Контрольная работа
по логике
Сущность логической системы
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1 Логическое осмысление континуума
2. Расширение классической логики как следствие ее ограничения (переводыи погружения)
3 Алгебраизация логики
4 В поисках логической системы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Введение
Два традиционных направления развитиялогики остаются пока непоколебимыми. Это, с одной стороны, синтаксическоенаправление, проявившееся в наибольшей степени в фундаментальной работе Д. Габбаяи получившее название “labelled” дедуктивные системы, а также непрекращающиесяпопытки максимально обобщить генценовские исчисления. И в первом и во второмслучае ставится цель единообразного охвата наибольшего числа различныхлогических систем и даже различных направлений в логике. С другой стороны, остаетсянеизменной тенденция в выработке единого семантического основания для возможнобольшего разнообразия логических систем. На IX Международном конгрессе пологике, методологии и философии науки Г. фон Вригт констатировал: “С логикойслучилось то, что она расплавилась в разнообразных исследованиях математики…”.
На самом деле это титанические усилиястрогой науки представить в совершенно точных терминах понятие “логическойсистемы” и удовлетворить требования компьютерных наук в вопросе о том, чтотакое дедуцирование? То, что с применением аппарата универсальной алгебры, сразвитием теории категорий и с возрастающими потребностями в вычислениях иобработке информации представления о логических системах и о самой логикепринимают всё более абстрактный характер, как раз говорит о непостижимойглубине данной науки, а может быть даже о некоторой тайне, скрываемой в недрахлогического универсума.
Открытым остается главный вопрос:представляет ли собой логика как таковая некоторую единую конструкцию или этодаже невозможно для систем искусственного интеллекта? Один из основных итоговсовременного развития логики как раз заключается в постановке этого вопроса.
1 Логическое осмысление континуума
Одновременно с оформлением классическойлогики, с построением на её основе грандиозного здания “Principia Mathematica”и с появлением первых метатеорем для двузначной пропозициональной логики(непротиворечивость, дедуктивная полнота, функциональная полнота), — наряду со всем этим проявляетсятенденция к критике самих оснований классической логики. Это критика законаисключенного третьего Л. Брауэром и критика закона непротиворечия, начатаяв 1910 г. Я. Лукасевичем и Н. А. Васильевым (см. [Васильев1989]). В 1912 г. К. И. Льюис строит новую теорию логическогоследования взамен теории материальной (классической) импликации, изложенной вPrincipia Mathematica. Исходным мотивом Льюиса было избавиться от такназываемых парадоксов материальной импликации. В результате вводится новаяимпликация, названная им “строгой”. Особо обратим внимание на серьезную критикуЛукасевичем в начале 20-х годов принципа двузначности (бивалентности) взнаменитой статье “О детерминизме”. В итоге, соответственно, появляютсяинтуиционистская логика Гейтинга, паранепротиворечивые логики, модальные логикиЛьюиса, трехзначная логика Лукасевича с её конечнозначные обобщения.
То, что эпоха бурного развитияклассической логики вплоть до великих ограничительных теорем К. Гёделяначала 30-х годов совпала с появлением и развитием различных неклассическихнаправлений в логике, факт сам по себе примечательный. Но долгое время ему непридавали особого значения, поскольку классическая первопорядковая логикасчиталась и в основном считается и сейчас образцом математических рассуждений,а всё остальное от лукавого (и даже интуиционистская и конструктивная логики,представители которой бросили наиболее серьезный вызов классикам), покаУ. Куайн не ввел термин “девиантная” логика, т.е. логика альтернативная кклассической.
Применимость классической логики встрогих научных рассуждениях и особенно применимость ее в компьютерных наукахоказались настолько плодотворными и впечатляющими, что ряд феноменов,проявившихся в логическом универсуме, вообще остался без внимания.
Во-первых, это множественность логик. Сначала появление различныхклассов конечнозначных логик и пяти льюисовских модальных систем S1 — S5 не навело на особыеразмышления. Но тогда же К.Гёдель заметил, что существует счётное число логикмежду интуиционистской логикой H и классической C2, которые впоследствии получили название суперинтуиционистскихлогик (si-логики). А это уже было событием в логическом мире. Исходя из этогофакта Т. Умезава в 1955 г. начинает изучение целых классов логик.Параллельно С. Скрогс описывает нормальные расширения модальной логикиЛьюиса S5, а М. Дамметт иЕ. Леммон рассмотрели логики между S4 и S5 и перевод si-логик в них.
