КурсоваяРабота
Подисциплине: математическая экономика
Натему: «Пространство товаров. Цены»
Выполнил:
Проверил:
2009
Оглавление
Введение
1.Векторы
2.Линейные пространства
3.Пространство товаров, цены.
4.Пространство товаров и система предпочтений
5.Потребительская корзина
Заключение
Списокиспользованной литературы
Введение
Сегодня товаромназывают всё, что можно продать[1]. Частьсовременных товаров невозможно отнести к предметам: электроэнергия, информация,квоты, рабочая сила. Часть товаров никогда непосредственно не удовлетворяетчеловеческих потребностей и не используется в технологических процессах: ценныебумаги, деньги (особенно бумажные и электронные). Над частью товаров покупателине получают полного права собственности: компьютерная программа, фонограмма,видеокассета. Сегодня самостоятельным товаром может выступать любое право начто-либо. При изготовлении вещи сразу же возникают различные права на эту вещь.В начале развития товарного обмена сама вещь была носителем всех прав, которыепередавались вместе с передачей вещи и отдельно не вычленялись. Возможно,первым отделилось право пользования в виде аренды. Организационное,юридическое, техническое развитие общества позволило разделить некогда единоеправо собственности на большое число отдельных прав и независимо друг от другапередавать их от одного лица к другому. Сегодня вещь часто передается какприложение к приобретённому праву (полной собственности, пользования,прослушивания). Таким образом, товаром можно назвать передаваемое другому лицуправо на что-либо, которое может сопровождаться передачей вещей.
Пространство товаров— множество всех возможных наборов благ (товаров), потенциально доступныхпотребителям – ключевое понятие мат. экономики, которое мы подробнее рассмотримв данной курсовой.
1.Векторы
Векторомназывается упорядоченный набор чисел. Так, (1, 3, 7) есть вектор. Обозначим егократко P тогда Р = (1, 3, 7).Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в наборе называются компонентами,вектора. Так, в векторе Р число 1 есть 1-я компонента, число 3 — 2-я, число 7 — 3-я компонента. Число компонент вектора называется его размерностью.Следовательно P — трехмерный вектор.
Пример 1.Пусть завод производит мужские, женские и детские велосипеды. Тогда объем егопроизводства V за год можно записать как вектор (M,L, D),где М – объем производства за год мужских велосипедов, L – женских, D– детских. Например пусть объем производства в 1996 году был V96= (1000, 800, 4000). Предположим, что план производства на 1997 год на 10%больше объема производства в 1996 году, тогда этот план есть вектор V97= (1100, 880, 4400). Пусть торговая фирма «Велосипеды» покупает половину всейпродукции завода, тогда в 1996 году она купила W = (500, 400, 2000).Предположим, что в стране всего 3 велосипедных завода, объемы производствакоторых в 1996 году были Q1 = (1000, 800, 4000), Q2= (1000, 600, 2000), Q3= (2000, 1600, 8000). Тогда все три завода произвели Q= (4000, 3000, 14000), т.е. 4000 мужских, 3000 женских, 14000 детскихвелосипедов. Можно также отметить, что Q3=2Q1,т.е. третий завод произвел в 2 раза больше велосипедов каждого вида, чем первыйзавод.
Приведенные вышевекторы V96, V97,W, Q1,Q2,Q3и т.д. – это примеры конкретных векторов. Произвольный трехмерный вектор можнообозначить (x1,x2,x3)или кратко X. В векторе Хкомпонента х1 есть первая компонента, х2 – вторая, х3– третья. Произвольный четырехмерный вектор можно обозначить (х1, х2,х3, х4), и если n – какое-нибудь натуральное число, то (х1,…, хn) обозначает произвольный n-мерныйвектор.
