Формирование и проверка гипотез
В логикеметоды рассуждений делятся на два класса: дедуктивные выводы и правдоподобныерассуждения (или недедуктивные выводы). Для выполнения дедуктивных выводовнеобходимы некоторые правила логического вывода; эти правила определеныматематической формальной системой, с помощью которой моделируются рассужденияи во многом соответствуют правилам логического вывода, которые используются встрогих математических доказательствах. Из предыдущих разделов мы уже знаем,что для систем логического анализа на основе E-структур предусмотрены дваправила вывода – транзитивности и контрапозиции, с помощью которых формируетсяCT-замыкание структуры. Кроме того, для контроля корректности структурыиспользуются методы проверки наличия или отсутствия коллизий. Эти методы неявляются правилами вывода, но способствуют их успешной реализации.
Однакоестественные рассуждения не ограничиваются только дедуктивными выводами.Дедукция, как правило, работает на заключительном этапе мыслительных процессов,когда построены некоторые исходные утверждения, которые имеют статус аксиом.Тогда получение следствий (теорем) из аксиом и проверка того, что некотороеутверждение является следствием из этих аксиом, относятся к дедукции В то жевремя сами аксиомы нередко формируются с помощью некоторых обобщений итворческой интуиции. Эта мыслительная деятельность относится уже кправдоподобным рассуждениям.
Понятно, чтос помощью логики, по-видимому, невозможно отобразить все многообразиетворческого поиска. Но некоторые его разновидности все же можно воспроизвести,используя строгие математические системы. Некоторые методы правдоподобныхрассуждений могут быть реализованы с использованием математики и вполневозможна реализация их на компьютере. К ним относятся индукция (в узком смысле поискзакономерностей на примерах), абдукция (поиск объяснений для некоторыхнеожиданных и не выводимых из аксиом фактов или примеров) и формированиегипотез (поиск новых утверждений, не являющихся следствиями принятых аксиом).
Примероминдукции в рассуждениях является вывод немецким астрономом Иоганном Кеплером(1571–1630) математических законов движения планет вокруг Солнца на основеданных астрономических наблюдений. Но индуктивные выводы не всегда бывают, безусловно,верными. Если мы, допустим, путешествуя по Европе и Азии, встречаем толькобелых лебедей, то мы можем сделать индуктивный вывод «Все лебедибелые». Но, если мы попадем в Австралию, то нам придется изменить своюточку зрения, так как там встречаются черные лебеди. В настоящее время многиеметоды поиска закономерностей на примерах развились в целую отраслькомпьютерных технологий, которая получила название Data Mining.
Абдукцию мырассмотрим позже. А в этом разделе познакомимся с гипотезами. По сути гипотеза– это новое знание, которое не является следствием принятых аксиом (илипосылок). В то же время, чтобы гипотеза была корректной, она не должнапротиворечить нашим аксиомам – для E-структур это означает, что при добавлениисформулированной гипотезы в конкретную структуру не происходит логическихконфликтов в виде коллизий.
Рассмотримсначала самые простые случаи такого бесконфликтного обновления знаний. Пустьисходное знание представлено корректной E-структурой R, и в этой E‑структуреимеется множество T базовых терминов. Тогда простейшим случаем бесконфликтногообновления знаний будет случай, когда новое суждение (допустим, это суждение A®B) содержит термины (A и B), которыене входят в состав базовых терминов E‑структуры R. Ясно, что придобавлении этого суждения в R какие-либо коллизии невозможны. Например, если мык посылкам из примера 6 (раздел 3) добавим суждение «Все лебедибелые», то увидим, что по содержанию оно никак не связано с терминами изэтого примера. Суждения такого типа можно считать нейтральными относительноисследуемого знания. И такой случай в силу своей тривиальности никакогоинтереса не представляет.
Болееинтересен случай, когда в новом суждении наряду с новыми терминами содержатсябазовые термины E-структуры R. Самый простой вариант, когда в системудобавляется новое суждение, но при этом в системе содержится только один изтерминов нового суждения. Тогда независимо от того, является ли новым терминомпредикат или субъект данного суждения, наша система «воспримет» новое суждениебез всяких коллизий. За счет постепенного наращивания таких рассмотренных вышеслучаев происходит неограниченное расширение любой исходной системы.
