Министерство образования и наукиУкраины
Харьковский национальный университетимени В.Н. Каразина
Радиофизический факультет
Курсовая работа
по теме:
Электростатика проводников
Студента группы РР – 35
Кацко Д.В.
Руководитель:
доц. Багацкая О.В.
Харьков – 2008
Abstract
There are bases of the electrostatics ofconductor considered there. The subject of macroscopic electrodynamic forms the study ofelectromagnetic fields. Main equations of electrodynamic of utter ambiences are gotby means of averaging the equations of the electromagnetic field in emptiness.
Содержание
Введение
1. Электростатическое полепроводников
2. Энергия электростатического поляпроводников
3. Проводящий эллипсоид
4. Силы, действующие на проводник
Выводы
Список использованной литературы
Введение
Предмет макроскопическойэлектродинамики составляет изучение электромагнитных полей в пространстве,заполненном веществом. Как и всякая макроскопическая теория, электродинамикаоперирует физическими величинами, усредненными по «физически бесконечно малым»элементам объема, не интересуясь микроскопическими колебаниями этих величин,связанными с молекулярным строением вещества. Так. Вместо истинного«микроскопического» значения напряженности электрического поля ерассматривается ее усредненное значение, обозначаемое />.
Основные уравненияэлектродинамики сплошных сред получаются посредством усреднения уравненийэлектромагнитного поля в пустоте. Такой переход от микро- к макроскопическимуравнениям был впервые произведен Лоренцем (H.A. Lorentz, 1902).
Вид уравнениймакроскопической электродинамики и смысл входящих в них величин существеннозависят от физической природы материальной среды, а также от характераизменения поля со временем. Поэтому представляется рациональным производитьвывод и исследование этих уравнений для каждой категории физических объектовотдельно.
1. Электростатическоеполе проводников
Как известно, в отношенииэлектрических свойств все тела делятся на две категории — проводники идиэлектрики, причем первые отличаются от вторых тем, что всякое электрическоеполе вызывает в них движение зарядов — электрический ток.
Начнем с изученияпостоянных электрических полей, создаваемых заряженными проводниками(электростатика проводников). Из основного свойства проводников, прежде всего,следует, что в электростатическом случае напряженность электрического полявнутри них должна быть равной нулю. Действительно, отличная от пулинапряженность E привела бы к возникновению тока;между тем распространение тока в проводнике связано с диссипацией энергии ипотому не может само по себе (без внешних источников энергии) поддерживаться встационарном состоянии.
Отсюда в свою очередьследует, что все заряды в проводнике должны быть распределены по егоповерхности: наличие зарядов в объеме проводника непременно привело бы квозникновению электрического поля в нем.
Задача электростатикипроводников сводится к определению электрического поля в пустоте, внепроводников, и к определению распределения зарядов по поверхности проводников.
В точках, не слишкомблизких к поверхности тела, среднее поле E в пустоте фактически совпадает с истинным полем e. Эти две величины отличаются друг отдруга лишь в непосредственной близости к телу. Точные микроскопическиеуравнения Максвелла в пустоте гласят:
/>, />,
(h — микроскопическая напряженность магнитного поля). Так каксреднее магнитное поле предполагается отсутствующим, то и производная />обращается врезультате усреднения в нуль
/>, />,
т. е. /> является потенциальнымполем с потенциалом />, связанным с напряженностьюсоотношением
/>
и удовлетворяющимуравнению Лапласа
/>.
Граничные условия дляполя Е на поверхности проводника следуют из самого уравнения />. Выберем ось z понаправлению нормали n к поверхности проводника в некоторой его точке.Компонента Ez поля в непосредственной близости кповерхности тела достигает очень больших значений.
Существенно, что еслиповерхность однородна, производные />, />вдоль поверхности остаютсяконечными, несмотря на обращение самого Ez в бесконечность. Поэтому из
/>
следует, что /> конечно. Этозначит, что Ey непрерывно на поверхности. То жесамое относится и к Ex, апоскольку внутри проводника вообще Е = 0, то мы приходим к выводу, чтокасательные компоненты внешнего поля на его поверхности должны обращаться внуль:
Et = 0.
Таким образом,электростатическое поле должно быть нормальным к поверхности проводника вкаждой ее точке. Поскольку />, то это значит, что потенциалполя должен быть постоянным вдоль всей поверхности проводника.
Нормальная к поверхностикомпонента поля просто связана с плотностью распределенного по поверхностизаряда. Эта связь получается из общего электродинамического уравнения />, которое послеусреднения принимает вид
/>,
где — средняя плотностьзаряда. В интегральном виде это уравнение означает, что поток электрическогополя через замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся вограниченном этой поверхностью объеме. На внутренней площадке Е = 0, найдем,что />, где /> — поверхностнаяплотность заряда, т. е. заряд на единице площади поверхности проводника. Такимобразом, распределение зарядов по поверхности проводника дается формулой
/>.
Полный заряд проводника
/>,
где интеграл берется повсей его поверхности.
2. Энергия электростатического поляпроводников
Вычислим полную энергию U электростатического поля заряженныхпроводников:
/>,
где интеграл берется повсему объему пространства вне проводников. Преобразуем этот интеграл и получимвыражение:
/>/>,
аналогичное выражению дляэнергии системы точечных зарядов.
Заряды и потенциалыпроводников не могут быть заданы одновременно произвольным образом; между нимисуществует определенная связь. Она должна быть линейной, т.е. выражатьсясоотношениями вида
/>,
где величины Caa, Cabимеют размерность длины и зависят отформы и взаимного расположения проводников. Величины Caa называют коэффициентами емкости, авеличины Cab/> — коэффициентамиэлектростатической индукции.
