ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
План1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯВЫСКАЗЫВАНИЙ
2 АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
3 РАВНОСИЛЬНОСТЬ ФОРМУЛ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ. КОНЪЮНКТИВНАЯНОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
4 ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА. ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ
5 СОВЕРШЕННАЯ ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА. СОВЕРШЕННАЯКОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
Литература
1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯВЫСКАЗЫВАНИЙ
Математическая логикастремится к возможно большей точности. Эта цель достигается с помощью точногоязыка, построенного из устойчивых, наглядно воспринимаемых знаков. В исчислениивысказываний используются символы трех сортов:
1. Пропозициональные переменные. Их будем обозначать малыми буквамилатинского алфавита с индексами или без них: x, у, х,..., p, q,…. Различныебуквы обозначают разные суждения, внутренняя структура суждений насинтересовать не будет. Суждения, обозначенные пропозициональными переменными,будут называться высказываниями. Будем полагать, что высказывания удовлетворяютзакону исключенного третьего и закону непротиворечия, т.е. каждое высказываниелибо истинно, либо ложно. Так что каждая переменная у нас будет принимать двазначения: значения «истина» будем обозначать «1», а значение «ложь» – «0».
2. Константы илилогические связи – «―», «Ù», «Ú», «®», «º».
3. Скобки: «(» — леваяскобка и «)» — правая скобка.
С помощью констант(связок) атомарные высказывания соединяются в более сложные высказывания. Такиз двух высказываний p и q с помощью констант образуются высказывания
`p - читается «не-р»
`q — читается «не-q»
pÙq – читается «р и q»
pÚq – читается «р или q»
р®q — читается «если р, то q»
рºq — читается «р тогда итолько тогда, когда q»
Сложное высказывание, образованное с помощью знака «¯» называетсяотрицанием, знака — «Ù» — конъюнкцией, знака «Ú» — дизъюнкцией, знака «®» — импликацией, знака «º» — эквивалентностью. Переменные и сложные высказывания, образованные из нихпосредствам многократного применения логических связок и скобок называютсяформулами исчисления высказываний, если они удовлетворяют трем условиям:
1) Пропозициональная переменная есть формула
2) Если φ и ψ – формулы, то (`φ),(`ψ), (φ) Ù ( ψ), (φ) Ú ( ψ), (φ) ® ( ψ), (φ) º ( ψ) – формулы. Входящие в эти формулы, формулы(φ) и ( ψ) мы будем называть подформулами этих формул.
3) Всякая формула есть либо пропозициональная переменная или образуется изпропозициональных переменных последовательным применением правила 2).
Во избежание ошибок принимаются следующее соглашение об употреблениималых греческих букв φ,ψ,γ,… . Эти буквы не являются знакамиязыка исчисление высказываний и принципиально без них можно было бы обойтись.Они служат лишь для того, чтобы облечь в краткую форму сообщение об исчислении.При таких сообщениях через φ,ψ,γ,… обозначаются любыеформулы, точный формальный вид которых остается неопределенным. Так, (φ)®( ψ) заменяет любую формулу, например((p)Ù(q))→(p) или ((p) → (q))→(p).
Для того, чтобы избежать слишком, большое количество скобок принимаютсяследующее соглашение:
1) Опускаются скобки, объемлющие отдельные переменные.
2) Полагают, что знак конъюнкций связывает сильнее, чем дизъюнкции и вформулах (φÙψ) Ú γ, γÚ(φÙψ)скобки можно опускать. Аналогичные соглашения принимается относительно другихзнаков, т.е. считается, что знак «Ù»связывает сильнее, чем знаки «Ú»,«®», «º»,знак «Ú» сильнее, чем знаки «®», «º»,знак «®» сильнее, чем знак «º». Правда, для легкости чтения формулмы будем иногда отступать от этих соглашений.
Из определения подформулы вытекает, что переменные, входящие в формулу, являютсяее подформулами; формулы, образованные из этих переменных однократнымприменением логических связок, вид которых определяется структурой формулы икоторые выделяются скобками (а также принятыми относительно их употреблениясоглашениями), являются подформулами; формулы, образованные из предыдущихподформул таким же однократным применением логических связок являютсяподформулами и т.д.