В качествепримера рассмотрим полисиллогизм Л. Кэрролла.
1) Всякиемалые дети неразумны;
2) Все, ктоукрощает крокодилов, заслуживают уважения;
3) Всенеразумные люди не заслуживают уважения.
Добавим вэтот полисиллогизм еще одно суждение: «Все обманщики не заслуживаютуважения». В этом суждении предикат представлен термином, уже содержащимсяв системе, а субъект – новым термином («обманщики»). В результате такогопополнения наша система также останется корректной системой, а число базовыхтерминов системы увеличится на два («обманщики» и их отрицание – «необманщики»). При этом в новой системе появляются некоторые интересные особенности,которые будут рассмотрены несколько позже.
Бесконфликтностьсистемы, обновленной за счет такой гипотезы, можно проверить, построивсоответствующее CT‑замыкание. Более сложным является случай, когда вновом суждении предусматривается новая связь между двумя и более терминамиисходной системы. Частично этот случай был рассмотрен в предыдущем разделе,когда с помощью верхних конусов в корректной E‑структуре строилисьнекоторые экзистенциальные суждения, в которых появлялись уже новые термины.Тем самым мы бесконфликтно дополняли исходную E-структуру новыми суждениями, неиспользуя при этом основные правила вывода (контрапозиции и транзитивности). Ноэтот метод позволяет сформировать только гипотезы, которые являютсябезусловными экзистенциальными суждениями.
Рассмотримпример условного экзистенциального суждения. Пусть задана простая E‑структурас двумя суждениями: A®B иB®C. Построим ее CT‑замыкание ивыделим все максимальные верхние конусы:
AD = {A, B, C}; />D = {/>,/>,/>}.
CT-замыканиеэтой E-структуры представлено в виде графа на рис. 1.
дедуктивныйлогический вывод рассуждение
/> />
Рис. 1 Рис.2
Испытаем дляэтой E-структуры экзистенциальное суждение W®(/>, B). Совокупность литералов {/>, B} невключена ни в один из максимальных верхних конусов и поэтому данное суждение неявляется безусловным. А будет структура корректной, если мы присоединим этосуждение к исходной системе (рис. 2)?/>
Проверка потеореме показывает, что корректность структуры не нарушится. Но в чемзаключается «условность» данного экзистенциального суждения? Точнее,при каких условиях или корректных изменениях в структуре добавление этогосуждения в структуру приведет к коллизии? Дело в том, что в структуресодержится соотношение A®B(т.е. в терминах алгебры множеств AÍB – нестрогое включение), и при этом допускаетсявозможность равенства A и B. В то же время экзистенциальное суждение W®(/>, B) означает, что в множестве Bсодержится хотя бы один элемент из дополнения множества A и, следовательно,равенство A и B невозможно. Другими словами, рассматриваемое экзистенциальноесуждение вводит в структуру ограничение, которое не имело бы места, если бы кструктуре добавлялось безусловное экзистенциальное суждение.
Данный примериллюстрирует тот факт, что добавление новых суждений, содержащих два и болеетерминов исходной системы, не всегда является простым делом и порой требуеттщательной проверки. Такую проверку можно существенно облегчить, еслииспользовать компьютерную программу анализа рассуждений.
Рассмотримситуацию, когда в новом суждении (или в совокупности новых суждений) содержатсятолько базовые термины. Такие суждения не являются экзистенциальными, будемназывать их базовыми суждениями. Начнем с простого примера. Пусть существующеезнание представлено E‑структурой, показанной на рисунке 1. Состав базовыхтерминов этой E-структуры образует множество T = {A, B, C, />, />, />}. Спрашивается, можноли в эту E-структуру добавить хотя бы одно суждение, используя только терминыиз множества T, и при этом нужно проследить, чтобы новое суждение несодержалось в CT‑замыкании этой структуры?