Векторы бывают двухвидов – векторы-строки и векторы-столбцы. Все вышеприведенныебыли векторы-строки. Векторы-строки записываются в виде упорядоченной строки, авекторы-столбцы в виде упорядоченного столбца (нумерации компонентвектора-столбца идет сверху). По типографским соображениям удобнее иметь дело свекторами-строками. Однако иногда необходимо использовать векторы-столбцы.Векторы широко используются во всех областях науки, в том числе вэкономической. Многие обозначения при использовании векторов очень компактны,при этом не теряют в наглядности и содержательности.
Примечание 1.Вообще-то в математике понятие «вектор» многозначно. Уже в школе в курсе физикивектор понимался как направленный отрезок с фиксированным началом (точкойприложения силы). В геометрии иногда под вектором понимается преобразованиеплоскости или пространства специального вида (перемещение). В дальнейшем такоепонимание вектора иногда будет использоваться.
Примечание 2.В математике понятие «вектор» может обозначать упорядоченный набор не толькочисел, но и любых объектов, т.е. когда 1-я компонента вектора обозначает (илиесть) элемент некоторого множества M1,2-я компонента — элемент множества М2 и т.д. Это более общее понятиевектора.
В примере 1 мы ужеумножали вектор на число. Действительно, Q3 = 2Q1,. Вэтом же примере мы сложили три вектора Q1 + Q2 + Q3и получили их сумму Q. Действия с векторами очень естественны и весьма напоминаютобычные действия с числами. Можно сказать, что действия с векторами являютсяестественным распространением действий над числами на более широкую область.
Любой вектор можноумножить на любое число. Для этого каждая компонентавектора умножается на это число и эти произведения образуют вектор-результат.
Умножим вектор U = (2,3) на 3, Получим вектор (6, 9). Его естественнообозначить 3U.
Умножим вектор Q1 — (1000, 800, 4000) на 2. Получим вектор (2000, 1600, 8000), равный Q3.Итак, Q3= 2Q1,что и послужило нам основанием сказать выше, что 3-й велосипедный заводпроизвел в 2 раза больше велосипедов, чем 1-й, (Иногда, впрочем, при умножениивектора содержательный смысл вектора-результата теряется. Например, приумножении вектора Q1,на 1/3 в векторе-результате 2-я компонента не целое число и ее нельзятрактовать как число велосипедов.)
Любые два вектора однойразмерности можно сложить. Для этого складываются первыекомпоненты, затем вторые и т.д. Эти суммы образуют вектор-результат.
Сложим вектор Q1= (1000, 800, 4000) и Q3= (2000, 1600, 8000).
Получим вектор К =(3000, 2400, 12000). Проверьте, что К = 3Q1.
Однако векторы разнойразмерности складывать нельзя.
Операции умножениявектора на число и сложения векторов обладают следующими свойствами:
а) сложение векторовассоциативно, т.е. (Х+ Y) + Z= Х + (Y+Z) — это свойствопозволяет складывать любое конечное число векторов (так, в примере 1 быланайдена сумма трех векторов Q1 + Q2 + Q3
б) сложение векторовраспределительно по отношению к умножению на число, т.е. λ (Х + Y)= λ X+ λY.
Не будем описыватьнекоторые дальнейшие свойства операций над векторами, скажем лишь еще раз осходстве операций над векторами с обычными операциями над числами.
Но есть и некоторыеотличия операций над векторами от операций над числами. Так, для любых чисел аи b ≠ 0 можно узнать, «во сколько раз» aбольше b, т.е. найти а/b.Но для двух векторов это сделать, в общем, нельзя. Например, для Е = (7, 1) и N= (1, 1) нет такого λ, чтобы Е = λN.
Два вектора называютсяравными, если они равны покомпонентно, т.е. если равны их первые компоненты,вторые и т.д. Итак, если Х =(x1,…, xn),Y =(y1,…, yn),то Х = Y если и только если хn= yn. Как видно изопределения равенства, лишь для векторов одинаковой размерности можно говоритьо равенстве или неравенстве этих векторов. Для векторов разной размерностиговорить об их равенстве бессмысленно.