2 АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Любая формула алгебры высказываний рассматривается как сложноевысказывание, принимающее значение 0,1. В алгебре высказываний решаетсяследующая задача: определить истинностное значение формулы исчислениявысказываний для любой комбинации истинностных значений входящих в неепеременных. Для решения этой задачи пользуются следующим алгоритмом.
1) Атомарное высказывание, т.е. переменная, может принимать два значения«1» или «0».
2) Значение формул образованных неоднократным применением логических связокк атомарным высказываниям, задается таблицей:р q `p `q pÙq pÚq p→q p≡q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3) Для произвольной формулы сначала задаются все комбинации истинностныхзначений переменных. Затем для каждой комбинации истинностных значенийпеременных вычисляются значение подформул данной формулы, образованных изпеременных однократным применением логических связок, далее вычисляетсязначение подформул, образованных из предыдущих подформул однократнымприменением логических связок и т.д. пока в итоге не найдут истинностноезначение всей формулы.
Так, пользуясь указанным алгоритмом можно легко вычислить истинностноезначение формулы:
((p→q)Ù(q→r))→(p→r)p q r p→q q→r p→r (p→q)Ù(q→r)
((p→q)Ù(q→r)
)→(p→r) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Итак, каждой формуле исчисления высказываний соответствует определеннаяфункция, аргументы которой принимают значение из множества {0,1} и сама она принимает значение из этогомножества. Эту функцию называют функцией исчисления высказываний. Проблемаразрешимости в алгебре высказываний заключается в решении вопроса, является лисложная формула тождественно истинной, т.е. истинной при всех значенияхвходящих в нее переменных, выполнимой, т.е. истинной лишь для некоторого наборазначений переменных, или тождественно ложной, т.е. ложной при всех значенияхпеременных. Это проблема полностью решается посредствам вычисления значенияфункции, представленной данной формулой, с помощью таблиц истинности.
Функция исчисления высказываний выражает логический закон, если являетсятождественно истинной при всех возможных значениях переменных. Так, с помощьютаблицы убеждаемся, что функция рÚ`p выражается логический закон: законисключенного третьего:р `р рÚ`p 1 1 1 1
Аналогичным образом убеждаемся, что функция рÙ`p тожевыражается логический закон: закон непротиворечия:
р `p
рÙ`/> рÙ`p 1 1 1 1
С помощью таблиц истинности можно убедится, что нижеприведенные функциивыражают логические законы:
Закон тождества: рºр (1)
Закон отрицания:
для конъюнкции: рÙ`p (2) (закон непротиворечия)
для дизъюнкции: рÚ`p (21) (закон исключенноготретьего)
Закон идемпотентности:
для конъюнкции: рÙр º р (3)
для дизъюнкции: рÚ р º р (31)
Закон коммутативности:
для конъюнкции: рÙ q º qÙр(4)
для дизъюнкции: рÚ q º qÚр(41)
Ассоциативный закон:
для конъюнкции: (рÙq) Ù r ºp Ù (qÙr ) º p ÙqÙr (5)
для дизъюнкции: (рÚq) Úr ºpÚ (qÚr ) º p Ú qÚr (51)
Дистрибутивный закон:
для конъюнкции дизъюнкций: рÙ(q Ú r) º (p Ùq) Ú (рÙr ) (6)
для дизъюнкции конъюнкций: рÚ(qÙ r) º (pÚ q) Ù (рÚr) (61)
Закон поглощения:
для конъюнкции дизъюнкций: рÙ(q Úр) º p (7)
для дизъюнкции конъюнкций: рÚ(q Ùр) º p (71)
Закон двойственности (теорема де Моргана):
/>для конъюнкции: рÙq º `р Ú`q (8)
/>для дизъюнкции: рÚq º`р Ù`q (81)
/>
Закон двойного отрицания: `р º р (9)
Уже из внешнего вида формул (1) – (9) отчетливо виден двойственныйхарактер этих законов относительно операций конъюнкции и дизъюнкции: если дананекоторая тождественно истинная функция высказывания, в выражении которой невходит знак «®», то при замене всехвходящих в нее знаков «Ú» на «Ù» и «Ù»на «Ú», 1 на 0 и 0 на 1, онаостается тождественно истинной. Запишем, например закон противоречия в формулеp Ù`p≡0 применяя к этому выражению закон двойственности,получим закон исключенного третьего p Ú`p≡1 (91)
3 РАВНОСИЛЬНОСТЬ ФОРМУЛ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ. КОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯФОРМА
Формулы φ и ψ называются равносильными, если формула φ ≡ψ тождественно истина. Например, формула (p Ù`p)Ú q равносильна q, потому чтоформула (p Ù`p) Úq ≡ q тождественно истина (проверку с помощью таблиц истинностипредоставляем читателю). Формулы p Ú`p и qÚ`q также равносильны, потому что тождественноистинна формулы p Ú`p ≡ qÚ`q.
