Анкин Д.В.
В классической логикевысказываниями называют предложения, которые оцениваются либо как истинные,либо как ложные, но не то и другое одновременно. Даже если для конкретноговысказывания ни один из людей не в состоянии доказательно обосновать егоистинность или ложность, высказывание считается объективно имеющим одну, ировно одну, из указанных истинностных характеристик. Например, знаменитаягипотеза Ферма в настоящее время является таким высказыванием. Но остаетсянадежда, что ответ на вопрос об истинности или ложности данного высказыванияможет быть получен в будущем. И, хотя у нас нет и быть не может (согласно однойиз ограничительных теорем К. Геделя) эффективного метода перечисленияарифметических истин, каждое арифметическое высказывание считается наделеннымодним из двух истинностных значений безотносительно к тому, умеет или нетпознающий субъект это значение установить.
Сказанное касается не толькоарифметики и даже не только математики, а относится к любым предметным областямвообще. Классическая логика распространяет принцип бивалентности на любойуниверсум рассуждений: всякое высказывание, о чем бы оно ни было, является либоистинным, либо ложным, но не тем и другим сразу. Если же некоторое предложение,по виду напоминающее высказывание, не имеет одной из двух возможныхистинностных характеристик, то это не высказывание, а бессмысленное выражение.
Такой подход, развиваемыйклассической логикой, влечет определенные представления о реальности. Извинимсяза невольный каламбур: высказав это утверждение, далее следовало бы сказать,что данные определенные представления основываются на идее тотальной определенностивсего сущего. Но так оно и есть. Классическая логика принимает фундаментальнуюонтологическую предпосылку об определенности реальности любого рода. Не потомуреальность определенна, что высказывания о ней всегда либо истинны, либо ложны,а, наоборот, высказывания всегда либо истинны, либо ложны потому, чтореальность полностью определенна. Если возникают проблемы с определенностьювысказываний, то ответственность за это возлагается не на описываемую имипредметную область, а на эти высказывания. Предложение “Сократ сидит” лишь повиду высказывание. Оно не истинно и не ложно, ибо иногда Сократ сидит, а иногданет. В полностью определенном универсуме классической логики необходимо указатьмомент (или интервал) времени, в который происходит описываемое событие:“Сократ сидит в момент времени t ”. А это уже матрица для получениявысказываний, истинных для одних конкретных моментов времени и ложное длядругих. Теперь высказывание типа “Сократ сидит 1 мая 399 г. до н. э. в 8 часов5 минут 16 секунд” навечно либо истинно, либо ложно, даже если никто ни сейчас,ни когда-либо в будущем не сможет надежно установить его истинность илиложность.
Мы с легкостью смиряемся с идеейопределенности событий прошлого. Другое дело, что предикаты событий могуттребовать уточнения. В рассматриваемом случае слово “сидит” двусмысленно:Сократ в мае 399 г. до н. э. находился в тюрьме (“сидел”, так сказать), но могв некоторый момент этого интервала времени сидеть или не сидеть в смыслезанятой им позы. Но двусмысленности всегда можно устранить. А уж если при этомуказано еще точное время и место свершения события, то последние сомнения в егоопределенности отпадают. Таково господствующее мнение.
Мало кто задумывается, чтоуточнения пространственно-временных характеристик событий прошлого могут вестик недопустимому переходу от заведомо истинных высказываний к весьмапроблематичным суждениям. Утверждения “Заратустра основал зороастризм в VI в.до н. э.” и “Заратустра основал зороастризм в XVI в. до н. э.” не могут бытьвместе истинными, но каждое принимается каким-либо специалистом. Следовательно,от практически несомненного “Заратустра основал зороастризм” приходим копределенным во времени, но сомнительным утверждениям, поскольку “расхождения вдатировке, достигающие у современных исследователей тысячи лет и более,отражают и подчеркивают то обстоятельство, что в дошедших до нас источниках нетнадежных конкретных данных для определения времени жизни Заратуштры” [9. С. 289].Вряд ли нужно настаивать, что затруднения подобного рода в высшей степенихарактерны для исторического познания, занимающегося изучением универсумапрошлого.
Сомнения в определенности будущеговозникали и возникают гораздо чаще. Еще основатель логики Аристотель столкнулсяс проблемой истинностной оценки высказываний о случайных будущих событиях. Вподтверждение сказанного обратимся к знаменитому фрагменту из трактатаАристотеля «Об истолковании» – главе 9, в которой обсуждается проблемаэпистемологического статуса высказываний о будущих случайных событиях [5]. Этотнебольшой аристотелевский текст вызвал появление несоизмеримо большого числастатей и даже книг, посвященных анализу содержащихся в нем идей. (См., напр.,[11]. Здесь же можно найти библиографию по рассматриваемому вопросу.) В чемпричина такого интереса к фрагменту? Скорее всего, в том, что эти идеисовершенно не вписываются в господствующую логическую парадигму, основанную настатической концепции времени, в которой время по сути полностью определенно инеизменно во всех его частях [1]. Аристотель же, вне всяких сомнений, былсторонником динамической концепции, утверждающей, в частности,нефиксированность (и потому неопределенность) будущего [1. С. 36-37].
Отсюда фундаментальное различие,проведенное Аристотелем между высказываниями о прошлом и настоящем, с однойстороны, и будущим – с другой: “Итак, относительно того, чт o есть и чт oстало, утверждение или отрицание необходимо должно быть истинным или ложным…Однако не так обстоит дело с единичным и с тем, чт o будет” [5, 18 a 28-33].Единичное случайное событие, если оно уже совершилось, позволяет формулироватьо нем либо истинные, либо ложные высказывания. Если же оно относится кнесуществующему будущему, ему только еще предстоит произойти или не произойти.Поэтому в момент настоящего высказывание о том, произошло ли будущее случайноесобытие или нет, еще не стало истинным или ложным, “ибо с тем, чт o не есть, номожет быть и не быть, дело обстоит не так, как с тем, чт o есть” [5, 19 b 2-4].В качестве примера такого события Аристотель разбирает завтрашнее морскоесражение. Необходимо лишь то, что оно будет или не будет, но не то, что ононеобходимо будет или необходимо не будет [5, 19 a 30-33]. Высказывания “Завтрапроизойдет морское сражение” и “Завтра морское сражение не произойдет” пока неистинны и не ложны, или, как говорит Аристотель о суждениях такого типа, “ненемедля” истинны или ложны [5, 19 a 38].
Речь идет именно о случайныхбудущих событиях, поскольку высказывания о том, что совершается понеобходимости, будут истинны или ложны независимо от момента их произнесенияили написания. В результате центр тяжести падает не на разделение темпоральныхвысказываний на датированные (и потому якобы определенные во времени) и несодержащие даты, а на разделение их на определенные во времени и неопределенныево времени. Определенные во времени высказывания, согласно Аристотелю,описывают либо то, что стало, либо то, что вообще не знает становления. Еслиморское сражение случайно состоялось, то высказывания о нем будут истинны илиложны на все оставшиеся времена. Еще лучше, когда положение дел не может бытьиным, когда оно воплощает в себе необходимость. Примером необходимо истинноговысказывания является закон исключенного третьего. Каким бы ни было событие,оно в каждый момент времени либо существует, либо не существует, либо будет,либо нет, ибо “все необходимо есть или не есть, а также будет или не будет” [5,19 a 28]. То есть закон исключенного третьего действует независимо от типасобытий, о которых высказываются. Дизъюнкция “Завтра произойдет морскоесражение или Завтра морское сражение не произойдет” истинна несмотря на то, чтовходящие в нее суждения пока не истинны и не ложны. Что касается суждений о неставшем, о подверженном изменению существовании, то подобные суждения вообще недопускают приписывания определенного истинностного значения из альтернативы“истина – ложь”. В таком случае получает объяснение настойчивое стремление рядаантичных мыслителей найти неподверженное всеразрушающему потоку временистабильное бытие, относительно которого можно сказать либо что оно было илиесть, либо что оно было, есть и будет.