Описанные действия свекторами были иллюстрированы на примере векторов-строк. Действия свекторами-столбцами точно такие же, в результате получаются, конечно, такжевекторы-столбцы. Векторы-строки и векторы-столбцы одинаковой размерностисвязаны операцией транспонирования. Она превращает вектор-строку ввектор-столбец и, наоборот, вектор-столбец в вектор-строку. Эта операцияобозначается верхним индексом т. Пусть U=(2, 3), тогда UT= (23). Легко понять, что операция транспонирования,осуществленная последовательно дважды, дает исходный вектор: (XT)T= X, каков бы ни был вектор X — строкаили столбец.
Скалярное произведениевекторов. Пусть Х =(x1,…, xn),Y =(y1,…, yn)— векторы одинаковой размерности, тогда число x1y1+ … + xnynназывается скалярным произведением векторов Xи Y и обозначается X·Y.Приведем без доказательств (они очень просты) свойства скалярного произведения:
а) Х· = Y·X;
б) Х· (Y+ Z) = Х·У +Х·Z
в) Х· (λY)= λ (Х·Y) для любых векторов X, Yи любого числа λ.
2.Линейные пространства
Линейная зависимость инезависимость векторов. Пусть Rnобозначает множество всех n-мерных векторов-строк. Заметим, что это не простомножество — Rnнесет определенную структуру. Именно любой вектор Х∈Rn можно умножитьна любое число λX и результат — вектор λX есть снова элементмножества Rn.Сумма двух и даже любого конечного числа векторов из Rnснова есть элемент Rn.Кроме того, операции умножения вектора на число и сложения векторов связаныдруг с другом определенными соотношениями (см. п. 2).
Во множестве Rnесть уникальный вектор 0 = (0, ..., 0). Его роль вполне аналогична роли числа 0во множестве чисел. Так, 0·X= 0 и X+0 = Xдлялюбого Х∈Rn.
Вектор X,удовлетворяющий неравенству X > 0, называется неотрицательным.Неотрицательный вектор — это в точности тот, все компоненты которогонеотрицательны. Вектор (2, 3) является неотрицательным, а вектор (-2, 4) — нет,ибо его 1-я компонента не является неотрицательным числом.
По всем этим причинам Rnназывают n-мерным числовым (или арифметическим)линейным пространством. Слово «числовое» в названии линейного пространстваподчеркивает, что элементами такого пространства являются векторы, компонентыкоторых есть числа.
Вектор В = (b1,…, bm) называется линейнойкомбинацией векторов A= (a11,…, am1),…, An = (a1n,…, amn) той же размерности,если найдутся числа х1, ..., хnтакие, что В = x1A1+… + хnАn.Следовательно, чтобы узнать это, надо решить систему из m линейныхалгебраических уравнений (СЛАУ) с nнеизвестными:
/>
Узнаем, например,является ли вектор F = (1, 6) линейной комбинацией векторов H1= (1, 2), H2= (0, 2). Получаем совсем простую СЛАУ:
/>
Ее решение: х1= 1, х2 = 2. Следовательно, F= H1+ 2H2.
Система векторовназывается линейно зависимой если какой-то вектор системы есть линейнаякомбинация остальных векторов системы, и линейно независимой в противномслучае, т.е. когда никакой вектор системы не является линейной комбинациейостальных векторов системы.
Например, система изтрех вышеприведенных векторов F1,H1,H2линейно зависима, ибо F= H1+ 2H2
Пусть A—какая-нибудь система векторов, тогда ее подсистема ε называется базисомэтой системы, если ε линейно независима, и любой вектор системы Aесть линейная комбинация векторов из ε.
Пусть ε = (E1,…, En). Если B∈A, то B= λ1E1+… + λnEnпринекоторых λ1, …, λn
Линейная комбинация λ1E1+… + λnEnназывается разложением вектора В по векторам E1…En, а числа λ1,..., λnназываютсякоэффициентами этого разложения.