Равносильность формул может быть использована для упрощения формул, т.е.для замены какой-то формулы другой формулой, ей равносильной, (эквивалентной),но содержащей либо меньшее число связок, либо меньшее число переменных, либодругие переменные, либо и то, и другое, и третье вместе взятой.
Из определения равносильности формул следует, что тождества (3) — (9)дают нам правила преобразования исходной формулы в новую, ей равносильную кэтим правилам добавим и другие правила. Так, любую формулу можно заменитьэквивалентной (равносильной) формулой, в которой не содержится знаки «→»,«≡» и в которой отрицание опущено лишь на элементарные высказывания. Спомощью таблиц истинности можно убедиться в эквивалентности следующих формул:
(р ≡ q) ≡ (р → q) Ù(q→р) (10)
р → q ≡`p Ú q (11)
(р ≡ q) ≡ (`p Ú q) Ù(`qÚр) (12)
(р ≡ q) ≡ (p Ùq) Ú (`рÙ`q) (13)
_____
(р → q) ≡ р Ù`q (14)
р Ù1 ≡ р (15)
р Ù0 ≡ 0 (16)
р Ú0 ≡ р (17)
рÚ 1 ≡ 1 (18)
/>р Ùq ≡`р Ú `q (19)
/>р Ú q ≡`рÙ`q (20)
Итак, подобно тому, как в алгебре мы имеем возможность преобразовывать,одно выражение в другое, с какой-то точки зрения более простое (скажем,приводить алгебраическое выражение к удобному для логарифмирования виду,заменять таблицу, задающую определитель, числом и т.д.), мы можем преобразоватьсоставные высказывания. Важное значение в алгебре высказываний имеетпреобразование любого составного высказывания к конъюнктивной нормальной форме.Эта нормальная форма состоит из конъюнкции дизъюнкций, где каждыйдизъюнктивный член является либо элементарным высказыванием, либо егоотрицанием.
На основании установленных эквивалентностей вводим следующие правила:
а1) Со знаками Ú и Ù можно оперировать как в алгебре,пользуясь ассоциативным, коммутативным и дистрибутивным законами;
а2) `р можно заменить р;
/>а3) р Ùq можно заменить выражением`р Ú`q, а р Ú q — выражением`рÙ`q;
а4) р → q можно заменить выражением `p Ú q, а р ≡q – выражением (`p Ú q) Ù(`qÚр).
Например, привести к конъюнктивной нормальной форме формулу:
/>((р Ú q) Ù`q ) Ú(rÙq).
/>Последовательнымприменением правила а3) получаем :
/>/>/>((р Ú q) Ù`q ) Ú(rÙq) ≡((рÚ q) Ù`q ) Ù (rÙq) ≡((р Ú q) Ú`q ) Ù (`rÚ`q)≡
≡ ((`рÙ`q)Ú`q) Ù (`rÚ`q).
Применяя к последней формуле закон дистрибутивности, получаем формулу:
(`р Ú `q )Ù( qÙ`q)Ù (`rÚ`q).
Наконец, применяя правило а2) получаем конъюнктивную нормальную форму:
(`р Ú q )Ù( qÚ`q) Ù (`rÚ`q).