Анализируя аристотелевскуюпроблему, выдающийся польский логик Я. Лукасевич пришел к идее третьегоистинностного значения. Ни одно из противоречащих друг другу высказываний озавтрашнем сражении сегодня не истинно и не ложно. Эти высказывания лишьвпоследствии обретут привычные значения истины или лжи [14].
Бурно развивающиеся в наше времяисследования в области многозначных логик не касаются проблемы прошлыхслучайных событий. Точнее говоря, тут вообще не усматривают проблемы.Действительно, если каждое высказывание об актуальном событии либо истинно,либо ложно, и если прошлое неизменно, то при переходе в прошлое и во все болеедалекое прошлое эти высказывания сохранят свой истинностный статус. Например,если 15 мая 1591 года было истинно высказывание “Царевич Дмитрий убит”, то онобудет (в силу неизменности прошлого) истинным и 15 мая 2002 года и во всепоследующие времена. Установить истинностную характеристику данноговысказывания легче, конечно, по горячим следам. Сейчас это сделать труднееввиду отдаленности события. Но, коль скоро истинностная характеристика современем не изменилась, трудности преодолимы, по крайней мере, в принципе.
Так или примерно так рассуждаютсторонники тезиса о неизменности прошлого. Но на практике историки частоговорят о невозможности верификации или фальсификации определенных высказыванийо прошлом. Могут возразить, что точно так же зачастую невозможно установитьистинностные значения высказываний об актуальных событиях, происходящих вотдаленных от нас областях Вселенной. Это возражение бьет мимо цели, так как сточки зрения современной физики вследствие конечной скорости распространениявзаимодействий последствия этих событий могут быть обнаружены лишь в будущем. Вэтом смысле события, которые мы наблюдали бы, если бы мгновенно перенеслись вкакую-нибудь другую звездную систему, реально могут себя обнаружить дляпознающего субъекта только как прошлые события. Так что пространственноудаленные события на самом деле познаются как события прошлого, поэтому переднами встают те же самые проблемы объяснения особенностей ретроспективногопознания.
Правда, сказанное выше не следуетвозводить в абсолют, как это сделал Ю. Б. Молчанов, утверждая, что все познаваемыенами события – это “события прошлого, которые произошли на столько раньше,сколько времени требуется тому или иному сигналу, чтобы преодолеть расстояниеот места их свершения до моих рецепторов и моего мозга” [15. С. 125].Ошибочность этого рассуждения в том, что настоящее в реальной познавательнойпрактике длится. Так, никому и в голову не придет считать себя старше своегоотражения в зеркале, историк не будет называть настоящим промежуток времени в 1секунду, настоящее расположение материков для геолога длится годами и такдалее. Прошлое начинается за рамками интервала настоящего, имеющего различнуюпродолжительность для разных областей реальности (в зависимости от характернойскорости изменения наполняющих время событий).
Возвращаясь к основной линииизложения, отметим, что факт невозможности установления истинностных значенийнекоторых осмысленных высказываний о прошлом при том условии, что эти жевысказывания легко верифицируемы или фальсифицируемы в случае актуальнопроисходящих событий (представим, например, что мы наблюдаем за царевичемДмитрием в течение суток 15 мая 1591 г. и затем верифицируем высказывание опричине его смерти), свидетельствует об особом статусе прошлого в сравнении снастоящим. Реальность прошлого – это не то же самое, что реальность актуальногонастоящего. Это реальности разных видов, различающиеся способом существования.
К пониманию этого подходил Я. Лукасевич,утверждая, что “и к прошлому мы должны относиться точно так же, как и кбудущему”. Даже “всевидящий разум” о некоторых событиях прошлого не мог быутверждать, “что они были, но лишь, что они были возможны” [14. C. 205].Сказанное означает, что для описания прошлого (как и будущего) нам недостаточнотрадиционных истинностных характеристик. Вряд ли в самой действительностиостались следы угличских событий полутысячелетней давности, которые позволилибы нам или нашим потомкам разрешить загадку смерти царевича. Слишкомфрагментарны эти следы. По сути, след события всегда фрагментарен и неполнохарактеризует событие, его оставившее. Но историческая реальность – этореальность совокупности следов. Обязательно найдутся такие свойства событий,которые будут отсутствовать в совокупности соответствующих следов.“Отсутствовать” в смысле невозможности обоснованно утверждать ни то, что этисвойства были, ни то, что их не было. Поэтому некоторые осмысленныевысказывания о существовавшем в прошлом объекте неизбежно будут иметь третье,неопределенное истинностное значение.
Так, химические методы в рядеслучаев позволяют установить, что содержание ядовитых веществ в останках людейв несколько раз выше нормы. Например, в волосах Наполеона обнаружили повышенноесодержание мышьяка и сурьмы. Однако это не позволяет сделать однозначный выводо том, что превышение нормы произошло вследствие отравления бывшего императоразлоумышленниками. При отсутствии в самой реальности других значимых следовверсия об отравлении Наполеона останется недоказанной [12]. В этом случаевысказывание “Наполеон был отравлен” получает неопределенную истинностную оценку.
Следует различать онтологическую игносеологическую неопределенность, когда мы говорим о третьем истинностномзначении. Так, с определенностью можно утверждать, что среди теорем, которыеученые считают доказанными в настоящее время, имеются ложные высказывания. Нопринятие данного утверждения в качестве истинного не специфицирует ни однойтеоремы, ошибочно относимой к доказанным истинам. Про любую теорему t мы можемлибо утверждать, что она доказана, либо указать, что некоторые ученые считаютее доказанной, либо сослаться на то, что никому не удалось показать ееошибочность. В любом случае, если t I T, где T – класс всех теорем, принятых внастоящее время в качестве доказанных, то не обязательно мы будем настаивать нанесомненной истинности t. А вдруг ошибочность t просто не заметили, или этаошибочность проистекает из нетривиальных соображений? Представим себе, чтоошибочное приписывание значения “истинно” теореме t I T карается смертью. Неокажется ли в этом случае список истинных теорем слишком коротким? Я, пожалуй,рискну на этих условиях утверждать, что в арифметике Пеано 2? 2=4, что А ® Адоказуемо в классическом исчислении высказываний и т. п. Но вряд ли я решусьутверждать, что для раскраски любой карты достаточно четырех цветов или чтоарифметика Пеано непротиворечива. А вдруг четырех цветов недостаточно, а вдругарифметика противоречива – не расставаться же из-за этого с жизнью!
С другой стороны, для любой теоремыt I T не подходит и характеристика “ложно”, поскольку, по определению, T составляютлишь такие утверждения, про которые думают, что они истинны. В этих условияхдля каждого t I T неизбежно либо принятие утверждения, что t истинна, либоутверждения, что t неопределенна (т. е. может оказаться истинной, но может бытьи ложной, хотя последнее менее вероятно в общем случае). Ясно, что принятиетеоремы, на истинности которой мы не настаиваем категорически, имеетгносеологический характер. Если завтра для некоторой теоремы t I T будетпоказано, что t ложно, то это не потому, что t сегодня была истинной, а завтрастала ложной. Утверждение t и сегодня было ложным, но мы этого не знали. Ноданное незнание действительно имело место, так что (за вычетом тех, кто лишилсяжизни за принятие t в качестве истины) правы были эксперты, приписавшие утверждениюt неопределенное истинностное значение. Таким образом, в приведенном примере мыимели дело с гносеологической неопределенностью.
С иным положением дел сталкиваетсяисследователь прошлого и будущего. В момент “теперь” онтологически уже несуществует части прошлой жизни и онтологически еще не существует будущейистории во всех ее деталях. Если истинность или ложность утверждения теоремыостается неизменной в веках, то для событий, зависящих от времени, дело обстоитпротивоположным образом. Не думаете ли вы, что в эпоху существования динозавровуже существовала объективная возможность появления этих строк? Равным образом,не думаете ли вы, что любой из существовавших динозавров оставил в самойреальности неизгладимый след? – Нет, возникновение этих строк, а также читающихих, было творческим актом Вселенной, отнюдь не заложенным в ней от началавремен. Точно так же неизбежно с течением времени исчезнет наша эпоха, оставивв лучшем случае какие-либо следы. Но что-то из нашей жизни исчезнет без следа.В отношении таких процессов возникновения и исчезновения во времени имеет местоонтологическая неопределенность.