Эти коэффициентыназываются координатами вектора в базисе ε.
3.Пространство товаров, цены
Под товаромпонимается некоторое благо или услуга, поступившие в продажу в определенноевремя и в определенном месте. Будем считать, что имеется nразличных товаров, количество i-готовара обозначается хiтогда некоторый набор товаров обозначается X = = (x1,…,хn). Как известно,упорядоченный набор n чиселназывается n-мерным вектором, такчто X есть n-мерный вектор.Вообще-то набор товаров надо считать вектором-столбцом, но по соображениямэкономии места будем изображать его вектором-строкой. Будем рассматривать, какправило, только неотрицательные количества товаров, так что хi≥0 для любого i = 1, … ,nили Х≥ 0.
Множество всех наборовтоваров называется пространством товаров С. Это множествоназывается пространством потому, что в нем можно сложить любые два набора иумножить любой набор товаров на любое неотрицательное число. Возможностьумножения набора товаров на любое неотрицательное число отражает предположениео безграничной делимости и умножении товаров (т.е. товары устроены наподобиесахарного песка, а не авианосцев). Набор товаров можно трактовать, как корзину,в которой лежат эти товары в соответствующем количестве. Аналогичноинтерпретируются и операции с наборами товаров.
Решение потребителя опокупке определенного набора товаров математически — выбор конкретной точки впространстве C.
Пример 2.Пространство товаров С представляет собой часть арифметического линейногопространства Rn— так называемый неотрицательный октант, С = {X ∈Rn: X≥ 0}.Поэтому при работе с пространством товаров можно использовать структурулинейного пространства (соблюдая некоторые естественные ограничения). Так, длялюбого X Є С подмножество LX= {λX: 0 ≤ λ} называется лучом, проходящим через X;для любых двух точек X,Y любая точка αХ + βY∈С называется их линейной комбинацией, а множество [X, Y] = {αХ +βY: α, β ≥0, α + β = 1} называется отрезком, соединяющим X и Y.Подмножество W ≤ С является выпуклым, если вместе с любыми X,Y ∈W весь соединяющий их отрезок лежит в W.
Предполагается, чтокаждый товар имеет цену. Все цены строго положительны. Пусть цена единицы i-готовара есть рi,тогда Р = (pi,…, рn)есть вектор-строка цен.
Для набора товаров X ивектора цен Р их скалярное произведение РХ = р1x1+… + рnxnесть число, называемое ценой набора Xили его стоимостью, и будет обозначаться С(Х).
/>
Пример 3.Отношение равной стоимости разбивает все пространство товаров нанепересекающиеся классы (для случая двух товаров см. рис. 1). Пусть вектор ценесть (2, 3), тогда класс наборов стоимости 30 есть отрезок АВ, а стоимости 60есть отрезок MN. Стрелка показывает направление увеличения стоимости наборов. Вкачестве этой стрелки можно взять вектор цен.
С обыденной точкизрения каждый товар должен быть желателен для участников экономики и долженобладать определенной потребительской полезностью. Это свойство товароввыражается в некоторой мере через цены на них.
Пусть вектор цен естьР. Зафиксируем какую-нибудь денежную сумму Q и назовем ее доходом.
Множество наборовтоваров стоимости не более Q при данных ценах Р называется бюджетныммножеством В; множество наборов товаров стоимости ровно Q называется границейG этого бюджетного множества.
Бюджетное множество иего граница зависят от цен и дохода, так что точнее их было бы обозначать В(Р,Q) и G(P, Q).
Бюджетное множество иего границу можно определить так:
с помощью обычныхнеравенств и равенств —
В(Р, Q) = {(x1,..., хn): х1…, хn≥0, p1x1+… + pnxn≤Q)
G(P, Q) = {(x1,..., хn): х1…, хn≥0, p1x1+… + pnxn= Q);
с помощью векторныхнеравенств и равенств —
В(Р, Q) = {Х: Х> О,РХ О, РХ= Q).
