МИНИСТЕРСТВОСЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИУльяновская государственная сельскохозяйственная академия
Кафедра«Статистика и анализ хозяйственной деятельности»
Контрольная работа
по Эконометрики
Выполнил: студент 2 курса
заочного отделения «Экономическогофакультета»
по специальности «Финансы и кредит»
с сокращенным сроком обучения
Антонов Леонид ВладимировичУльяновск, 2009
Задача1
По территориям Волго-Вятского, Центрально–Черноземногои Поволжского районов известны данные о потребительских расходах в расчете надушу населения, о средней заработной плате и выплатах социального характера(табл. 1).
Таблица 1 Район Потребительские расходы в расчете на душу населения, руб., y Средняя заработная плата и выплаты социального характера, руб., x 1 408 524 2 249 371 3 253 453 4 580 1006 5 651 997 6 322 486 7 899 1989 8 330 595 9 446 1550 10 642 937
Задание:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезуо форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парнойрегрессии.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателейкорреляции и детерминации.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичностисравнительную оценку силы связи факторов с результатом.
5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимациикачество уравнений.
6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионногомоделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данномпункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозноезначение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определитедоверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.
8. Оцените полученные результаты, выводы оформите ваналитической записке.
Решение:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезуо форме связи.
/>
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парнойрегрессии.
y
x
yx
x2
y2
ŷx
y-ŷx
Ai
1 408 524 213792 274576 166464 356,96 51,04 12,5
2 249 371 92379 137641 62001 306,47 -57,47 23,1
3 253 453 114609 205209 64009 333,53 -80,53 31,8
4 580 1006 583480 1012036 336400 516,02 63,98 11,0
5 651 997 649047 994009 423801 513,05 137,95 21,2
6 322 486 156492 236196 103684 344,42 -22,42 7,0
7 899 1989 1788111 3956121 808201 840,41 58,59 6,5
8 330 595 196350 354025 108900 380,39 -50,39 15,3
9 446 1550 691300 2402500 198916 695,54 -249,54 56,0
10 642 937 601554 877969 412164 493,25 148,75 23,2
итого 4780 8908 5087114 10450282 2684540 4780,04 -0,04 207,5
среднее значение 478 890,8 508711,4 1045028,20 268454
x
x 20,7
σ 199,92 501,50
x
x
x
x
x
x
σ2 39970,00 251503,56
x
x
x
x
x
x
/>;
/>.
Получено уравнениерегрессии: />.
С увеличением средняя заработная плата и выплатысоциального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душунаселения возрастает в среднем на 0,33 руб.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателейкорреляции и детерминации.
Теснотусвязи оценивают с помощью показателей корреляции и детерминации:
/>.
Коэффициентдетерминации
Этоозначает, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняетсявариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичностисравнительную оценку силы связи факторов с результатом.
Коэффициентэластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат,если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичностиимеет вид:
/>.
/>
Таким образом, изменение средней заработной платы ивыплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительскихрасходов в расчете на душу населения на 0,615 %.
5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимациикачество уравнений.
Качество уравнений оцените с помощью средней ошибкиаппроксимации:
/>
/> = 20,7%
Качество построенной модели оценивается как плохое,так как превышает 8 – 10 %.
6. Оцените с помощью F — критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионногомоделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данномпункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
Оценимкачество уравнения регрессии в целом с помощью />-критерияФишера. Сосчитаем фактическое значение />-критерия:
/>.
Табличноезначение (k1=1,k2=8/>) Fтабл.=5,32.Так как />, то признаетсястатистическая значимость уравнения в целом.
Дляоценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляциирассчитаем /> — критерий Стьюдента идоверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибкипараметров линейной регрессии и коэффициента корреляции
/>:
/>,
/>,
/>.
Фактическиезначения /> — статистик:
/>
/>
/>.
Табличноезначение /> — критерия Стьюдента при /> и tтабл.=2,306.Так как />, tatтабл.и />.
Рассчитаемдоверительные интервалы для параметров регрессии /> и/>: /> и />. Получим, что и />.
7. Рассчитайте прогнозное значение результата, еслипрогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня.Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.
Найдемпрогнозное значение результативного фактора /> призначении признака-фактора, составляющем 107% от среднего уровня />, т.е.найдем потребительские расходы в расчете на душу населения, если средняязаработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб.
/> (тыс. руб.)
Значит,если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15тыс. руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения будут 498,58тыс. руб.
Найдемдоверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза
/>,
адоверительный интервал (/>):
/>.
Т.е.прогноз является статистически не точным.
8. Оцените полученные результаты, выводы оформите ваналитической записке.
Изполученных результатов я вижу, что с увеличением средняя заработная плата ивыплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчетена душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб. При оценки тесноты связи спомощью показателя детерминации я выявил, что 69% вариации потребительскиерасходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняязаработная плата и выплаты социального характера. С помощью коэффициентэластичности я определил, что изменение средней заработной платы и выплатсоциального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов врасчете на душу населения на 0,615 %. С увеличится на 7 %заработнойплаты и выплаты социального характера, потребительские расходы в расчете надушу населения будут равны 498,58 тыс. руб., но этот прогноз являетсястатистически не точным.