Появляются всё новые логики, каждая изкоторых представляет особый интерес, например, цепная логика Дамметта LC или модальная логикаГжегорчика Grz. Всередине 60-х годов в результате критики “парадоксов” строгой импликации Льюиса(т. е. истина следует из чего угодно и из лжи следует всё, что угодно)оформляется релевантное направление в логике во главе с системой R; добавление к R “безобидной” аксиомы приводит к логике RM с весьма необычнымисвойствами.
Анализируя объекты (логики) той же самойприроды, например из класса si-логик, мы надеемся изучить и понять саму природуданного феномена и подняться на новый уровень знания. Поэтому открываютсяразличные способы конструирования новых логик из данного класса с заданнымисвойствами. Так, Т.Хосои вводит понятие “слоя” для классификации si-логик. Втечение долгого времени оставалась надежда найти полное описание решеткимодальных и si-логик — тогда можно было бы “обозреть” любую логику и даже, может быть,представить их в виде исчисления.
В итоге, критика “основных” законов ипринципов классической логики привела к феномену логической континуальности,выраженному как в континуальности самих классов логических систем, так и в наличииконтинуальности замкнутых классов логических функций. Отсюда возникает вопрос,является ли логическое мышление человека дискретным или континуальным? Ответ наэтот вопрос также зависит от того, что мы понимаем под логикой или логическойсистемой. И в рамках одной ли логической системы мыслит человек?
2 Расширение классической логики какследствие ее ограничения (переводы и погружения)
Если изучение функциональных свойств(замкнутые классы, полнота, предполнота, базисы и т.д.) является прерогативойспециалистов в области дискретной математики, инженеров, программистов,физиков, то изучение логики как объекта в виде исчисления относится к сфере“чистой” логики.
Указанная в предыдущем разделе критиказаконов и основ классической логики носила бескомпромиссный характер в своейтенденции ограничить сферу последней, но никто из перечисленных авторов не могдаже предположить, что на самом деле неявным образом происходит процессрасширения средств и аппарата классической логики C2. Из результатаВ. Гливенко о погружении C2 в H следует, что интуиционистская логика даже “богаче” C2. Более того, Гёдельпоказал, что классические законы, включающие только отрицание, конъюнкцию иквантор всеобщности, являются интуиционистскими законами. Поскольку импликация,дизъюнкция и квантор существования определяются через указанные“интуиционистские” логические связки, то можно строго утверждать, чтоклассическая логика предикатов есть подсистема интуиционистской, а значит,вторая есть расширение первой. Гёделем был также предложен метод аксиоматизациильюисовских модальных систем как расширение C2. Оказалось, что n-значные логики (в том числе и предикатные) аксиоматизируютсяподобным образом. Одним из самых первых примеров в этой области являетсяаксиоматизация в 1971 г. трехзначной логики бессмысленностиД. А. Бочвара B3, которая по своим функциональным свойствам слабее Ł3, в то время как Ł3 не является функциональнополной. Уже в 1938 г. Д. А. Бочвар при построении B3 выделяет еётрехзначный фрагмент, изоморфный C2, т. е. этот фрагмент верифицирует всю классическуюпропозициональную логику. Уже отсюда следует, что B3 можно строить наоснове C2. Отметим также, что ирелевантная логика R может быть построена на основе C2 (отрицание де Моргана заменяется на булево отрицание).
Погружение или перевод одной логическойсистемы в другую (первым примером которого является теорема Гливенко) к концунашего века становится темой тщательного исследования. Самое общее понятиеперевода состоит в следующем: cистема S переводима в S', если существуетфункция (возможно, но не необходимо отображение) между двумя универсумамирассуждений, которая сохраняет (по крайней мере, в одну сторону) отношениедедуцируемости.
Исследование переводов логических системобеспечивает: новые семантики для неклассических логик, сводитметаматематические и металогические свойства одной системы к другой, чтобыполучить нужные результаты, позволяет точно выявить смысл дуальности междулогиками (в первую очередь это относится к интуиционистской логике), проясняети выявляет взаимоотношения между совершенно различными логическими системами.
3 Алгебраизация логики
Одновременно с традицией развития логикикак дедуктивной системы, идущей от Фреге, Уайтхеда и Рассела, развивалсясовершенно другой подход к логике, наиболее полно выраженный Э. Шрёдером вего трехтомных “Лекциях по алгебре логики” (1890-1905). В третьем томеразвивается исчисление отношений и вводятся кванторы, но нигде нет понятияформального доказательства. Предшественники Шрёдера Дж. Буль,В. Джевонс и Ч.С. Пирс, впервые применили алгебраические методы клогике. Отсюда и сам термин “алгебра логики”.