Традиционные истинностные значения1 (истина) или 0 (ложь) высказывания А выражаются в языке посредствомутверждения либо А, либо O А. Соответственно, в языке должна иметьсявозможность выражать неопределенность, которую обозначим знаком 1/0. Введем дляэтого новую унарную логическую связку “н”: нА будем читать как “неопределенно А”,“А не определено” и т. п. Теперь в случае ¦А¦ = 1 утверждаем А, в случае ¦А¦ = 0утверждаем O А, и в случае ¦А¦ = 1/0 утверждаем нА (здесь ¦...¦ – функцияистинностной оценки высказываний).
В согласии с аристотелевскимподходом к неопределенности будем считать, что закон исключенного третьегопо-прежнему действует и формула А U O А истинна при любом А, но теперь из А U OА уже не следует, что либо ¦А¦ = 1, либо ¦ O А¦ = 1 (или что либо ¦А¦ = 0, либо¦ O А¦ = 0), поскольку не исключено, что ¦А¦ = 1/0 и ¦ O А¦ = 1/0. Синтуитивной точки зрения, неопределенность высказывания А влечетнеопределенность его отрицания O А, и наоборот. Поэтому примем также, что нА « нO А, т. е. А не определено тогда и только тогда, когда O А не определено. Еслиже высказывание А определенно, то по-прежнему из двух противоречащихвысказываний А и O А одно является истинным, а другое ложным. Например,суждение “Клеопатра – женщина” определенно истинно, и, значит, его отрицаниеложно, тогда как суждение “Клеопатра – красавица” может вызвать споры, воизбежание которых этому суждению припишем неопределенное истинностное значение,откуда его отрицание также неопределенно.
В работах [2], [3], [4, гл. 9] намибыла предложена и исследована формальная семантика для языка логики предикатовпервого порядка, пополненного оператором неопределенности “н”. В построеннойсемантической теории неопределенности, которая была названа н-семантикой,неопределенность задается набором возможных миров вида (где U – единый для всех миров непустой универсум, F i – функция интерпретации,а J – множество индексов числом не менее двух), попарно отличающихсяинтерпретацией хотя бы одного предикатного символа. То есть при i? j найдетсятакой предикат Р, что F i (Р)? F j (Р). При этом для любой индивиднойконстанты с принимается F i ( с ) = F j ( с ). Иными словами, имена индивидовсчитаются твердыми десигнаторами (имеющими одинаковый денотат во всех возможныхмирах), а ответственность за неопределенность возлагается на мягкие десигнаторы– предикаты (которые могут иметь разные денотаты в разных мирах). Отношениедостижимости на мирах отсутствует. Под неопределенностью высказывания в самомобщем плане понимается ситуация, в которой высказывание истинно в одних мирах иложно в других. Эта простая семантическая идея привела к неожиданнымследствиям. Множество общезначимых формул н-семантики оказалось рекурсивноперечислимым, однако было доказано, что понятие естественным образом заданногологического следования в ней не формализуемо, а теорема компактности не верна.
Два последних свойства (а такженекоторые другие особенности н-семантики) нежелательны. Они излишне усложняютформальные семантические характеристики неопределенности, тогда как ссодержательных позиций все относительно просто: есть определенные высказывания,истинные во всех мирах или ложные во всех мирах, и есть неопределенныевысказывания, истинные в одних мирах и ложные в других. Законы классическойлогики истинны во всех возможных мирах, а противоречия ложны во всех мирах.Поэтому, в частности, А U O А – определенное высказывание (и при том истинное),и O (А U O А) – также определенное высказывание (но ложное).
Стало быть, высказывания А U O А иO (А U O А) остаются определенными независимо от того, является ли исходноевысказывание А определенным или неопределенным. Эта, восходящая к Аристотелю,позиция для нас принципиальна. Но именно она заставляет говорить о простотесемантической идеи неопределенности в относительном смысле. Ведь при такомподходе истинностное значение сложного выражения не является, в общем случае,функцией от истинностных значений его частей. И тут ничего не поделаешь. Чтоприписать дизъюнкции А U В, если ¦А¦ = 1/0 и ¦В¦ = 1/0? Максимум? – Тогда ¦А U В¦= 1/0. Но если В есть O А? – Тогда ¦А U В¦ = 1. Аналогичные трудности возникаютв отношении конъюнкции, импликации и эквивалентности – для них тоже несуществует адекватных трехзначных таблиц. Например, рассмотрим высказывание А «В. Пусть ¦А¦ = 1/0 и ¦В¦ = 1/0. Но не спешите приписывать ¦А « В¦ = 1. Если Весть O А, то ¦А « O А¦ = 0, поскольку А « O А противоречиво и, значит, А « O Аложно во всех мирах. Если же истинностное значение А совпадает с истинностнымзначением В в мире a, но не совпадает в мире b, то А « В истинно в a и ложнов b. Отсюда ¦А « В¦ = 1/0. И т. п. Однако это так только для бинарныхлогических связок. Унарные логические связки “ O ” и “н” составляют исключение,поскольку определяются следующей таблицей.А O А нА 1 1/0 1/0 1 1
Действительно, если высказывание Аистинно (ложно) во всех мирах, то его отрицание будет ложным (истинным) такжево всех мирах. В любом случае А и O А определенны, поэтому приписывание имнеопределенности ложно. Если же А истинно в мире a и ложно в мире b, т. е.если ¦А¦ = 1/0, то, конечно, высказывание “А неопределенно”, т. е. высказываниенА, будет истинным. После того как высказывание нА получило истинностнуюоценку, оказывается, что оно стало либо ложным, либо истинным, т. е.превратилось в определенное высказывание. Поэтому, в соответствии с таблицей,любое высказывание вида ннА окажется ложным, так что формула O ннА являетсяпервым примером специфического логического закона u = O ннА, связанного соператором неопределенности “н”.
В целом можно сказать, что вместопринципа бивалентности нами принимается семантический принцип тривалентности,согласно которому любое высказывание либо истинно, либо ложно, либонеопределенно. Четвертого не дано. Однако принцип тривалентности здесь не ведетк отбрасыванию закона исключенного третьего (А U O А) и принятию вместо негозакона исключенного четвертого в форме (А U O А U нА). Разумеется, последняяформула является законом, т. е. u = (А U O А U нА), но, тем не менее, закономостается и первая формула, т. е. u = (А U O А). Зато формулы (А U нА) и ( O А UнА) законами не являются. Тут отсутствует какая-либо непоследовательность врассуждениях. Все дело в том, как добываются истинностные значения. А ониполучаются в зависимости от положения дел в возможных мирах. При нашем подходевозможные миры существуют не наряду с действительным миром, а в совокупностиего составляют. Действительный мир распадается на возможные миры потому, чтоему объективно присуща неопределенность. Точнее говоря, возможные миры в нашемсмысле совпадают друг с другом в определенной части реального мира, иразличаются лишь в отношении его неопределенной части. Она потому инеопределенна, что в реальности ее нельзя свести к чему-то одному. Законыклассической логики описывают определенную часть реальности, поэтому онисохраняются в любом возможном мире. Что же касается неопределенностей, то у нихсвои законы, которые должны ужиться с законами классики.
Иными словами, логиканеопределенности должна быть консервативным расширением логики классической.Лишь в этом случае есть надежда, что она будет не просто еще одним добавлениемк многочисленному семейству абстрактных неклассических логик, представляющихтолько теоретический интерес, но на самом деле будет логикой, т. е. основой дляреальных рассуждений. Ведь, как известно, чаще всего даже авторы неклассическихсистем в действительности не рассуждают в соответствии с построенными ими жеисчислениями и семантиками. Бывает забавно наблюдать, как поборник какой-нибудьнеклассической логики, основанной на отбрасывании некоторых законов классики, итаким образом, не являющейся ее расширением, доказывает метатеоремы для своей“логики”, пользуясь исключительно логикой классической.