Задача8
По группе 10 заводов,производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимостиединицы продукции у (тыс. руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс.руб.):
у = 20 + />. Доля остаточной дисперсиив общей составила 0,19
Задание:
Определите:
а) коэффициентэластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондовсоставляет 200 тыс. руб.
б) индекс корреляции;
в) F-критерий Фишера. Сделайте выводы.
Решение:
а) коэффициентэластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондовсоставляет 200 тыс. руб.
х = 200 тыс.руб.
/>.
/>
Таким образом, изменение технической оснащенности на 1%приведет к снижению себестоимости единицы продукции на 0,149 %.
б) индекс корреляции:
/>
Уравнение регрессии:
/>
/> =23,5/10 = 2,35 />
/>
/>
/>
Это означает, что 99,6% вариации себестоимости единицы продукции объясняется вариацией уровнятехнической оснащенности на долю прочих факторов приходится лишь 0,40%.
в) F — критерий Фишера. Сделайте выводы.
/>
Fтабл.=4,46
Fтабл.
Задача13
По заводам, выпускающимпродукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии У (тыс. кВт.Ч) от производства продукции -Х1 (тыс.ед.) и уровнямеханизации труда – Х2 (%). Данные приведены в табл.4.2.Задание
1. Постройте уравнение множественной регрессии встандартизованном и натуральном масштабах.
2. Определите показатели частной и множественнойкорреляции.
3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравнитеих с Бэтта коэффициентами.
4. Рассчитайте общие ичастные F – критерии Фишера.Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции Y 1050 28
ryx1 0.78
X1 425 44
ryx2 0.44
X2 42.0 19
rx1x2 0.39 Решение:
1. Постройте уравнение множественной регрессии встандартизованном и натуральном масштабах.
Линейное уравнение множественной регрессии у отх1 и х2 имеет вид:
/>.
Для расчета его параметров применим методстандартизации переменных, построим искомое уравнение в стандартизованноммасштабе:
/>
Расчет — коэффициентоввыполним по формулам:
/>
/>
Т.е.уравнение будет выглядеть следующим образом:
/>.
Дляпостроения уравнения в естественной форме рассчитаем b1и b2,используя формулы для перехода от к b.
/>
/>
Значениеa определим изсоотношения:
/>
/>
2. Определите показатели частной и множественнойкорреляции.
Линейные коэффициенты частной корреляции здесьрассчитываются по рекуррентной формуле:
/>
/>
/>
Если сравнить значения коэффициентов парной и частнойкорреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи (rx1x2=0,39) коэффициенты парной и частной корреляцииотличаются значительно.
Растет линейного коэффициента множественной корреляциивыполним с использованием коэффициентов и />:
/>
Зависимость у от х1 и х2 характеризуетсякак тесная, в которой 63 % вариации потребления электроэнергии определяетсявариацией учетных в модели факторов: производства продукции и уровня механизациитруда. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 37 %от общей вариации y.
3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравнитеих с Бэтта коэффициентами.
Для характеристикиотносительной силы влияния х1 и х2 на yрассчитаем средние коэффициенты эластичности:
/>
/>
С увеличениемпроизводства продукции на 1 % от его среднего потребления электроэнергиивозрастает на 0,29 % от своего среднего уровня; при повышении среднего уровнямеханизации труда на 1 % среднее потребления электроэнергии увеличивается на 0,006%от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния производства продукции насреднее потребление электроэнергии оказалась больше, чем сила влияния среднегоуровня механизации труда.
4. Рассчитайте общие ичастные F– критерии Фишера.Общий F-критерий проверяет гипотезу Hо статистической значимости уравнения регрессии ипоказателя тесноты связи (R2 = 0):
/>
Fтабл.=9,55
Сравнивая Fтабл.иFфакт.,приходим к выводу о необходимости не отклонять гипотезу H0и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.
Частные F-критерий– Fх1. иFх2оценивают статистическую значимость присутствия факторов х1 их2 в уравнении множественной регрессии, оцениваютцелесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора,т.е. Fх1оценивает целесообразность включения в уравнение фактора х1 послетого, как в него был включен фактор х2. Соответственно Fх2указываетна целесообразность включения в модель фактора х2 послефактора х1.
/>
/>
Низкое значение Fх2(меньше1) свидетельствует о статистической незначимости прироста r2yx1засчет включения в модель фактора х2 после фактора х1.следовательно, подтверждается нулевая гипотеза H0онецелесообразности включения в модель фактора х2.Задача 21
Модель денежного итоварного рынков:
Rt= a1+ b12Yt+ b14Mt+ e1,(функция денежного рынка);
Yt= a2+ b21Rt+ b23It+ b25Gt+ e2( функция товарного рынка);
It= a3+ b31Rt+e3(функция инвестиций),
где R-процентные ставки;
Y-реальный ВВП;
M-денежная масса;
I-внутренние инвестиции;
G-реальные государственные расходы.