Если не знатьнекоторых закономерностей E-структур, то для ответа на этот вопрос потребуетсятупой перебор всех суждений, не содержащихся в CT-замыкании, и проверка каждогоиз них на корректность. Возможных вариантов перебора здесь немало, но имеютсяспособы, позволяющие существенно сократить число проверок. Рассмотрим, как этоделается. Для решения этой задачи построим таблицу из четырех колонок.
/>
В первойколонке записывается CT-замыкание нашей системы – слева от стрелки литерал, асправа – литералы, которые достижимы из этого литерала. Сразу же в этой колонкевидны максимальные элементы нашей структуры – у них скобки справа пустые. Знаямаксимальные элементы, можно легко получить минимальные элементы E-структуры(они необходимы для построения максимальных верхних конусов). Оказывается,минимальные элементы в E-структурах являются дополнениями максимальныхэлементов (имеется доказательство этого соотношения, которое здесь неприводится). Так, в нашем примере минимальные элементы A и />, поэтому максимальнымиэлементами будут соответственно /> и C.
Во второйколонке осуществляется преобразование соответствующего исходного суждения CT‑замыканиятак, что в рассматриваемой строке субъект суждения будет тем же самым, апредикатами суждения будут все термины из T, которые отсутствуют в исходномсуждении. Например, если исходной была строка A®(B, C), то во второй колонке записывается строка A®( A, />,/>,/>), в которой будут все термины изT, исключая B и C. Очевидно, что суждения, представленные этой строкой (A® A, A®/>, A®/>, A®/>), в CT‑замыкании несодержатся. Некоторые из этих суждений (например, A®/>) можно исключить сразу же безпроверки на корректность.
В третьейколонке записывается результат, полученный во второй колонке, но при этом изчисла предикатов исключается термин, который в данной строке являетсясубъектом, и термин, который является отрицанием субъекта. Эти результатызаносятся в третью колонку таблицы. Таким образом, из возможных кандидатов вкорректные гипотезы сразу же исключаются суждения типа X®X и X®/>. Первое суждение утверждает, чтокаждое множество включено в самого себя, что является аксиомой, а второеподразумевает элементарную коллизию парадокса и поэтому не является корректным.
В четвертойколонке воспроизводятся записи третьей колонки, но при этом из правой частиэтих записей исключаются предикаты, образующие в совокупности с субъектомсуждения, обратные тем, которые содержатся в CT-замыкании. Например, во второйстроке из записи B®(A,/>,/>) мы исключили из правойчасти термин A, так как его присутствие подразумевает, что нам придетсяпроверять суждение B®A,хотя в CT‑замыкании имеется обратное ему суждение A®B. Как уже известно, совмещениепрямого и обратного суждения в одной E-структуре приводит к появлениюэлементарного цикла между двумя литералами.
В результатеоказывается, что предстоит проверить 12 элементарных суждений – по два сужденияв каждой строке. Рассмотрим в качестве примера первую строку A®(/>,/>), в которой содержатся дваэлементарных суждения A®/>и A®/>. Вначале воспроизведем диаграммуХассе нашей исходной системы (рис. 3) и добавим к этой системе первоепроверяемое суждение (рис. 4). Теперь достаточно посмотреть на рисунок, чтобыубедиться, что новая система содержит коллизию парадокса A®/>, поскольку из A есть путь в />. Тот жерезультат мы получим, если в исходную систему добавим второе проверяемоесуждение (рис. 5).
/> /> />
Рис. 3 Рис.4 Рис. 5
При проверкевсех остальных элементарных суждений из четвертой колонки нашей таблицыоказывается, что все они инициируют коллизию парадокса. Таким образом, висходную систему невозможно добавить какую-либо посылку, содержащую толькобазовые термины, чтобы при этом не возникало никаких коллизий. Системы с таким свойствоммы в дальнейшем будем называть насыщенными системами. При этом«насыщенность» системы не означает, что в нее вообще нельзя ничегодобавлять. Как было показано ранее, к указанным системам можно добавлять безколлизий сколько угодно экзистенциальных суждений.
Проверкукорректности гипотезы, содержащей только базовые литералы, можно упростить,если воспользоваться соотношением, выраженным следующей теоремой. Но сначаланеобходимо определить еще одну операцию (инверсию), которая часто используетсяв E‑структурах .