Первоначально алгебра логики имела своимпредметом классы (как объемы понятий), соотношения между ними по объему исвязанные с этим операции над ними. Поэтому исследования в области теориимножеств сыграли существенную роль в становлении алгебры логики. Впоследствииосновным предметом алгебры логики стало изучение свойств логических операцийнад множеством высказываний, рассматриваемых лишь со стороны их логических значений:исследуются равносильности между формулами, приведение к нормальным формам,минимизация формул и т.д.
Постепенно были выделены основныесвойства (классических) логических операций в виде некоторого количестватождеств (равносильностей). В совокупности эти тождества образовали конструкциюпод названием “булева алгебра”. Изящной аксиоматизацией класса булевых алгебрявляются пары тождеств из раздела 5: (II), (III), (IV), (V) и (B1), (B2). Одноиз тождеств (V) выводимо. Таким образом, булева алгебра есть результаталгебраической формализации классической логики высказываний.
Несмотря на простоту формулировки булевыалгебры исключительно богаты по своему содержанию и давно превратились всамостоятельный раздел абстрактной алгебры. Они нашли самое широкое применениев логико-математических исследованиях, в области инженерии контактно-релейныхсхем, компьютерных наук, аксиоматической теории множеств, теории моделей и вдругих областях науки и математики.
Результатом алгебраической формализациилогики предикатов явились “цилиндрические алгебры”, введенные в 1961 г.Л. Хенкиным и А. Тарским.
В алгебраизации логики особую рольсыграла оригинальная идея А. Линденбаума (1926/27), который предложилрассматривать формализованный пропозициональный язык как универсальную алгебрус операциями, соответствующими логическим связкам этого же языка. Но самоеглавное, затем строится логическая матрица из формул и логических связок,которые составляют само логическое исчисление. Полное признание этот методполучил в 40-е годы в терминологии “алгебры Линденбаума”, или “алгебрыЛинденбаума–Тарского”.
Постепенно алгебраизация логики привелак появлению нового термина “алгебраическая логика”, который стал названиеммонографии П. Халмоша, где методы и аппарат универсальной алгебры сталисистематически применяться к изучению логики. В следующем году выходит“Математика метаматематики”, а затем книга Расёвой, ставшая классической, вкоторой алгебраические методы применяются к неклассическим логикам. Имеетсяобзор результатов по алгебраической логике.
4 В поисках логической системы
Ровно через сто лет после выхода в светзнаменитой работы Г. Фреге, в которой вводятся предикаты, отрицание,условная связь и кванторы как основа логики, а также введена идея формальнойсистемы, в которой демонстрации должны осуществляться посредством явносформулированных синтаксических правил, после ста лет триумфального развитиялогики как самостоятельной науки появляется статья Я. Хэккинга подназванием “Что есть логика?”. Хэккинг высоко оценивает введениеГ. Генценом структурных правил, работа с которыми позволяет выражать теаспекты логических систем, которые не имеют непосредственного отношения клогическим константам. Статья Хэккинга переиздается и открывает собой большойсборник работ под названием “Что есть логическая система?”, который издается вАнглии и Америке. В этом же году и с тем же названием, что и статья Хэккинга,публикуется философская работа логика с мировым именем Хао, которая открываетсяопределениями логики, начиная от Канта и вплоть до Гёделя, и заканчиваетсяхарактеризацией логики, данной Л. Витгенштейном в 1921 г. в его“Трактате…”: “Логикатрактует каждую возможность, и все возможности суть её факты”.
В этом же году под названием “Что естьистинная элементарная логика?” появляется статья выдающегося логика и философаЯакко Хинтикки, в которой развивается новая концепция первопорядковой логики.
Приходится констатировать, что конецвека и конец второго тысячелетия, а именно 1994 г. стал той критической точкой,когда под неимоверным давлением окончательно рухнула конструкция под названием “классическаялогика”, тем самым ещё раз подтвердив неправоту Канта, который в предисловии ковторому изданию “Критики чистого разума” в 1787 г. писал, что “судя по всему,она (логика) кажется наукой вполне законченной и завершенной”.
Дедуктивная полнота логики предикатовещё более укрепила убеждение Гильберта, что вся классическая математика вконечном счете выразима в первопорядковой логике. К этому времени были ужевыявлены два важнейших теоретико-модельных свойства теорий в первопорядковомязыке:
Теорема Лёвенгейма-Скулема. Если Т имеетбесконечную модель, то Т имеет модель любой бесконечной мощности t, большей или равной мощности теории Т.
Теорема компактности. Пусть Т — произвольное множество аксиом логики.Если для каждого конечного подмножества Т0множества Т существует модель для всех аксиом из Т0, то существует модель длявсех аксиом из Т.