Решение:
/> Rt= a1 + b12Yt + b14Mt + e1,
Yt= a2 + b21Rt + b23It + b25Gt+ e2
It= a3 + b31Rt + e3
Сt= Yt + It + Gt
Модель представляетсобой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение наидентификацию.
Модельвключает четыре эндогенные переменные (Rt,Yt, It,Сt) и две предопределенныепеременные (/> и />).
Проверимнеобходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.
Первоеуравнение:
Rt= a1 + b12Yt + b14Mt + e1.
Этоуравнение содержит две эндогенные переменные /> и/> и одну предопределеннуюпеременную />. Таким образом,
/>,
т.е.выполняется условие />. Уравнениесверхидентифицируемо.
Второеуравнение:
Yt= a2 + b21Rt + b23It + b25Gt+ e2.
Оновключает три эндогенные переменные Yt,ItиRt и одну предопределеннуюпеременную Gt.Выполняется условие
/>.
Уравнениеидентифицируемо.
Третьеуравнение:
It= a3+ b31Rt+e3.
Оновключает две эндогенные переменные ItиRt. Выполняется условие
/>.
Уравнениеидентифицируемо.
Четвертоеуравнение:
Сt= Yt+It+Gt.
Онопредставляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости видентификации нет.
Проверимдля каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составимматрицу коэффициентов при переменных модели.
/>
/>
Rt
/>
/>
/> I уравнение –1
b12
b14 II уравнение
b23
/> –1
b25 III уравнение –1
b31 Тождество –1 1 1 1
В соответствии сдостаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных,не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенныхпеременных модели без одного.
Первоеуравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеетвид
/>
Rt
/>
/> II уравнение
b23
/> –1
b25 III уравнение –1
b31 Тождество 1 1 1
Рангданной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы />не равен нулю:
/>.
Достаточноеусловие идентификации для данного уравнения выполняется.
Второеуравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеетвид
/>
/>
Rt
/>
/>
/> I уравнение –1
b12
b14 III уравнение -1
b31 Тождество –1 1 1 1
Рангданной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы />не равен нулю:
/>.
Достаточноеусловие идентификации для данного уравнения выполняется.
Третьеуравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеетвид
/>
/>
Rt
/>
/>
/> I уравнение –1
b12
b14 II уравнение
b23
/> –1
b25 Тождество -1 1 1 1
Рангданной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы /> не равен нулю:
/>
Достаточноеусловие идентификации для данного уравнения выполняется.
Такимобразом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели вобщем виде будет выглядеть следующим образом:
Rt= a1 + b11Yt + b13Mt + b15Gt+ b16Gt + u1
Yt= a2 + b21Rt + b23It + b25Gt+ b26Gt + u2
It= a3 + b31Rt + b33It + b35Gt+ b36Gt + u3
Сt= a4 + b41Rt + b43It+ b45Gt + b46Gt + u4
Задача26
Имеются данные обурожайности культур в хозяйствах области:Варианты Показатели Год
1 2 3 4 5 6 7 8 4 Урожайность картофеля, ц/га 63 64 69 81 84 96 106 109
Задание:
1. Обоснуйте выбор типауравнения тренда.
2. Рассчитайтепараметры уравнения тренда.
3.Дайте прогнозурожайности культур на следующий год.
Решение:
1. Обоснуйте выбор типауравнения тренда.
/>
Построениеаналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряданазывают аналитическим выравнивание временного ряда. Для этого применяютследующие функции:
Ø линейная/>
Ø гипербола/>
Ø экспонента/>
Ø степеннаяфункция />
Ø параболавторого и более высоких порядков />
Параметры трендовопределяются обычными МНК, в качестве независимой переменной выступает время t=1,2,…,n,а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда yt.Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значениескорректированного коэффициента детерминации />.
/>
/>
/>
/>
/>
Сравним значения R2по разным уровням трендов:
Полиномиальный 6-йстепени — R2=0,994
Экспоненциальный — R2=0,975
Линейный — R2=0,970
Степенной — R2=0,864
Логарифмический — R2=0,829
Исходный данные лучшевсего описывает полином 6-й степени. Следовательно, для расчета прогнозныхзначений следует использовать полиномиальное уравнение.
2. Рассчитайтепараметры уравнения тренда.
/>
y= — 0,012*531441 + 0,292*59049 – 2,573*6561 +10,34*729 – 17,17*81 + 9,936*9 +62,25 =
= — 6377,292 +17242,308 – 16881,453 + 7537,86 — 1390,77 + 89,424 + 62,25 = 282,327
3.Дайте прогнозурожайности культур на следующий год.
Урожайность картофеля,ц/га в 9-ом году приблизительно будет 282 ц/га.