Для случая двух товаровсм. рис. 1.
При Р = (2, 3) и Q = 30бюджетное множество В(Р, Q) есть треугольник ОАВ, точка Aимеет координату Q/p1 = 15, точка В — Q/p2 = 30. ОтрезокАВ есть граница бюджетного множества, отрезок АВ перпендикулярен вектору цен.При увеличении Q граница бюджетного множества движется в направлении векторацен. При изменении цен об изменении бюджетного множества можно судить подвижению точек А(р1) = Q/p1, B(p2) = Q/p2.
Бюджетное множествовыпукло, ограниченно и замкнуто.
Граница бюджетногомножества также есть выпуклое, ограниченное и замкнутое множество.
4.Пространство товаров и система предпочтений
Одним из основныхэлементов — участников экономики — является домашнее хозяйство, определяемоекак некоторая группа индивидуумов, выступающая как единое целое, распределяющаясвой доход на покупку и потребление товаров и услуг. В общем, участникэкономики, рассматриваемый с этой точки зрения, называется потребителем.Проблема рационального поведения потребителя заключается в решении вопроса отом, какие количества товаров или услуг он хочет и может приобрести призаданных ценах и его доходе.
Специально отметим, чтосуществуют разные точки зрения на роль индивидов-потребителей. Внеоклассической экономической теории эта роль является основной, определяющей.Вся остальная экономика вырастает из желаний и потребностей такого индивида.
Выше быласформулирована аксиома потребителя, полностью описывающая его поведение ввопросах потребления. Эта аксиома чрезвычайно упрощает анализ поведенияпотребителя.
Выбор потребителемнекоторого набора товаров во многом зависит от его вкусов, желаний.
Запись y≤x означает, что потребитель предпочитаетнабор x набору yили не делает между ними различий, запись x~ y – оба набора обладают одинаковойстепенью предпочтения.
Потребуем выполнениеследующих аксиом:
1) x≥x, для любого x(рефлексивность);
2) если x≥y, y≥z, то х ≥ z(транзитивность);
3) для любой пары x,y либо x≥y, либо y≥x, либо и то и другое.
Кроме аксиом 1 – 3 наотношение предпочтения накладывают ряд других ограничений, главными из которыхявляются непрерывность и ненасыщаемость.
Отношение предпочтения fназывается непрерывным на множестве Х, если множество { (x,y)| x ≥y } является открытым подмножествомдекартова произведения X×X, т.е. если набор товаров x0строго предпочтительнее набора y0,то при малом изменении каждого из этих наборов отношение строгого предпочтениясохраняется.
Точкой насыщенияназывается наиболее предпочтительный набор х ∈Х, т.е. такой, что x≥y для всех х ∈Х. Если Х не содержит точки насыщения, то говорят, что имеет местоненасыщаемости, то х > у (ненасыщаемость: больший набор всегда предпочтительнееменьшего).
На непрерывном множествепотребительских наборов можно задать числовую функцию u(x).
Функция u(x),определенная на множестве Х, называется функцией полезности, соответствующейотношению предпочтения f,если u(х) ≥ u(у)тогда и только тогда, когда xf y.
Для каждого потребителятакое представление многовариантно.
Математики называютотношение рефлексивным, если X симметричным,если X транзитивным, если X совершенным (или полным), если для любых двухнаборов X, Y либо X
Аксиома.
1) Отношение слабогопредпочтения рефлексивно, транзитивно и совершенно;
2) Отношениеравноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно;
3) Отношениепредпочтения транзитивно;
4) Для любого X ∈С множество предпочтительности РX={Y:X
5) Каждый товаржелателен для индивида: если X ≤ Y,то и X ≤ Y, а если к тому же Х ≠ Y(т.е. хi
Подчеркнем, что этоименно аксиома, выражающая фундаментальные свойства системы предпочтенийиндивида, вообще говоря, живого человека. Что касается рефлексивности исовершенности, то они представляются вполне понятными. Ведь рефлексивностьозначает, что любой набор товаров равноценен сам себе. А совершенность означает,что индивид в состоянии сравнить по привлекательности любые два набора товаров.Пятое свойство также понятно и в разъяснениях не нуждается.