Очевидно, что эта форма определяется не однозначно. Так, используя то,что qÚ`q ≡ 1 и (15), получаем другую конъюнктивную нормальнуюформу первоначальной формулы: (`pÚq) Ù(`rÚ`q)
Запишем обобщения законов поглощения (7):
рÙ( р Ú q1 Ú q2 Ú … Ú qп ) ≡ р (21)
рÚ ( р Ù q1Ù q2 Ù… Ù qп ) ≡ р (211)
рÙ( р Ú q1 )Ù( рÚq2 )Ù …Ù (рÚ qп ) ≡ р (22)
рÚ ( р Ù q1 ) Ú (рÙq2 )Ú … Ú (р Ù qп ) ≡ р (221)
Из них, а также (9), (3), (15)-(18) получаем новые эквивалентности, азначит, правила преобразования, которые позволяют сокращать число переменных,входящих в формулу:
рÚ ( qÙ`q)≡ р (23)
рÙ ( qÚ`q)≡ р (24)
рÚ ( qÚ`q)≡ 1 (25)
рÙ ( qÙ`q)≡ 0 (26)
Используя, справа налево дистрибутивный закон (6), получаем два новыхсоотношения:
(р Ùq) Ú (р Ù r) ≡ р Ù (q Úr) (27)
(р Ú q)Ù (р Ú r) ≡ р Ú (q Ùr) (28)
Например, упростить выражение:
(р Ú q Ú r) Ù (рÚ qÚ`r ).
Применяя (28), учитывая, что rÙ`r ≡ 0 и (17) получаем:
(р Ú q Ú r) Ù (рÚ qÚ`r ) ≡ (р Ú q) Ú (rÙ`r ) ≡ р Úq.
Иногда оказывается полезным для упрощения формулы повторить в нейкакие-то выражения, используя, справа налево законы поглощения (21)-(22).
Например, упростить выражение
(р Ú q)Ù (`рÚ q) Ù (`рÚ`q).
Повторим `рÚ q и,используя (6), (2), (17), (4) получаем:
(р Ú q)Ù (`рÚ q) Ù (`рÚq) Ù (`рÚ`q) ≡ (qÚ(рÙ`р)) Ù(`рÚ(q Ù`q)) ≡ (qÚ0) Ù (`рÚ 0) ≡ qÚ`р≡ `рÚ q.
Иногда для каких-то целей необходимо вводить в формулу новые переменные(буквы). Это делается с учетом тождеств (24) и (25) и законов дистрибутивности(6). Так, в выражение р Ú qможно ввести букву r. В самом деле, используя (3), а также (6), получаем:
р Ú q≡(р Ú q) Ú (r Ù`r ) ≡ (р Ú q Ú r) Ù (рÚqÚ`r )
4 ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА. ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ
Для каждой формулы наряду с конъюнктивной нормальной формой существуетдизъюнктивная нормальная форма. Она состоит из дизъюнкции конъюнкций, в которойкаждый конъюнктивный член является элементарным высказыванием или егоотрицанием.
Преобразование формулы к дизъюнктивной нормальной форме происходитследующим образом: отрицанием первоначальную формулу и приведем ее кконъюнктивной нормальной форме, а затем вновь отрицанием полученное выражениесогласно правилу а3).
Например, привести к дизъюнктивной нормальной форме формулу:
р Ù (р®q).
Отрицаем эту формулу и приводим полученное выражение к конъюнктивнойнормальной форме:
/>/>/>р Ù (р®q) ≡`рÚ (р ®q) ≡`рÚ (`рÚ q) ≡`рÚ(`рÙ`q) ≡(`рÚ`р) Ù(`р Ú`q) ≡≡(`рÚр) Ù(`р Ú`q)
Отрицаем последнее выражение:
______________ ____ ______ _ _ _
(`рÚр)Ù(`рÚ`q) ≡(`рÚр)Ú (`р Ú`q) ≡(`р Ù`р) Ú(`р Ù`q) ≡(рÙ`р)Ú (р Ùq)
Приведение формулы к нормальной форме дает иной, чем таблицы истинностиметод решения проблемы разрешимости.