Приведенные рассуждения подводят кочень важному для дальнейшего заключению. Во всех ситуациях определенностьимела место тогда и только тогда, когда какое-то положение дел А было одинаковымво всех возможных мирах. Для возникновения неопределенности в отношении Атребовалось наличие двух миров a и b таких, что А имело место в a и не имеломеста в b или наоборот. Что делается в других мирах, отличных от a и b, – ужене существенно в том смысле, что ситуация в них никак не способна повлиять нанеопределенность А. Это наблюдение приводит к выводу, что с логической точкизрения для описания свойств неопределенности достаточно двух возможных миров.Третий, четвертый и последующие миры могут нести дополнительную информациюфактического характера, но ничего не добавят к логическим характеристикамопределенности или неопределенности, подобно тому, как в классической логикелюбые дескриптивные особенности высказываний элиминируются стягиванием их всехк двум полюсам – истина и ложь. В отличие от классики, теперь в целом переднами не два, а три варианта: А выполнено во всех мирах, А не выполнено во всехмирах, и А выполнено в одном мире и не выполнено в другом. Но в последнемслучае достаточно опять-таки двух вариантов или двух миров для возникновениянеопределенности в отношении А. Это позволяет свести рассуждения онеопределенности к двум возможным мирам, что, как можно надеяться, значительноупростит логическую теорию неопределенности без потери каких бы то ни былосущественных характеристик исследуемого феномена.
Как уже говорилось, идеянеопределенности была нами развита на основе неклассической логики. Тривиальноясно, что логика, содержащая третье истинностное значение и новый логическийоператор “н”, не может быть классической. Однако нельзя ли как-нибудьприблизить неклассическую логику неопределенности к классике таким образом,чтобы избавить ее хотя бы от части нежелательных свойств, о которых упоминалосьвыше? Мы предлагаем весьма радикальный вариант решения поставленной проблемы.Его суть состоит в предложении развивать логику неопределенности как бы внутриклассической логики.
Основная идея следующая. Каждыйсогласится, что бывает так, что Р( c ), но O Q ( c ), т. е. индивид с обладаетсвойством Р, но не обладает свойством Q. При этом все полностью определенно.Для возникновения неопределенности в отношении Р и с, надо, чтобы в некотороммире a было Р( c ), а в мире b – O Р( c ). Тогда можно утверждать, что нР( с ).Однако введение этих миров сделает семантику неклассической. А что, если вкачестве O Р( c ) использовать O Q ( c )? Обоснованно возразят, что Р и Qявляются разными предикатами. Как же можно в этих условиях утверждать нР( с )?Но что означает различие в предикатах – только ли различие в написании? Нет, нетолько. Главным является как раз не это, а то, как определяются предикаты. Приаксиоматическом подходе, например, мы можем принять некоторые утверждения про Ри Q в качестве аксиом, приняв, допустим, что " хР(х) и O" х Q (х).Тут различие между Р и Q действительно очевидно и речь в самом деле идет оразных свойствах. Однако предположим, что Р и Q определяются одинаково, т. е.всякая аксиома для Р превращается в аксиому для Q посредством замены Р на Q и,наоборот, всякая аксиома для Q превращается в аксиому для P посредством заменыQ на P. Какие теперь есть основания утверждать, что Р и Q различны? Основанияэти вытекают из того, что одни и те же аксиомы можно иногда интерпретироватьпо-разному. Если принимаются высказывания " хР(х) и " х Q (х), топредикаты Р и Q в рамках классики совпадут в любом универсуме при любойинтерпретации. Но если в качестве аксиом принимаются формулы $ хР(х) и $ х Q(х), то интерпретации данных предикатов могут быть различны. Однако додумаемвысказанную мысль до конца. При совпадении аксиом для Р и Q мы имеем право влюбом случае вести речь если и не о совпадении, то, по крайней мере, о сходствеР и Q. Здесь больше оснований говорить о сходстве, чем в той ситуации, когдаинтерпретации одного и того же предиката Р в мирах a и b никак не связаны. Иименно опираясь на это сходство, мы получаем полное право при наличии Р( c ) иO Q ( c ) не только утверждать, что нР( с ), но и (поскольку отношение сходствасимметрично) утверждать н Q ( c ).
Обсуждаемое сходство можноподкрепить психологически, сделав похожими начертания сходных предикатов.Удобнее вместо Q использовать, допустим, Р*. Важно подчеркнуть, что суть идеисходства не в этом. Мы называем n — местные атомарные предикаты Р(х 1, ..., xn ) и Q (х 1, ..., x n ) сходными в теории Т, если любая аксиома Т, содержащаяэти предикаты или один из них, остается аксиомой данной теории Т послеодновременной замены каждого вхождения Р(х 1, ..., x n ) на Q (х 1, ..., x n) и каждого вхождения Q (х 1, ..., x n ) на Р(х 1, ..., x n ). Аналогичнымобразом определяется сходство в теории Т функциональных символов.
Перейдем к более детальнымпостроениям. Пусть Т – аксиоматическая теория в языке L классическогоисчисления предикатов первого порядка. Сопоставим каждому n -местномуатомарному предикатному символу Р(х 1, ..., x n ) языка L n -местный атомарныйпредикатный символ Р*(х 1, ..., x n ), а каждому n -местному функциональномусимволу t (х 1, ..., x n ) – n-местный функциональный символ t *(х 1, ..., xn ). Индивидные константы (если они вообще имеются) оставим без изменений [1].Получим язык L*. Теперь заменим в аксиомах теории Т каждое вхождениепредикатных и функциональных символов на соответствующие символы со звездочкой.Результат описанной замены для аксиомы А обозначим через А*. В итоге получимтеорию Т* в языке L*, содержащую в качестве аксиом только формулы вида А*.
Объединим полученные теории в одну.Получим теорию Т E Т* в языке L E L *. Теория Т E Т* вряд ли может кого-тозаинтересовать. Просто она содержит два параллельных ряда аксиом, отличающихсялишь наличием или отсутствием звездочек в их формулировках. Однако понятиеформулы претерпело существенное изменение. Формулами теории Т E Т* отнынеявляются не только формулы языка L и формулы языка L * по отдельности, но исмешанные формулы, содержащие как символы без звездочек, так и символы созвездочками. Пусть А – какая-либо формула языка L E L *. Через А* обозначимрезультат одновременной замены в А каждого предикатного или функциональногосимвола без звездочки на соответствующий символ со звездочкой, а каждогопредикатного или функционального символа со звездочкой на соответствующийсимвол без звездочки.
Так определенная операция * наформулах обладает следующим очевидным свойством.
Предложение 1. Любая формула Аграфически совпадает с А**, но ни одна формула А не совпадает с А*.
По аналогии с атомарными формулами,произвольные формулы А и А* также будем называть сходными в теории Т E Т*.
Положим L н = L E L * E {н}, где“н” – символ новой унарной логической связки.
Добавим к Т E Т* важноеопределение. Точнее, схему определений. Для любой формулы А языка L н аксиомойявляется следующая формула:
нА « ((А & O A *) U ( O A &A *)).
Содержательный смысл данногоопределения должен быть ясен из вышесказанного. В частности, если А – формулаязыка L E L * (это означает, что в А нет вхождений оператора “н”), то Анеопределенна тогда и только тогда, когда она выполнена в модели теории Т E Т*,а сходная с ней формула А* не выполнена в той же модели, или, наоборот, А невыполнена, но А* выполнена.
Теорию Т E Т* с присоединеннойсхемой определений
нА « ((А & O A *) U ( O A &A *)) в качестве новой аксиомной схемы назовем минимальной теорией снеопределенностью Тн в языке L н. Короче, минимальная Тн = Т E Т* E {нА « ((А &O A *) U ( O A & A *))}.