Какой смысл в четвертомсвойстве системы предпочтений? Выпуклость означает, что лучше иметь комбинациютоваров, пусть в меньших количествах, чем просто только какой-то один из этихтоваров (лучше иметь немножко соли, сахара, кофе, хлеба, чем одну только соль,один сахар, кофе, хлеб, хотя бы и в большем количестве).
Свойствотранзитивности, которым обладают отношения предпочтения и слабого предпочтения,не совсем очевидно, не очень наглядно и не сразу осознается потребителем, ноесли ему объяснить, что получится, если его система предпочтений нетранзитивна, то он согласится, что свойство транзитивности должно быть, ипроизведет необходимую переоценку привлекательности для него тех или иныхнаборов товаров.
5.Потребительская корзина
Положение каждогопотребителя с точки зрения наличия у него товаров, мы можем выразить с помощьюпотребительской корзины. В каждый данный момент времени потребителю доступноконечное число товаров, причем потребление некоторых из них должно быть не нанулевом уровне.
/> –индекс товаров.
/> –индекс потребителя.
/> –количество товаров вида jв системе (запас блага jв системе).
/> –количество товара вида j,находящегося в распоряжении потребителя под номером k.
/> –условие частной собственности (нет ничейных товаров).
/> –векторная величина; набор потребительских товаров у потребителя k.Некоторыезначения могут быть равны 0 (нет товаров).
/>
N=3
Получаем аналог N-мерногопространства, его положительную часть.
Любой точке этогопространства соответствует некий товарный набор. Все возможные товарные наборы,взятые вместе, образуют это пространство – пространство благ. Наша задача: дляотдельно взятого потребителя научиться определять полезность каждого набораблаг. В идеале, хорошо было бы иметь некоторую функцию, где вместо аргументовбыло бы количество благ. Подставляя в нее реальные значения, мы получили быиндекс полезности, с помощью которого могли бы сравнить любые наборы благ. Длябольшинства утверждений мы можем рассматривать товарное пространство наплоскости.
/>
Q1min,Q2min– минимально необходимый набор благ.
B≥A;D≥B;D≥A;C≥A;D≥C;B? С – основная проблема.
Заключение
Понятие пространстватовара является важнейшим в курсе математической экономики и, как мы указали,означает множество наборов товаров. Набор товаров можно трактовать, каккорзину, в которой лежат эти товары в соответствующем количестве. Неотделимо отэтого понятия следует также понятие цены, означающей себестоимость товара +набавки. Цена устанавливается на каждый товар индивидуально и определяет спроси предложение на товар.
Из этихосновополагающих понятий исходят и другие важные понятия математическойэкономики, такие как бюджетное множество, система предпочтений, функцияполезности и т.д…, которые более подробно будут рассмотрены в других работах.
Списокиспользованной литературы
1.В. И. Малыхин «Математика в экономике». Издательство: Инфра-М 2000
2.«Математика в экономике. Основы экономического анализа.». УСЭИ, Челябинск 2001.Составители: Забейворота В.И., Иванова В.Н., Завьялов В.Г.
3.Колемаев В.А. «Математическая экономика». Издательство: Юнити, 1998.
4.Ланкастер К «Математическая экономика». М., 1979.
5.Лифшиц А.Я. «Введение в рыночную экономику», M., 1991
6.«Введение в математический анализ.Учебное пособие по математике для студентоввсех специальностей заочной формы обучения», ГТУ 2007.
7.Н. Н. Данилов «Курс математической экономики». Издательство: Высшая школа, 2006г.
8.ru.wikipedia.org – Википедия свободная энциклопедия
9.mylearn.ru/kurs/29 — Математически модели в экономике
10.www.mathematica.ru