Чтобы формула была тождественно истинной необходимо и достаточно, чтобы вее конъюнктивной нормальной форме каждый конъюнктивный член содержалэлементарное высказывание вместе со своим отрицанием.
Доказательство получаем из (25)(91) и (15), а такжеопределения конъюнкции. Так формула (р Ú`рÚq) Ù( р Ú `qÚ q) тождественно истинна.
Чтобы формула была тождественно ложной необходимо и достаточно, чтобы вее дизъюнктивной нормальной форме каждый дизъюнктивный член содержал элементарноевысказывание вместе со своим отрицанием. Так формула:
(р ÙrÙ`р)Ú ( р Ù r Ù`r ) тождественно ложна.
Доказательство получаем из того, что р Ù`р≡0, (16) и определения дизъюнкции.
Формула будет выполнимой, если в ее дизъюнктивной нормальной форме естьхотя бы один дизъюнктивный член, который не содержит элементарное высказываниевместе со своим отрицанием.
В самом деле, если это условие для какой-то формулы выполнено, то дляэтого дизъюнктивного члена существует такой набор значения переменных, длякоторого он равен 1. Тогда согласно (18) для этого набора значений переменныхформула принимает значение, равное1.
Например, докажем, что формула р≡ q выполнима. Приводим эту формулук дизъюнктивной нормальной форме:
(р≡ q ) ≡(р® q) Ù(q ®р)≡ (`р Ú q) Ù(`q Úр)≡((`р Ú q) Ù`q) Ú((`р Úq) Ùр) ≡ ≡ (`р Ù`q) Ú(q Ù`q) Ú (`р Ùр) Ú (q Ùр) ≡ (`р Ù`q)Ú (q Ùр) ≡ (q Ùр)Ú(`рÙ`q).
Каждый дизъюнктивный член не содержит элементарное высказывание вместе сосвоим отрицанием. А значит формула р≡ q выполнима.
5 СОВЕРШЕННАЯ ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА. СОВЕРШЕННАЯКОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
Мы знаем, что одна и та же формула может быть представлена различнымидизъюнктивными нормальными формами. Среди этих форм имеется совершеннаядизъюнктивная нормальная форма, которая удовлетворяет условиям:
a) в ней нет двух одинаковых дизъюнкций;
b) ни одна дизъюнкция не содержит двух одинаковых конъюнкций;
c) ни одна дизъюнкция не содержит переменного высказывания вместе со своимотрицанием;
d) каждая дизъюнкция содержит в качестве дизъюнктивных членов всепеременные, входящие в формулы.
Имеется два метода приведения формулы к дизъюнктивной нормальной форме.
Первый состоит в следующем: составляется истинностная таблица формулы инаходятся все наборы значений переменных высказываний, при которых формулапринимает значение «истина». Затем выписываются конъюнкции элементарныхвысказываний, отвечающие этим наборам, знаки отрицания расставляются над этимивысказываниями, так, чтобы эти конъюнкции были истинными; наконец, конъюнкциисоединяются знаком дизъюнкции.
Исходная формула будет равносильна выписанной дизъюнктивной нормальнойформе.
В самом деле, при соблюдении требований расстановки знаков отрицания надпеременными все выписанные конъюнкции будут истинными, а потому совершеннаядизъюнктивная нормальная форма будет иметь тоже истинностное значение, что иисходная формула.
Например, чтобы привести формулу (р®q)Úq®rÚq к дизъюнктивной нормальной форме,составляем таблицу истинности этой формулы. Она имеет вид:р q r р®q (р®q)Úq rÙ q (р®q)Úq®rÚq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
По сформулированному алгоритму получаем:
(р®q)Úq®rÚq º(`рÙqÙ r) Ú( р Ù`qÙ`r ) Ú( р Ù`qÙr)Ú ( р ÙqÙr).
Другой метод приведения формулы к совершенной дизъюнктивной нормальнойформе заключается в следующем: приводим формулу к дизъюнктивной нормальнойформе, а затем приписываем в каждом дизъюнктивном члене недостающие переменныесогласно правилу (24).
