рк3 Рк4 36000 16000 24000 40000
Изготовлениеэмалей производится на основе взаимозаменяемых лаков (Л1 и Л2) и навзаимозаменяемых реакторах (Рк1 и Рк2). Следовательно, каждая эмаль может бытьизготовлена четырьмя технологическими способами:Эм1: 1 способ – Рк1 и Л1 2 способ – Рк1 и Л2 3 способ – Рк2 и Л1 4 способ – Рк2 и Л2 Эм2: 1 способ – Рк1 и Л1 2 способ – Рк1 и Л2 3 способ – Рк2 и Л1 4 способ – Рк2 и Л2
Обозначимобъемы производства эмали Эм1 этими технологическими способами следующимобразом: Х11, Х12, Х13, Х14.
Аналогично,объемы производства эмали Эм2: Х21, Х22, Х23, Х24.
Введемобозначение объемов производства полуфабрикатов: Лак Л1 – Х3, Лак Л2 – Х4,Смола См1 – Х5.
Подставимисходные данные в экономико-математическую модель задачи:
Блок производства конечной продукции1*Х11 + 1*Х12 + 1*Х13 + 1*Х14 >= 55000 1*Х11 + 1*Х12 + 1*Х13 + 1*Х14 = 92000 1*Х21 + 1*Х22 + 1*Х23 + 1*Х24 = 2500 1*Х3 — 0,8*Х11 — 0,8*Х13 — 0,7*Х21 — 0,7*Х23 /> /> /> /> />
Коэффициентыпри искомых неизвестных переносим в таблицу П3 –технологическую матрицу задачи
Таблица П3 –технологическая матрица
Х11
Х12
Х13
Х14
Х21
Х22
Х23
Х24
Х3
Х4
Х5 ОГРАНИЧЕНИЯ
ЭМ1 1 1 1 1 55000 60000
ЭМ2 1 1 1 1 92000 98000
Л1 -0,8 -0,8 -0,7 -0,7 1 2500 3000
Л2 -0,7 -0,7 -0,6 -0,6 1
СМ1 0,8 0,7 -1 12000
Р1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,3 0,2 27000
Р2 0,3 0,3 0,3 0,3 0,4 0,1 85000
Рк1 1 1 0,3 0,3 36000
Рк2 0,2 0,2 0,5 0,5 16000
Рк3 0,3 0,2 24000
Рк4 0,6 40000
ЦФ 86 465 86 465 264 510 264 510 480
60000
8017
81983
8000
8612
95990
62082
ЭМ1 60000
60000
ЭМ2 8016,807 81983,19 8000
98000
Л1 -5611,76 8611,765
3000
Л2 -42000 -49189,9 -4800 95989,92
СМ1 6889,412 67192,94 -62082,4
12000
Р1 12000 2583,529 12416,47
27000
Р2 2405,042 24594,96 2400 38395,97 6208,235
74004
Рк1 2405,042 24594,96
27000
Рк2 12000 4000
16000
Рк3 2583,529 19197,98
21782
Рк4 37249,41
37249
ЦФ 27900000 2116437 41811429 4080000 4133647
80041513
Таблица– Отчет по результатам решения задачи
Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [мат моделирование.xls]П3 (2)
Отчет создан: 24.06.2007 16:48:48 Целевая ячейка (Максимум)
Ячейка
Имя
Исходное значение
Результат $M$26 ЦФ ОГРАНИЧЕНИЯ 80041513 Изменяемые ячейки
Ячейка
Имя
Исходное значение
Результат $B$14 Х11 $C$14 Х12 $D$14 Х13 $E$14 Х14 60000 $F$14 Х21 8016,806723 $G$14 Х22 81983,19328 $H$14 Х23 $I$14 Х24 8000 $J$14 Х3 8611,764706 $K$14 Х4 95989,91597 $L$14 Х5 62082,35294 Ограничения
Ячейка
Имя
Значение
Формула
Статус
Разница $M$18 Л2 ОГРАНИЧЕНИЯ $M$18=$M$5 не связан. $M$15 ЭМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ 60000 $M$15=$M$2 не связан. 5000 $M$16 ЭМ2 ОГРАНИЧЕНИЯ 98000 $M$16>=$M$3 не связан. 6000 $M$17 Л1 ОГРАНИЧЕНИЯ 3000 $M$17>=$M$4 не связан. 500 $M$19 СМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ 12000 $M$19Таблица– Отчет по устойчивости решения задачи
Microsoft Excel 11.0 Отчет по устойчивости
Рабочий лист: [мат моделирование.xls]П3 (2)
Отчет создан: 24.06.2007 16:48:48 Изменяемые ячейки
Результ.
Нормир.
Целевой
Допустимое
Допустимое
Ячейка
Имя
значение
стоимость
Коэффициент
Увеличение
Уменьшение $B$14 Х11 -97 86 97 1E+30 $C$14 Х12 465 1E+30 $D$14 Х13 -97 86 97 1E+30 $E$14 Х14 60000 465 1E+30 $F$14 Х21 8017 264 158 $G$14 Х22 81983 510 $H$14 Х23 264 1E+30 $I$14 Х24 8000 510 $J$14 Х3 8612 480 402 129 $K$14 Х4 95990 150 243 $L$14 Х5 62082 86 578 Ограничения
Результ.
