Контрольная работа
по экономико-математическим методам
Задача №1
Условие задачи:
Администрация штата объявилаторги на n строительных подрядов для nфирм. Ни с одной фирмой не заключается более одного контракта. По политическимсоображениям чиновники администрации стремятся не заключать более N крупных контрактов с фирмами, расположенными за пределамиштата. Обозначим через 1,2, …, s крупные контракты, ачерез 1,2,…,t — фирмы, расположенные за пределами штата.Целью является минимизация общих затрат при указанном условии. Постройтесоответствующую данным условиям модель.
Решение:
Пусть х — затраты настроительство, тогда цель задачи «минимизация общих затрат» будетвыражена через функцию
F = x → min
Пусть х1 — затраты настроительство при подряде местных строительных фирм, х2-затраты настроительство при подряде строительных фирм, расположенных за пределами штата.
F = n*х1+n*х2 → min
S*t ≤N
nn ≤1
х1, х2≥0
Задачу минимизации общих затратна строительство можно записать как задачу математического программирования
n n t s
F =∑∑ Cij *Хij+∑∑ Cij*Yij →min
i=1 j=1 i=1 j=1
При ограничениях
Хij ≤ 1; I,j= 1, n
Yij ≤ 1; I,j= 1, n
∑ij≤N; i=1, t; j=1s
Хij, Yij ≥0
Через Хij обозначен факт заключения администрацией штата с i — той фирмой, расположенной на территории штата, j — того контракта (подряда)
1, i — аяфирма заключила — контракт
Хij = 0, i — ая фирма не заключила — котракт
Через Yij обозначен факт заключения администрацией штата i — oй фирмой, расположенной запределами штата, j — того контракта.
Через Cij обозначены затраты на строительство по j- тому контракту с i — ой фирмы.
Целевая функция представляетсобой суммарные затраты. Первые два условия ограничивают количество заключаемыхс одной строительной фирмой контрактов в количестве ≤ 1, третье условиеограничивает количество заключаемых контрактов с фирмами расположенными запределами штата, в количестве не более N, четвертоеусловие очевидно исходя из условия данной задачи.
Задача № 2
Условие задачи:
На звероферме могут выращиватьсячерно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращиванияиспользуется три вида кормов.
Количество корма каждого вида,которые должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице.
В ней же указаны общееколичество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, иприбыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.Вид корма Кол-во единиц корма, которые ежедневно должны получать лисицы Кол-во единиц корма, которые ежедневно должны получать песцы
Общее
кол-во корма 1 2 3 180 2 4 1 240 3 6 7 426 Прибыль от реализации 1 шкурки 16 12
Определить, сколько лисиц и песцовследует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации была максимальной.
Решение:
Введем переменные.
Пусть х — это количество лисиц ипесцов, которое следует выращивать на ферме.
Х1 — это количестволисиц, которое следует выращивать на ферме.
Х2 — это количествопесцов, которое следует выращивать на ферме.
Цель задачи: максимизацияприбыли от реализации шкурок песцов и лисиц. Целевая функция:
F =16х1+ 12х2→ max
Посмотрим как будут выглядетьданные в задаче ограничения:
2х1+3х2≤180 — ограничения корма 1
4х1+х2 ≤240 — ограничения корма 2
6х1+7х2 ≤426 — ограничения корма 3
х1, х2≥0, € Z
После решения задачи в программеXL получены результаты:
57 лисиц и 12 песцов следуетвыращивать на звероферме, чтобы прибыль была максимальной.Задача № 3
Условие задачи:
Найти оптимальное сочетаниепосевов трех продовольственных культур: озимой ржи, пшеницы, картофеля подпосевы отведено 1000га пашни, которая должна использоваться полностью. При этомобщие ресурсы труда составляют 30000 человек. Производство культурхарактеризуется показателями таблицы:показатели Озимая рожь Озимая пшеница картофель Урожайность с 1га, ц 32 40 250 Затраты труда на 1га, человек 16 20 80 Материально-денежные затраты на 1га, руб 214 226 782
По плану требуется произвести32000ц зерна, 40000ц картофеля. Критерий оптимизации — минимизацияденежно-материальных затрат на производство продукции. Решить прямую идвойственную задачи. Провести послеоптимизационный анализ.
Прямая задача:
Пусть х — это количество газанятых под продовольственные культуры, тогда Х1 — кол-во га,занятых под озимой рожью, Х2 — кол-во га, занятых под озимойпшеницей, Х3 — кол-во га, занятых под картофелем.
Целью задачи является — минимизацияденежно-материальных затрат на производство продукции, т.е.
F = 214x1+226x2+782x3 → min
Выделим ограничения,определенные условиями задачи:
x1+x2+x3=1000,16x1+20x2+80x3≤ 30000,32x1+40x2 ≥ 32000,250x3≥ 40000,x1, x2,x3 ≥ 0.
Решаем задачу в программе XL и получаем результат:
Х1, т. е количествога, занятых под озимой рожью=125га.
Х2, т. е количествозанятых га под озимую пшеницу =700га.
Х3, т. е количествозанятых га под картофель=175га.
Это будет оптимальное сочетаниепосевов трех продовольственных культур. Затраты на производство продукциисоставили 825руб.
Двойственная задача:
На первом этапе приведем прямуюзадачу к двойственной задачи.
х1+x2+x3 ≥1000
х1+x2+x3 ≤ 1000
16x1+20x2+80x3 ≤30000
32x1+40x2 ≥ 32000
250x3≥ 40000
x1x2 x3 ≥0
матрица ограничений. Умножаем на- 1.
x1-x2-x3 ≤-1000
x1+x2+x3 ≤1000
16x1+20x2+80x3 ≤30000
32x1-40x2 ≤ — 32000
250x3≤ — 40000
x1,x2,x3 ≥0
транспонированная матрицакоэффициентов ограничения
х1 х2 х3
у1 — 1 — 1 — 1 — 1000
у2 1 1 1 1000
у3 16 20 80 30000
у4 — 32 — 40 0 — 32000
у5 0 0 — 250 – 40000
Целевая функция двойственнойзадачи будет выглядеть следующим образом:
Z = — 1000y1 +1000y2 +30000y3 — 32000y4- 40000y5 → max
y1+y2+16y3-32y4 ≤ 214
y1+y2+20y3-40y4 ≤ 226
y1+y2+80y3-250y5 ≤ 782
решаем ограничения в программе XL