Обе эти теоремы используются длядоказательства неаксиоматизируемости теорий.
Вышеприведенный тезис Гильбертаразделялся и разделяется многими логиками, отдающими предпочтение классическойлогике предикатов перед всеми другими логическими системами. К тому же в1969 г. была выявлена уникальность первопорядковой логики, заключающейся втом, что классическая логика предикатов является наиболее сильной логикой,обладющей свойством Лёвенгейма-Скулема и свойством компактности.
Теорема Линдстрёма даёт определениепервопорядковой логики в терминах её глобальных свойств. Интересно, чтопервоначально результат Линдстрёма не привлёк к себе особого внимания, о чёмговорит издание в 1973 г. знаменитой книги Г. Кейслера иЧ. Ч. Чэна, где эта теорема вообще не обсуждается. Только в третьемиздании уже в предисловии говорится, что этот результат является отправнойточкой для развития абстрактной теории моделей и вводится новый раздел, гдедается определение “абстрактной логики” как пары классов, где l есть класс предложений и л l есть отношениевыполнимости, удовлетворяющее определенным условиям. Наиболее известнымпримером абстрактной логики как раз и является обычная первопорядковая логика,которая обозначается посредством lw ,w .
Абстрактная теория моделей претендует наобозрение всего спектра логик, связей между ними и их сравнение. С начала 70-хгодов эта теория бурно развивается, а Дж. Барвайс назвал результатЛиндстрёма “одним из первых и до сих пор наиболее поразительных результатов вабстрактной теории моделей”.
Имеется много интересных логик, которыебогаче первопорядковой логики, такие, как слабая логика второго порядка,которая пытается построить понятие конечного в логике некоторым естественнымобразом; логики с формулами бесконечной длины; логики с различнымиэкстра-кванторами типа “существует конечно много”, “существует бесконечномного”, “большинство” и т. д.; логики высших порядков. Однако не имеетзначения, как мы будем расширять первопорядковую логику — в любом случае теряется или свойствокомпактности, или свойство Лёвенгейма-Скулема, или оба вместе. Ужевторопорядковая логика, допускающая квантификацию по подмножествам, отношениями функциям, кроме указанных свойств теряет также свойство полноты, и на самомделе является не столько логикой, сколько теорией множеств. Отсюда всятеоретико-множественная проблематика может быть сформулирована вовторопорядковых терминах. Это является основным возражением противвторопорядковой логики в недавно вышедшей монографии, посвященной расширениямпервопорядковой логики, и поэтому автор отдает предпочтение многосортнойпервопорядковой логике, которая является переинтерпретацией второпорядковойлогики или даже логики высших порядков в первопорядковую с различными видамиобъектов. Редукция к первопорядковой логике настолько сильна, что мы приходим крекурсивно-аксиоматизируемому множеству истин. Еще ранее А. Мальцев, ХаоВан и С. Феферман, среди прочих, подчеркивали удобство работы с такойлогикой, хотя, заметим, она только внешне выглядит более богатой. Хорошеевведение можно найти у Фефермана.
Первой работой, поставившей вопрос овведении новых кванторов, является статья А. Мостовского, где на самомделе обсуждаются лингвистические операторы нового вида, представляющие“естественное обобщение логических кванторов”. Идея Мостовского заключается втом, что любое второпорядковое свойство рассматривается как логический квантор,если оно инвариантно относительно биективных преобразований (перестановок).Построение логики с обобщенными кванторами в последние десителетия привлекло ксебе большое внимание лингвистов, математиков, философов, когнитологов.Некоторым итогом развития этого направления является фундаментальный труд“Модельно-теоретические логики”, где Дж. Барвайс приходит к следующемувыводу: “Нет обратной дороги к точке зрения, что логика являетсяпервопорядковой”. А в монографии Г. Шер в связи с данной проблематикойставится вопрос “Что есть логика?”, обсуждаются границы логики и делаетсявывод, что логика шире, чем традиционное мышление.
Появляются всё новые попытки расширенияи изменения первопорядковой логики и построения искомой логической системы.
Заключение
1987 г. появилась логическаясистема под названием “линейная логика”, импликативный фрагмент которойпредставляет собой BCI-логику, т.е. логику без утончения и сокращения. Кроме обычныхопераций линейная логика снабжена различными другими операциями и нашла широкоеприменение в компьютерных науках. За удивительно короткое время образовалосьновое направление.