Интересно обсудить вопрос:относится ли предложенная конструкция к чистой логике, или она является частьюприкладных построений? Уточним постановку вопроса. Пусть исходная теория Т –это просто одна из аксиоматических формулировок чистого исчисления предикатовпервого порядка без равенства. Нет никаких причин сомневаться, что Т* тогдатоже относится к чистой логике. Но как быть в этом случае с минимальной Тн?Является ли Тн прикладной теорией (вроде арифметики или теории множеств), илиее все еще можно считать принадлежащей к чистой логике? Представляетсяубедительным следующий аргумент. Аксиомы прикладных теорий истинны не во всехуниверсумах, тогда как логические аксиомы верны при любых интерпретациях вовсех непустых универсумах. Аксиомную схему нА « ((А & O A *) U ( O A & A*)) невозможно провалить по той же самой причине, по какой нельзя опровергнуть,например, сокращение (А & В) « O (А ® O В), добавленное к исчислению,сформулированному в языке { O, ® }. Так и в рассматриваемом случае. Формула нА« ((А & O A *) U ( O A & A *)) по сути является сокращением,позволяющем в более компактном виде представлять некоторые формулы. Можно,конечно, принять закон O ((А & В) « O (А ® O В) ), но это будет какая-тодругая, неклассическая логика. Также можно придать унарной логической связке“н” какой-то другой смысл. Но это тоже будет уже другая логика.
Придадим сказанному формальныйсмысл. Пусть – структура для языка L E L *. Поскольку язык L E L *является языком исчисления предикатов первого порядка, функция интерпретации Fпредикатных, функциональных и индивидных констант из L E L * на непустомуниверсуме U стандартна. Все, что требуется для того, чтобы сделать структурой для языка L н, – это определить условие выполнимости для формул виданА. Это условие очевидно: формула нА выполнена в структуре приоценке v тогда и только тогда, когда в при оценке v выполненаформула ((А & O A *) U ( O A & A *)). Тогда верно следующее утверждение(в котором знак логического закона “ u = ” имеет обычное классическоезначение).
Предложение 2. u = (нА « ((А &O A *)? ( O A & A *))).
Однако чисто логическая теория Тнмоментально превратится в прикладную, как только мы примем аксиому о том, чтоконкретная выполнимая формула А является неопределенной. Аксиома нА для такойформулы может выполняться в одних интерпретациях и не выполняться в других, каки положено аксиомам прикладных теорий. Но в этом случае теория Тн перестанетбыть минимальной.
Предложение 3. Для любой теории Ттеория Т E Т* является ее консервативным расширением, а минимальная теория Тнявляется консервативным расширением Т E Т* (и, значит, также Т).
Как и всякую теорию, минимальнуютеорию Тн можно расширять, причем не обязательно формулами, содержащимиоператор “н”. В качестве новой аксиомы к Тн разрешается добавлять любую формулуязыка L н. Разумеется, в результате расширение уже не обязано бытьконсервативным. Тем не менее, каковы бы ни были теории с неопределенностью Тн,для них верны все стандартные метатеоремы о первопорядковых теорияхклассической логики. Иными словами, выполняется своего рода принцип переноса.Данный факт имеет место потому, что по сути дела теории Тн не выводят нас зарамки классической логики. В частности, каждую формулу теории Тн, содержащуюоператор “н”, можно заменить эквивалентной ей формулой без этого оператора,элиминировав, таким образом, оператор неопределенности “н”.
Зато введение этого операторапозволяет в компактном виде сформулировать ряд неклассических идей, связанных снеопределенностью. Начнем с семантики. Будем использовать понятие выполнимостив обычном смысле с учетом расширения его на формулы вида нА, как былоопределено выше. Пусть А – формула языка L н и – структура дляязыка L н. А определенно выполнена в структуре при оценке v, есликак А, так и А* выполнена в структуре при оценке v. А определенноне выполнена в структуре при оценке v, если как А, так и А* невыполнена в структуре при оценке v. Если в классическом случаелюбая формула либо выполнена, либо не выполнена, то здесь появляется третьявозможность. Формула А неопределенно выполнена в структуре приоценке v, если либо А выполнена в структуре при оценке v, но А*не выполнена в структуре при оценке v, либо А не выполнена вструктуре при оценке v, но А* выполнена в структуре при оценке v.
Предложение 4. Формула нАопределенно выполнена в структуре при оценке v тогда и толькотогда, когда А неопределенно выполнена в структуре при оценке v.
Докажем это утверждение. Пусть нАопределенно выполнена в структуре при оценке v. Значит, как нА,так и нА* выполнена в структуре при оценке v. Согласноопределению выполнимости для формул вида нА, получаем, что в структуре при оценке v выполнена формула ((А & O A *) U ( O A & A *)). ДизъюнкцияC U D выполнена, если выполнена формула С или выполнена формула D. Допустим,(А & O A *) выполнена в структуре при оценке v. Тогда и А, иO А* выполнена в структуре при оценке v. Раз O А* выполнена, тоА* не выполнена в структуре при оценке v, т. е. А неопределенновыполнена в структуре при оценке v, что и требовалось. Случай ( OA & A *) рассматривается аналогично.
Пусть теперь А неопределенновыполнена в структуре при оценке v. Тогда либо А выполнена вструктуре при оценке v, но А* не выполнена в структуре при оценке v, либо А не выполнена в структуре при оценке v, ноА* выполнена в структуре при оценке v. Рассмотрим первуювозможность. Так как А* не выполнена в структуре при оценке v, OА* выполнена в структуре при оценке v. Значит, в структуре при оценке v выполнена конъюнкция (А & O A *) и, следовательно,дизъюнкция ((А & O A *) U ( O A & A *)), что и требовалось. Втораявозможность рассматривается аналогичным образом.
Формула А принимает значение 1 (определенно истинно ) в структуре , если А определенно выполненаструктуре при всех оценках v. Формула А принимает значение 0 (определенно ложно ) в структуре , если А определенно не выполненаструктуре при всех оценках v. Формула А принимает истинностноезначение 1/0 ( неопределенность ), если А неопределенно выполнена структуре при всех оценках v.
Разумеется (как и в классическомслучае, когда незамкнутая формула может быть ни истинной, ни ложной),незамкнутая формула может быть ни истинной, ни ложной, ни неопределенной. Затокаждая замкнутая формула в семантике неопределенности получит какое-то из трехистинностных значений.
Предложение 5. Если А – замкнутаяформула языка L н, то в любой структуре для языка L н А получитодно и только одно из трех истинностных значений: либо ¦А¦ = 1, либо ¦А¦ = 0,либо ¦А¦ = 1/0.
Еще одним очевидным следствиемпринятых определений является следующее утверждение.
Предложение 6. Унарные связки “ O” и “н” подчиняются вышеприведенной таблице истинности, тогда как бинарныесвязки не могут быть заданы конечной таблицей истинности.
Предложение 7. Пусть А – замкнутаяформула. Тогда ¦нА¦ = ¦нА*¦ = ¦н O А¦ = ¦н O А*¦. При этом либо ¦нА¦ = 1, либо¦нА¦ = 0.
Для доказательства данногоутверждения достаточно обратить внимание, что условия выполнимости для нА и нА*эквивалентны ввиду того, что А неопределенно выполнена тогда и только тогда,когда А* неопределенно выполнена. Аналогичным образом, если формула Анеопределенно выполнена, то и O А также неопределенно выполнена, и наоборот.Поэтому можно было бы сказать, что если А неопределенно не выполнена, то и O Атакже неопределенно не выполнена. То есть в условиях неопределенностивыполнимость и невыполнимость совпадают. В случае неопределенности А формула нАбудет определенно истинной, а в случае определенной истинности или определеннойложности А формула нА окажется определенно ложной. Случай ¦нА¦ = 1/0 поэтомуисключается. С философской точки зрения это означает, что утверждениенеопределенности или, равным образом, отрицание неопределенности, само вполнеопределенно. Но так и должно быть. Либо неопределенность есть, либо ее нет.Словосочетание “неопределенная неопределенность”, на наш взгляд, лишено смысла.