/>/>/>Так, для формулы (р®q)Úq®rÚq имеем следующую цепочку преобразований _____________ _____ ____
(р®q)Úq®rÚq º(`рÚqÚ q) Ú (rÙ q) º `рÚq Ù r Ù q º (`рÚ q)Ù(`qÚ`r ).
Отрицаем последнее выражение:
______________ _ _ _
(`р Ú q)Ù(`qÙ`r ) º(`рÙ`q) Ú(`qÙ`r ) º(р Ù`q) Ú (qÙr).
Затем, пользуясь (24), имеем:
( ( р Ù`q) Ù(r Ú`r)) Ú (( рÚ`р) Ù( qÙr)) º ( р Ù`qÙ r) Ú ( р Ù`q Ù`r) Ú(`рÙqÙ r) Ú( рÚ q Úr ) º(`рÙqÙ r) Ú ( р Ù`qÙ`r) Ú(р Ù`qÙr) Ú ( р ÙqÙr).
Аналогичным образом определяется совершенная конъюнктивная нормальнаяформа какой-то формулы. Она удовлетворяет условиям:
a) в ней нет двух одинаковых конъюнкций;
b) ни одна конъюнкция не содержит двух одинаковых дизъюнкций;
c) ни одна конъюнкция не содержит переменного высказывания вместе со своиотрицанием;
d) в каждой конъюнкции содержится в качестве дизъюнктивных членов всепеременные входящие в формулу.
Правила приведения произвольной формулы к совершенной конъюнктивнойнормальной форме аналогичны тем, которые были описаны для нахождениясовершенной дизъюнктивной нормальной форме и выражаются в двойственныхтерминах. Так, для формулы (р®q)Úq®rÙq пользуясь ее таблицей истинности иправилом двойственности сразу можно записать совершенную конъюнктивнуюнормальную форму. Для этого выписываем дизъюнкции переменных, при которыхформула истинна, затем расставляем знаки отрицания, чтобы при этих значенияхвыписанные дизъюнкции обращались в ложь. И наконец соединяем все дизъюнкциизнаком конъюнкции. Для предыдущей формулы получаем:
(р®q)Úq®rÙqº(р Ú `qÚ` r) Ù(` р ÚqÚ r ) Ù (`рÚqÚ`r) Ù(`рÙ`qÙ`r)
Чтобы привести формулу к совершенной конъюнктивной нормальной форме подругому методу, надо привести ее к конъюнктивной нормальной форме, а затемвосстановить в каждом конъюнктивном члене недостающие переменные, пользуясьправилом (23). Так для формулы (р®q)Úq®rÙq имеем следующую цепочкупреобразований:
(р®q)Úq® (rÙq) º( `рÚ qÚ q) Ú (rÙq) º (`рÙ`q) Ú(rÙq) º (рÙ`q) Ú(rÙq).
По закону двойственности имеем:
_
(рÙ`q) Ú(rÙq) º(`рÚ`q) Ù(`r Ú`q) º(`рÚq)Ù (`r Ú`q).
В полученной конъюнктивной нормальной форме восстанавливаем недостающиепеременные, пользуясь (23).
(`рÚq)Ù (`r Ú`q) º((` р Úq)Ú (rÙ`r)) Ù (( рÚ` р) Ú(`r Ú`q)) º(`рÚqÚ r) Ù (` рÚ q Ú`r) Ù(рÚ`qÚ`r) Ù (`рÙ`q Ù` r ).
Во многих случаях представление формулы в совершенных нормальных формахявляется способом систематического ее упрощения. Однако этот метод не являетсянаиболее коротким и не приводит к простейшему выражению.
Литература
1. Логическоесуждение. Руфулаев О.Н. К. – 2005 г.
2. Логика –исскуство мышления. Тимирязев А.К.– К. 2000 г.
3. Философия и жизнь– журнал- К. 2004 г.
4. История логики имышления – Касинов В.И. 1999.
5. Логика и человек– М. 2000.
6. Философия жизни.Матюшенко В.М. – Москва – 2003 г.
7. Философия бытия.Марикова А.В. – К. 2000 г.