Инверсией(Inv(S)) произвольного множества S литералов является множество литераловтакое, что каждому литералу LiÎS ставится в соответствие литерал />Î Inv(S).
Другимисловами, для выполнения инверсии в множестве литералов мы вместо каждоголитерала из этого множества записываем его дополнение. Так, если S = {A, />, C}, то Inv(S)= {/>, B, />}. Инверсияобладает некоторыми интересными свойствами. В частности, нетрудно проверить, чтопри двукратном применении инверсии к определенному множеству литералов будетполучено то же самое множество, т.е. Inv(Inv(S)) = S.
Теорема.Новое базовое суждение A®Bявляется корректной гипотезой в корректной E‑структуре G, если совместнособлюдаются два равенства:
AÑÇBD = Æ;
AÑÇInv(BD) = Æ.
Доказательство.Предположим, что AÑÇBD ¹ Æ. Это означает, что существует некоторый литерал W, которыйодновременно принадлежит и AÑ, и BD.Отсюда следует, что W является предшественником литерала A и потомком литералаB. Поэтому, когда литералы A и B соединяются дугой A®B (т.е. мы добавляем гипотезу вструктуру), то получается, что через литералы A и B существует путь из W в W,что означает коллизию цикла. Таким образом, необходимость условия (i) доказана.Предположим, что AÑÇInv(BD) ¹ Æ. Это означает, что существует литерал W, такой, что Wявляется предшественником A, а /> – потомком литерала B. Тогда придобавлении гипотезы A®B вструктуру появляется путь из W в />, что означает коллизию парадокса.Таким образом, необходимость условия (ii) доказана. Конец доказательства.
Издоказательства теоремы ясно, что в структуре имеется коллизия цикла в томслучае, когда не соблюдается условие (i), а коллизия парадокса, — когда несоблюдается условие (ii).
Рассмотрим,как можно использовать теорему 5 для решения предыдущей задачи. Предположим,нам надо проверить корректность гипотезы B®/>. Строим для этих литераловсоответствующие конусы:
BÑ={A, B}; />D = {/>,/>,/>}; Inv(/>D) = {A, B, C}.
Проверяемусловия теоремы 5: BÑÇ/>D = Æ; BÑÇ Inv(/>D) = {A, B}.
Отсюдаследует, что при добавлении гипотезы B®/>в структуру коллизии цикла необразуется, зато появляется коллизия парадокса.
Проверканасыщенности даже простой системы является весьма трудоемким занятием и здесьцелесообразно воспользоваться вычислительными возможностями компьютера. Однакоимеются классы E-структур, насыщенность которых легко распознается без нудногоперебора. К этому классу относятся, в частности, все E-структуры, у которыхдиаграмма Хассе содержит две не пересекающиеся друг с другом максимальные цепи,т.е. пути, началом которых являются минимальные элементы структуры. Например,если мы построим диаграмму Хассе какой-то E-структуры и увидим такую картинку(рис. 6), то можем смело без всяких проверок утверждать, что эта системаявляется насыщенной.
/>
Рис. 6
Нетрудноубедиться, что к данному структурному классу относится также и система,насыщенность которой мы только что проверили методом перебора. К этому классуотносятся почти все примеры полисиллогизмов, приводимые в учебниках по логике.Вместе с тем, этот класс является всего лишь частным случаем E‑структур исоответствующих им рассуждений, т.е. возможны классы E-структур, у которыхсхемы будут более запутанными. Далее будут рассмотрены E‑структуры, длякоторых проверка насыщенности не является такой простой процедурой. Приведемопределения и соотношения, которые после предшествовавшего анализа будут болеепонятными.
Для заданнойE-структуры любое суждение, содержащее только пару различных базовых терминовэтой E-структуры и не содержащееся в ее CT-замыкании, называется базовымневыводимым суждением.
E-структураявляется насыщенной, если добавление в нее любого базового невыводимогосуждения вызывает коллизии парадокса или цикла. В противном случае такаяструктура является ненасыщенной.
Дляненасыщенных E-структур любое ее базовое невыводимое суждение, не вызывающее вэтой E-структуре каких-либо коллизий, называется базовой корректной гипотезойэтой E-структуры.