Теневая
Ограничение
Допустимое
Допустимое
Ячейка
Имя
значение
Цена
Правая часть
Увеличение
Уменьшение $M$18 Л2 ОГРАНИЧЕНИЯ -53 7422 70949 $M$15 ЭМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ 60000 352 60000 6403 5000 $M$16 ЭМ2 ОГРАНИЧЕНИЯ 98000 478 98000 12370 6000 $M$17 Л1 ОГРАНИЧЕНИЯ 3000 306 3000 4148 500 $M$15 ЭМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ 60000 55000 5000 1E+30 $M$16 ЭМ2 ОГРАНИЧЕНИЯ 98000 92000 6000 1E+30 $M$17 Л1 ОГРАНИЧЕНИЯ 3000 2500 500 1E+30 $M$19 СМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ 12000 76 12000 29333 5196 $M$20 Р1 ОГРАНИЧЕНИЯ 27000 378 27000 5867 1908 $M$21 Р2 ОГРАНИЧЕНИЯ 74004 85000 1E+30 10996 $M$22 Рк1 ОГРАНИЧЕНИЯ 27000 36000 1E+30 9000 $M$23 Рк2 ОГРАНИЧЕНИЯ 16000 16000 40992 4000 $M$24 Рк3 ОГРАНИЧЕНИЯ 21782 24000 1E+30 2218 $M$25 Рк4 ОГРАНИЧЕНИЯ 37249 40000 1E+30 2751
Таблица– Отчет по пределам устойчивости задачи
Microsoft Excel 11.0 Отчет по пределам
Рабочий лист: [мат моделирование.xls]Отчет по пределам 1
Отчет создан: 24.06.2007 16:48:48
Целевое
Ячейка
Имя
Значение $M$26 ЦФ ОГРАНИЧЕНИЯ 80041513
Изменяемое
Нижний
Целевой
Верхний
Целевой
Ячейка
Имя
Значение
предел
результат
предел
результат $B$14 Х11 80041512,61 80041512,61 $C$14 Х12 -2,07884E-11 80041512,61 -4,15769E-11 80041512,61 $D$14 Х13 80041512,61 80041512,61 $E$14 Х14 60000 60000 80041512,61 60000 80041512,61 $F$14 Х21 8016,806723 8016,806723 80041512,61 8016,806723 80041512,61 $G$14 Х22 81983,19328 81983,19328 80041512,61 81983,19328 80041512,61 $H$14 Х23 80041512,61 80041512,61 $I$14 Х24 8000 8000 80041512,61 8000 80041512,61 $J$14 Х3 8611,764706 8111,764706 79801512,61 8611,764706 80041512,61 $K$14 Х4 95989,91597 95989,91597 80041512,61 95989,91597 80041512,61 $L$14 Х5 62082,35294 62082,35294 80041512,61 62082,35294 80041512,61
Анализрезультатов и улучшение модели
Таблица П4 — Выручка от продажи не используемыхресурсов
ресурс
потребность
остаток
цена, грн/ед
выручка, грн Р2 85000 74004 10996 10 109958 Рк1 36000 27000 9000 1 9000 Рк3 24000 21782 2218 1 2218 Рк4 40000 37249 2751 1 2751
ИТОГО
123927
Таблица П5 — Оценка эффективности связанныхограниченийРесурс Ед.изм Теневая цена, грн/ед Цена ресурса, грн/ед Скорректированная теневая цена, грн/ед Ранг эффективности Эм1 т 352 1000 0,35 5 Эм2 т 478 1000 0,48 4 Л1 т 306 1000 0,31 3 См1 т 76 10 7,56 2 Р1 т 378 10 37,82 1
Таблица П6 — распределение средств, вырученных отпродажи избыточных ресурсовресурс ранг экон.эф-ти сумма к распределению S распр, грн цена ресурса, грн/ед Допустимое изменение правой части Принятое изменение правой части Остаток суммы Sост, грн. по отчету ∆В доп, ед стоимость ∆S доп, грн стоимость ∆S, грн натура ∆В, ед Р1 1 123927 10 5867 58667 58667 5867 65260 См1 2 65260 10 29333 293333 65260 6526 Л1 3 1000 4148 4147826 Эм2 4 1000 12370 12370370 Эм1 5 1000 6403 6402685
Вносимизменения в технологическую матрицу и выполняем повторный расчет:
Таблица П7 – технологическая матрица улучшеная
Х11
Х12
Х13
Х14
Х21
Х22
Х23
Х24
Х3
Х4
Х5 ОГРАНИЧЕНИЯ
ЭМ1 1 1 1 1 55000 60000
ЭМ2 1 1 1 1 92000 98000
Л1 -0,8 -0,8 -0,7 -0,7 1 2500 3000
Л2 -0,7 -0,7 -0,6 -0,6 1
СМ1 0,8 0,7 -1 18526
Р1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,3 0,2 32867
Р2 0,3 0,3 0,3 0,3 0,4 0,1 74004
Рк1 1 1 0,3 0,3 27000
Рк2 0,2 0,2 0,5 0,5 16000
Рк3 0,3 0,2 21782
Рк4 0,6 37249
ЦФ 86 465 86 465 264 510 264 510 480
60000
17
89983
8000
8612
95990
55556
ЭМ1 60000
60000
ЭМ2 16,8 89983,19 8000
98000
Л1 -11,8 -5600 8611,765
3000
Л2 -42000 0,0 -53989,9 95989,92
СМ1 0,0 6889,412 67192,94 -55556,3
18526
Р1 12000 0,0 2583,529 11111,26
25695
Р2 5,0 26994,96 2400 38395,97 5555,631
73352
Рк1 5,0 26994,96
27000
Рк2 12000 0,0 4000
16000
Рк3 0,0 2583,529 19197,98
21782
Рк4 0,0 33333,79
33334
ЦФ 27900000 4437,0 45891429 2112000 4133647
80041513
В результатеулучшения модели сумма прибыли осталась на том же уровне 80041513грн., однакоудалось значительно оптимизировать использование оборудования.