Стандартное понятие общезначимойформулы распространяется на построенную трехзначную семантику естественнымобразом: вместо истинно надо сказать определенно истинно. Точнее, формула Аязыка L н является н- общезначимой, если А определенно истинна в любойструктуре для языка L н. Для обычной общезначимости пишем u = А, а длян-общезначимости будем использовать запись н u = А.
Принципиальное значение имеетследующее утверждение.
Предложение 8. Для любой формулы Аязыка L н u = А тогда и только тогда, когда н u = А.
Из определений ясно, что если н u =А, то не только u = А, но и u = А*. Доказательство в обратную сторону основываетсяна том факте, что u = А U u = А* (ведь формулы А и А* имеют одинаковуюструктуру). Рутинные детали опустим.
Осуществив столь же естественноераспространение на семантику неопределенности понятия логического следования(снова достаточно в нужных местах добавить слово “определенно”), получим болееобщее утверждение.
Предложение 9. Г u = А U Г н u = А.
Наконец, используя теорему полнотыдля классической логики, получаем следующее утверждение.
Предложение 10. Тн?? А U н u = А.
Пора проиллюстрировать логическуютеорию неопределенности конкретными примерами рассуждений в неопределенныхусловиях. Лучше всего это сделать, обратившись к логике историческихрассуждений, поскольку именно исследователям уже исчезнувших событий прошлогоприходится сталкиваться с неопределенностями там, где аналогичные события, будьмы их очевидцами, не вызвали бы вопросов.
Более конкретно, мы займемсяпроблемой прямого правила удаления квантора существования в рассужденияхисториков. Но вначале необходимо показать, как эта проблема решалась вклассической и интуиционистской (ставшей уже почти классической) логике. Однимиз способов решения было ведение e -оператора. Как известно, идея исчисления сe -термином принадлежит Д. Гильберту. Смысл выражения вида e хА(х) состоит вуказании на некий индивид, обладающий свойством А(х), если такой индивидсуществует. Знаки индивидов называются именами, однако в рассматриваемом случаемы имеем дело с именем не конкретного, а неопределенного индивида, произвольновыбранного среди объектов, удовлетворяющих свойству А(х), если таковые вообщенайдутся. Поэтому оператор e получил название оператора неопределеннойдескрипции. Существует также оператор определенной дескрипции, обычнообозначаемый символом i, который указывает на индивид однозначным образом. Втрактовке Д. Гильберта требование однозначности обеспечивается доказательствомсуществования и единственности введенного с помощью i -оператора объекта.Выражение i хА(х) имеет смысл тогда и только тогда, когда предварительно доказано,во-первых, что $ хА(х) (объект существует) и, во-вторых, что " х "у((А(х) & А(у)) ® х = у) (объект единственен) [7], или, в сокращеннойформе, $! хА(х). Отказываясь от слишком обременительного условия доказательстваединственности и оставляя требование доказательства существования, приходим к h-оператору, который (так же, как и e ) оказывается оператором неопределеннойдескрипции, поскольку указывает на произвольный объект, удовлетворяющийсвойству А(х): h хА(х) означает результат выбора некоторого индивида,выполняющего свойство А(х).
Необходимость перехода к операторунеопределенной дескрипции В. А. Смирнов иллюстрирует на следующем примере [16].Рассмотрим предложение “Семен видел верблюда”. Здесь “Семен” – имя индивида, атермин “верблюд” указывает на класс индивидных объектов. Однако интуитивноепонимание данного предложения не совместимо с утверждением “Семен видел классверблюдов”. Имеется в виду, что Семен видел некоторого представителя классаверблюдов, а не сам класс. Уточнить сказанное позволяет оператор неопределеннойдескрипции: “(Семен) Видел ( h х Верблюд (х))”. Но выражение вида h хА(х) имеетсмысл тогда и только тогда, когда доказано $ хА(х), что также накладываетизлишне строгие ограничения на использование оператора неопределенной дескрипции.Верблюды существуют, а динозавры нет. Поэтому утверждение “(Семен) Видел ( h х Динозавр(х))” оказывается просто неправильно построенным, хотя оно имеет точно такую жеформу, как и в предыдущем примере.
Выходом из этого затрудненияявляется отказ от обязательного доказательства существования объектов,обладающих некоторым свойством, в утверждениях с использованием операторанеопределенной дескрипции. Гильберт и Бернайс следующим образом обобщают идеюнеопределенной дескрипции, вводя e -оператор [8]. Принимается аксиома:
А( t ) ® A ( e xA ( x )) (где t –терм).
Кванторы общности и существованиявводятся определениями:
$ xA(x) = Df A( exA(x)), " xA(x) = Df A( e x O A(x)).
Теперь формулы вида В( e xA ( x ))можно вводить без каких-либо ограничений, связанных с предварительнымдоказательством существования индивидов, обладающих свойством А(х). Ссемантической точки зрения, общезначимость выше приведенной аксиомы можнообосновать следующим рассуждением. Пусть значением выражения e xA ( x ) будет произвольныйиндивид, удовлетворяющий свойству А(х), если предикат А(х) проинтерпретированна непустой области объектов. Если же при данной интерпретации предикат А(х)пуст, то выражению e xA ( x ) сопоставляем любой индивид из универсумарассуждений. Пусть теперь формула А( t ) выполнена в интерпретации F принекоторой оценке f. Это означает, что предикат А(х) не пуст в интерпретации F. Ясно, что формула A ( e xA ( x )) также будет выполнена при даннойинтерпретации и оценке f. На самом деле A ( e xA ( x )) в рассматриваемомслучае будет выполнена при любой оценке g. Если же формула А( t ) не выполненав данной интерпретации ни при какой оценке, e xA ( x ) сопоставим b, где b –произвольный индивид из универсума рассуждений. Поскольку формула А( t ) не выполненани при какой оценке, формула A ( e xA ( x )) также не будет выполнена, какую быоценку мы ни взяли, что и требовалось. В частности, если А( t ) истинна, то A (e xA ( x )) также будет истинна, а если А( t ) ложна, то A ( e xA ( x )) такжебудет ложна. Фактически, именно такое понимание смысла оператора e былопредложено Гильбертом и Бернайсом [8. C. 30].
Существенно, что построенноеГильбертом и Бернайсом исчисление предикатов, содержащее оператор e, не ведетк расширению класса формул, доказуемых в обычном исчислении предикатов. Точнее,если некоторая формула А, не содержащая символа e, доказуема в гильбертовскомe -исчислении, то она будет доказуема и в исчислении предикатов первогопорядка, не содержащем символа e. Иначе говоря, e -исчисление являетсяконсервативным расширением обычного исчисления предикатов. Исследования e-оператора В. А. Смирновым позволили распространить полученные школой Гильбертарезультаты на исчисления иных типов и на интуиционистскую логику. Эти новые,далеко идущие обобщения первоначально были изложены в седьмой, заключительнойглаве книги [16]. В дальнейшем В. А. Смирнов неоднократно обращался кпроблематике e -исчислений, развивая и уточняя предложенный им подход.
Нас здесь будет интересовать, впервую очередь, сформулированное В. А. Смирновым несеквенциальное натуральноеисчисление предикатов второго типа, предполагающее наличие прямых правилудаления для каждого логического знака, в том числе для квантора существования[16. C. 217]. Введение такого правила для квантора существования порождаетпроблему, связанную с обеспечением логического следования. Такого рода проблемавозникает и в случае прямого правила введения квантора всеобщности. Переход(при линейном способе записи) А(х)? " хА(х) нарушает логическое следование:А(х) может оказаться истинным при каком-то конкретном значении х, тогда какутверждение " хА(х) окажется ложным. Однако общезначимость формулы А(х) вкаком-либо универсуме рассуждений гарантирует общезначимость и формулы "хА(х) в том же универсуме.