Логика без утончения, сокращения иперестановки (комбинатор C) есть ассоциативное исчисление Ламбека для грамматическихкатегорий или синтаксических типов. Логики проявили огромный лингвистическийинтерес к этой работе. Хотя первоначально исчисление Ламбека не былопредставлено как новая логика, но получила развитие в чисто логических работах,итогом чего явились полные (full) секвенциальные и гильбертовские исчислениябез указанных выше трех структурных правил (или аксиом). Строится по существуинтуиционистское исчисление без структурных правил, которое автор рассматриваеткак наиболее фундаментальное из всех субструктурных логик и играющее важнуюроль в теоретических приложениях компьютерной науки. На самом деле построениеподобных логик можно считать результатом развития направления, названного“субструктурные логики”, где исчисления получаются за счёт элиминации,ограничения и комбинирования различных структурных правил.
Практическая часть
Провести логический анализ высказываний. Построить ихформулы
1. Все люди, страдающие от подагры, лихорадки или болезни глаз — больны; но не все больные люди страдают от подагры, лихорадки и болезни глаз. Точно также все плотники, башмачники, скульпторы — ремесленники; но не все ремесленники суть плотники, башмачники, скульпторы. Подобным образом и все сумасшедшие неразумны, но не все неразумные люди — сумасшедшие.
Все люди, страдающие от подагры, лихорадки или болезни глаз — больны; — общеутвердительное высказывание «все S есть Р»
но не все больные люди страдают от подагры, лихорадки и болезни глаз. частноотрицательное высказывание: «некоторые S не есть Р».
Точно также все плотники, башмачники, скульпторы — ремесленники; общеутвердительное высказывание «все S есть Р».
но не все ремесленники суть плотники, башмачники, скульпторы. — общеутвердительное высказывание «все S есть Р» общеутвердительное высказывание «все S есть Р».
Подобным образом и все сумасшедшие неразумны, -общеутвердительное высказывание «все S есть Р»
но не все неразумные люди — сумасшедшие. — общеутвердительное высказывание «все S есть Р»
2. Желающие обогащаться впадают в искушение и в сеть и во многие безрассудные и вредные похоти, которые погружают людей в бедствие и пагубу. Либо корень всех зол есть сребролюбие, которому, предавшись, некоторые уклонились от веры и самих себя подвергли многим скорбям.
Превращение являетсянепосредственным выводом, в котором заключение получается путем изменениякачества посылки. Если посылка – утвердительное суждение, то в результатепревращения оно становится отрицательным суждением. Отрицательное суждение,наоборот, превращается в утвердительное.
Все А есть В.
Ни одно А не есть не -В.
3.Роскошь в одно и то же время и вредна для общества, и полезна; ею пользуются,или же в ущерб другим людям, с которыми это лицо стоит в каких-нибудьотношениях, обязывающих его оказывать другим помощь и поддержку; но с другойстороны, роскошь ведет к трате денег, и потому она полезна для общества.
Нестрогая дизъюнкция — такое разделительное суждение, в которомвходящие в него суждения связаны логическим союзом «или», имеющимнеисключительное значение /«или А, или В, или то и другое вместе»/. Здесьистинность одного высказывания не отрицает истинности другого.
4.Мы можем быть счастливы только или отрешившись от страстей; или борясь с ними.- Разделительное/дизъюнктивное/ суждение — суждение, в котором выражается знание того, чтоданному предмету присущ /не присущ/ только один признак из числа указываемых всуждении.
Еслимы отрешаемся от них, то это состояние несчастное, так как оно унижаетчеловека, и мы никогда не можем быть им довольны.
Еслимы боремся с ними, то это тоже положение несчастное, т.к. нет ничего тяжелеетой внутренней борьбы, которую нам постоянно приходится вести с самим собой.
Следовательно,мы никогда не можем быть счастливы.
В том случае, когдаисходные суждения объединяются в сложное логическим союзом «если… то», мыимеем дело с условным суждением. Условным суждением называется суждение, вкотором отображается зависимость явления от определенных условий и в которомоснование и следствие соединяются посредством логического союза «если… то».Логическую операцию связи основания и следствия с помощью союза «если… то»называют импликацией: «Если А, то В».
Список литературы
1. Бузук Г.Л., Ивин А.А., Панов М.И. Наука убеждать: логика ириторика в вопросах и ответах. М.: Высшая школа, 1992.
2. Гжегорчик А. Популярная логика. М.: ИНФРА-М, 1999.
3. Зегет В. Элементарная логика. М.: Мир, 1985.
4. Гетманова А.Д. Учебник по логике. М.: ЭКМОС, 1994.
5. Ивин А.А. По законам логики. М.: Мир, 1983.
6. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. Учебник. М.: Политиздат,1987.
7. Краткий словарь по логике. М.: Дело, Вита-Пресс, 1991.