С квантором существования делообстоит сложнее. Прямое правило удаления квантора существования $ хА(х)? А( t) не воспроизводит отношение логического следования и в том случае, когдаформула $ хА(х) является универсально общезначимой. Например, формула $ х(Р(х) ®" уР(у)) универсально общезначима, но формула (Р( t ) ® " уР(у)) необщезначима. Неформальное доказательство общезначимости первой формулызаключается в следующем простом рассуждении. Свойство Р(х) выполняется либо длявсех объектов универсума, либо не для всех. В первом случае в качествеиндивида, существование которого утверждается, возьмем произвольный объектуниверсума, скажем, b. Поскольку Р( b ) истинно и " уР(у) истинно,импликация также Р( b ) ® " уР(у) истинна, а вместе с ней истинна иформула $ х(Р(х) ® " уР(у)). Например, в универсуме людей истинноутверждение “Все люди смертны”. Отсюда истинно “Если Сократ смертен, то и всесмертны” и, следовательно, истинно “Существует такой человек, что если онсмертен, то и все смертны”. Если же свойство Р(х) выполняется не для всехиндивидов рассматриваемой области, то в качестве объекта, существованиекоторого утверждается, возьмем любой из тех индивидов, который не удовлетворяетсвойству Р(х). Например, пусть Р(х) означает “Добрый(х)”. Но не все люди добры.Так, маркиз де Сад не является добрым. Отсюда импликация “Если уж и маркиз деСад добр, то тогда все добры” будет истинна в силу ложности антецедента.Следовательно, истинно экзистенциальное обобщение “Существует такой человек,что если он добр, то все добры”.
Решить задачу формулировки прямогоправила удаления квантора существования можно с помощью e -символа. Примемправило $ хА(х)? А( e хА(х)), где А( e хА(х)) есть результат замены каждогосвободного вхождения переменной х в формуле А(х) на выражение e хА(х). Такоеправило, учитывая сказанное выше о семантике выражений с e -символом,воспроизводит отношение логического следования. Истинность посылки $ хА(х)гарантирует истинность заключения А( e хА(х)) [13. C. 139-140]. В. А. Смирновпостроил и исследовал различные классические и интуиционистские вариантынатурального e -исчисления с прямыми правилами введения и удаления логическихзнаков. При этом более ранний интуиционистский вариант основывался натребовании, чтобы e -термы не входили в устраняемые допущения и в заключениевывода [16, гл. 7]. Впоследствии он применил иной, более элегантный подход,использующий введение в систему предиката существования [17]. Таким образом,удалось рассмотреть с единых позиций и классическую, и интуиционистскую логикипредикатов, представив их в виде e -исчислений натурального вывода второготипа.
В данной работе будет показано, чтотрудности, связанные с принятием прямого правила удаления кванторасуществования, появляются вновь, если попытаться распространить его на областьсущественно неконструктивных рассуждений. Прежде всего поясним на примерах, чтоимеется в виду под неконструктивными рассуждениями. Всем известна загадочнаяистория человека по имени Каспар Гаузер. Тайна его происхождения так и осталасьнераскрытой. Кто были его родители? Несомненно, что таковые существовали,поскольку каждый человек имеет родителей. Зафиксируем это в символическойформе: " у $ хР(х, у), где Р(х, у) читается “х родитель у”. Представим себе,однако, что следы существования родителей Каспара Гаузера начисто исчезли, чтоих нет в сам o м существующем в настоящее время универсуме. Заметим, что мы неутверждаем, что следы действительно исчезли. Предположим, что они исчезли. Втаком предположении нет ничего невероятного. Более того, в трудах историковнередко можно встретить аналогичные утверждения о безвозвратной утратеисточников и следов некоторых исторических событий. В рассматриваемой ситуациимы располагаем конечным множеством людей, которые могли бы быть родителями КаспараГаузера. Претенденты на эту роль известны. Так, в одной из версий родителямиКаспара Гаузера были герцог Баденский Карл и его жена Стефания де Богарне,удочеренная в свое время Наполеоном. Согласно еще одной гипотезе, Каспар Гаузерродился в семье простолюдинов Блохманнов [6, C. 334-340]. Но при отсутствииследов ни одно из утверждений вида Р( b, КГ), где b – имя конкретногопретендента и КГ – имя Каспар Гаузер, не может быть верифицировано в принципе.Хотя, конечно, многие люди (например, наши современники или далекие предки)заведомо не могли быть родителями Каспара Гаузера, так что если “а” – имятакого человека, то истинно O Р(а, КГ).
Не имея возможности приписать такимутверждениям, как Р( b, КГ), значение “истинно” или “ложно”, будем оцениватьих при помощи третьего истинностного значения “неопределенно”. Предшествующиерассуждения позволяют заключить, что " х(нР(х, КГ) U O Р(х, КГ)). Вместе стем, несомненно " у $ хР(х, у). Снимая квантор общности в последнемпредложении на имя “Каспар Гаузер”, получаем: $ хР(х, КГ). Попытавшисьприменить правило прямого удаления квантора существования, приходим к Р( eхР(х, КГ), КГ). Теперь в предложении " х(нР(х, КГ) U O Р(х, КГ)) снимемквантор общности на e -терм e хР(х, КГ): нР( e хР(х, КГ), КГ) U O Р( e хР(х, КГ),КГ). Поскольку некоторый человек, являющийся родителем Каспара Гаузера, неможет не быть его родителем, последний дизъюнктивный член должен быть оцененкак ложный. Следовательно, истинно нР( e хР(х, КГ), КГ). Но предложения Р( eхР(х, КГ), КГ) и нР( e хР(х, КГ), КГ) не могут быть вместе истинными!
Возникшая коллизия являетсярезультатом принятия правила прямого удаления квантора существования. Ситуацияв действительности носит не частный характер, а имеет отношение к целому пластуреальных рассуждений в обыденной жизни и науке. Что касается науки, то речьидет о дисциплинах, которые (следуя терминологии В. Виндельбанда) можно назватьидиографическими в противоположность номотетическим. Идеалом науки являетсястремление к точности. Но как эту точность понимать? Не всякие представления оточности оправданы с теоретической и практической точек зрения. Например,представление о том, что любой феномен допускает строгое описание на языкечисел, в настоящее время уже не находит столько приверженцев, как это былораньше. В логике стремление к достижению большей строгости нашло выражение втребовании конструктивности рассуждений. Даже их формализация здесь не являетсярешающим моментом.
Конструктивность в интересующем насаспекте связана с особой трактовкой утверждений с квантором существования идизъюнкцией [2]. Классического доказательства формул вида $ хА(х) и (А U В)здесь недостаточно. Неконструктивность классической логики легче всегопродемонстрировать на примере закона исключенного третьего. В классическойлогике принимается, что формула А U O А истинна при любом суждении А, причем Алибо истинно (тогда O А ложно), либо ложно (тогда истинно O А). Однакоклассическая логика далеко не всегда позволяет получить ответ на вопрос, какоеименно суждение истинно – само А или его отрицание. Несмотря на то, что имеютсясущественные разногласия в подходах к анализу понятия конструктивности,нашедшие выражение в создании различных систем конструктивных логик, общимостается требование считать дизъюнкцию А U В доказанной лишь в том случае, еслипредъявлено доказательство по крайней мере одного из членов дизъюнкции. Ещеодин источник неконструктивности классической логики связан с кванторомсуществования. Доказательство высказывания $ хА(х) с использованием классическойлогики может содержать неопределенность в отношении того объекта, существованиекоторого утверждается. Речь идет о так называемых “чистых теоремахсуществования”, из доказательства которых невозможно извлечь информацию оспособах эффективного построения искомого объекта.
В конструктивных рассуждениях(например, в интуиционистской логике) наличие доказательства формулы вида (А U В)означает, что мы располагаем доказательством по крайней мере одного из еечленов (свойство дизъюнктивности), а утверждение вида $ хА(х) считаетсядоказанным лишь при условии, что имеется терм t, для которого доказаносуждение А( t ) (свойство экзистенциальности) [10]. Хотя классическая логика неудовлетворяет названным свойствам, любую основанную на ней теорию Т всегдаможно пополнить таким образом, чтобы расширенная теория Т? была дизъюнктивнойи экзистенциальной. Правда, само такое расширение осуществляетсянеконструктивным образом и потому интуиционистски неприемлемо. В существеннонеконструктивных рассуждениях в условиях неопределенности указанное расширениев общем случае осуществить невозможно в принципе. Здесь мы сталкиваемся сситуацией, когда неконструктивная со стандартной точки зрения классическаялогика оказывается слишком конструктивной!
Как было показано выше, доказательство(в рассмотренном примере со ссылкой на эмпирический закон) утверждений осуществовании некоторых объектов не означает, что у нас имеется возможностьпредъявить эти объекты, даже если область рассуждений охватывает толькоконечное число индивидов. Последнее замечание также демонстрирует необычностьситуации, поскольку считается несомненным, что коль скоро задано конечноемножество объектов K, то тем самым заданы и все подмножества множества K и егодекартова произведения K? K, представляющие соответственно всевозможныесвойства и бинарные отношения на K. Ясно, в частности, что свойство“Родитель(х, КГ)” является подмножеством конечного множества людей,обстоятельства и время жизни которых не исключали возможности оказаться в ролиодного из родителей Каспара Гаузера. Однако, как мы убедились, свойство“Родитель(х, КГ)” нельзя задать предъявлением двух его элементов. Поэтомустремление к строгости, выраженное идеалом конструктивности, оказываетсянереализуемым. Представление о реальности как о вполне определенном образованиинаталкивается на ограничения, поставленные самой природой вещей. Тем не менее,это не означает, что не следует стремиться к точности и строгости рассуждений всущественно неконструктивном случае. Просто идеал строгости не должен бытьсвязан только с конструктивностью. Требуемая строгость, на наш взгляд, можетбыть достигнута за счет применения формальных методов анализа.
В условиях неопределенностисвойство “Родитель(х, КГ)” не может быть представлено одним подмножеством универсумалюдей Л. Есть два сходных подмножества этого универсума Р и Р*, в одно изкоторых попадут аристократы герцог Карл и его жена, а в другое – простолюдиныБлохманны. Все остальные претенденты также должны быть разведены по Р и Р*.Если бы остались реальные следы единственной пары родителей { a, b }, тонеобходимо было бы положить Р = Р* = { a, b }. Если бы следы оставил один изродителей, но не другой (допустим, рассматриваемому свойству удовлетворяет b ),то отсюда вытекало бы, что Р? Р*, но Р C Р* = { b }. В анализируемом примере,по предположению, нет ни того, ни другого. Остается утверждать, что Р??, Р*??, но при этом Р C Р* =?..
Высказанные соображения можнообобщить следующим образом. Если для двух сходных свойств А(х) и А*(х) верно,что $ х(А(х) & А*(х)), то можно ввести константу с, для которой будетверно (А( с ) & А*( с )). Назовем такую константу определенной в отношениисвойств А(х) и А*(х). Если же O$ х(А(х) & А*(х)), то будем говорить, чтолюбая константа является неопределенной в отношении свойства А(х) и свойстваА*(х)).
Теории с неопределенностьюоказываются неконструктивными (или антиконструктивными ) в следующем смысле.Распространим естественным образом понятие модели теории на теории снеопределенностью: н- моделью теории Тн называется структура, в которой всепредложения Тн определенно истинны.
Предложение 11. Существует теория Тнтакая, что а) (P( с ) U O P( с )) I T, б) $ xP(x) I T, в) Tн имеет н-модель, нопри этом ни теория Тн E {P( a )}, ни теория Тн E { O P( a )} не имеютн-моделей, какова бы ни была индивидная константа a.
Проанализированная выше история сКаспаром Гаузером подводит к построению примера требуемой Тн теории. Ведь какуюбы индивидную константу a мы ни взяли, предложение Р( a, КГ) не будет определенноистинным, но может быть либо определенно ложным, либо неопределенным. Сформальной точки зрения, для получения искомого результата требуется ещеисключить определенную ложность.
Пусть Lн = {P, с, a }, где Р –одноместный предикатный символ, а с и a – индивидные константы. Положим Мн = , F( с ) = a, F(P) = {a}, F(P*) = {b}. Ясно, что Мн – н-модель теории Тн ={(P с U O P с ), $ xPx, " xнPx}. Но ни Т E {P( a )}, ни T E { O P( a )}н-моделей не имеют, как бы мы ни определяли значение F( a ) в произвольнойструктуре Мн для языка Lн.
Действительно, определеннаяистинность предложения " xнPx в модели Мн = теории Тн влечет,что формула нP( a ) определенно истинна и, значит, н O Р( a ) также определенноистинна. Отсюда как Р( a ), так и O Р( a ) являются неопределенными в любойн-модели теории Тн, что и требовалось доказать.
Итак, рассмотренная теория Тн неможет быть расширена таким образом, чтобы полученные расширения удовлетворялисвойствам дизъюнктивности и экзистенциальности в трехзначной семантикенеопределенности. Теперь правило прямого удаления квантора существования $хА(х)? А( e хА(х)), принимаемое в натуральных e -исчислениях, уже невоспроизводит отношения логического следования при естественном расширениипонимания семантики выражений с e -термом. В самом деле, формула вида $ хА(х)теории Тн определенно истинна в построенной н-модели, однако независимо оттого, какой индивид будет взят в качестве значения e -выражения e хА(х),утверждение А( e хА(х)) уже не будет определенно истинным, что нарушаетобщепринятое требование “из истинных посылок – истинное заключение”.
Построенная теория Тн, еслипосмотреть на нее с позиций классической двухзначной семантики, никакимиинтересными особенностями не обладает. И, разумеется, эта теория в даннойсемантике может быть расширена таким образом, чтобы появились свойствадизъюнктивности и экзистенциальности.
Но одно не противоречит другому. Сметаязыковой точки зрения суть здесь в том, что в рассматриваемом случае нельзяввести определенную константу a. Но ввести неопределенную, конечно, можно.Однако классическая логика не проводит различия между определенными инеопределенными ситуациями. Зато это позволяет делать логика неопределенности.Совмещение в одном (фактически, классическом) синтаксическом аппаратевозможностей двух разноплановых семантик (классической и неклассической)позволяет удержать приятные метасвойства классической логики и, вместе с тем,промоделировать рассуждения в условиях неопределенности.
Списоклитературы
Анисов А. М. Время и компьютер.Негеометрический образ времени. М., 1991.
Анисов А. М. Семантиканеопределенности // Логические исследования. Вып. 4. М., 1997.
Анисов А. М. Аксиоматическоеисчисление неопределенности // Логические исследования. Вып. 7. М., 2000.
Анисов А. М. Темпоральный универсуми его познание. М., 2000.
Аристотель. Соч.: в 4 т. М.,1976-1984. Т. 2. С. 99-102.
Великие тайны прошлого // Reader'sDigest, 1996.
Гильберт Д., Бернайс П. Основанияматематики. Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979.
Гильберт Д., Бернайс П. Основанияматематики. Теория доказательств. М., 1982.
Гранатовский Э. А. Послесловие // БойсМ. Зороастрийцы. Верования и обычаи. М., 1988.
Драгалин А. Г. Математическийинтуиционизм. М., 1979.
Карпенко А. С. Фатализм ислучайность будущего: Логический анализ. М., 1990.
Лейстнер Л., Буйташ П. Химия вкриминалистике. M., 1990.
Логика и компьютер. Вып. 3.Доказательство и его поиск. М., 1996.
Лукасевич Я. О детерминизме // Логическиеисследования. Вып. 2. М., 1993.
Молчанов Ю. Б. Проблема времени всовременной науке. М., 1990.
Смирнов В. А. Формальный вывод илогические исчисления. М., 1972.
Смирнов В. А. Поиск доказательствв натуральном интуиционистском исчислении предикатов с e -символом и предикатомсуществования // Логические исследования. Вып. 3. M., 1995.