Обратные выражения дляпотенциалов через заряды:
/>,
где коэффициенты /> составляетматрицу, обратную матрице коэффициентов />.
Вычислим изменениеэнергии системы проводников при бесконечно малом изменении их зарядов илипотенциалов:
/>.
Это выражение можнопреобразовать далее двумя эквивалентными способами. Окончательно имеем:
/>,
т.е. получаем изменениеэнергии, выраженное через изменение зарядов.
С другой стороны:
/>,
т. е. изменение энергиивыражено через изменение потенциалов проводников.
Эти формулы показывают,что, дифференцируя энергию U повеличинам зарядов, мы получаем потенциалы проводников, а производные от U по потенциалам дают значениязарядов:
проводникэлектромагнитный поле выравнивание
/>.
С другой стороны,потенциалы и заряды являются линейными функциями друг друга. Имеем:
/>,
а изменив порядокдифференцирования. Мы получили бы />. Отсюда видно, что
/>
(и, аналогично, />). Энергия U может быть представлена в виде квадратичной формы потенциаловили зарядов:
/>.
Это квадратичная формадолжна быть существенно положительной. Из этого условия возникают определенныенеравенства, которым удовлетворяют коэффициенты />. В частности, все коэффициентыемкости положительны:
/>
(а также и />).
Напротив, всекоэффициенты электростатической индукции отрицательны:
/>.
3. Проводящийэллипсоид
Задача об определениизаряженного проводящего эллипсоида решается с помощью эллипсоидальныхкоординат.
Связь эллипсоидальныхкоординат с декартовыми дается уравнением
/>
Это уравнение, кубическоеотносительно u, имеет три вещественных корня />:
/>.
Эти три корня и являютсяэллипсоидальными координатами точки x, y, z. Их геометрический смысл явствует из того, что поверхностипостоянных значений /> представляют собой соответственноэллипсоиды, однополостные гиперболоиды и двухполюсные гиперболоиды, причем всеони софокусны с эллипсоидом
/>.
Формулы преобразования отэллипсоидальных координат к декартовым получаются путем совместного решениятрех уравнений и имеют вид
/>,
/>,
/>.
Элемент длины вэллипсоидальных координатах имеет вид
/>,
/>,
где
/>
Соответственно, уравнениеЛапласа в этих координатах есть
/>
Тогда кубическоеуравнение
/>
вырождается в квадратное
/>
с двумя корнями,пробегающими значения в интервалах
/>
Координатные поверхностипостоянных /> и/> превращаютсясоответственно в софокусные сплюснутые эллипсоиды вращения и однополостныегиперболоиды вращения (рис. 1). В качестве третьей координаты можно ввестиполярный угол /> в плоскости
/>.
/>
Рис. 1
Связь координат /> с координатами/> дается равенствами
/>, />.
Координаты /> называются сплюснутымисфероидальными координатами.
При a>b=с эллипсоидальные координаты вырождаются в так называемыевытянутые сфероидальные координаты. Две координаты /> и /> задаются корнями уравнения
/>
причем />. Поверхности постоянных/> и/>представляютсобой вытянутые эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды вращения (рис. 2).
Связь координат />, /> с координатами/> даетсяформулами
/>, />.
/>
Рис. 2
Поверхность
/>
в эллипсоидальныхкоординатах – это координатная поверхность />=0. Если искать потенциал поля ввиде функции только от />, то будут эквипотенциальными всеэллипсоидальные поверхности />=const, в том числе поверхность проводника. УравнениеЛапласа сводится тогда к уравнению
/>
откуда
/>.
Зная, что 2А=е,заключаем:
/>.
Откуда
/>.
Распределение плотностизаряда по поверхности эллипсоида определяется нормальной производной потенциала
/>.
Легко убедиться в том,что при />=0
/>.
Поэтому
/>.
Для двухосного эллипсоидаинтегралы
/>, />
выражаются черезэлементарные функции. Для вытянутого эллипсоида (a>b=c) потенциал поля дается формулой
/>,
а его емкость
/>.
Для сплюснутого жеэллипсоида (a=b>c)имеем
/>
В частности, для круглогодиска (a=b, с=0)
/>.
4. Силы, действующиена проводник
В электрическом поле наповерхность проводника действуют со стороны поля определенные силы.
Плотность потока импульсав электрическом поле в пустоте определяется известным максвелловским тензоромнапряжений:
/>
Силе же, действующая наэлемент df поверхности теле, есть поток«втекающего» в него извне импульса, т.е. равна />. Учитывая, что у поверхностиметалла напряженность Е имеет только нормальную составляющую, получим
/>
или, вводя поверхностнуюплотность зарядов />,
/>.
Таким образом, наповерхность проводника действуют силы «отрицательного давления».
Полная сила F, действующая на проводник.Получается интегрированием силы /> по всей его поверхности:
/>
Сила, действующая напроводник вдоль координатной оси q,есть />, гдепод производной надо понимать изменение энергии при параллельном смещенииданного тела как целого вдоль оси q. При этом энергия должна быть выражена через заряды проводников(источников поля), и дифференцирование производится при постоянных зарядах.Отмечая это обстоятельство индексом е, напишем
/>.
Для системы проводников,потенциалы которых поддерживаются постоянными. Роль механической энергии играетне U, а величина
/>.
Подставив сюда
/>,
находим, что /> и /> отличаютсятолько знаком
/>.
Сила/>получаетсядифференцированием /> по q при постоянных потенциалах, т.е.
/>.
Таким образом.Действующие на проводник силы можно получить дифференцированием U как при постоянных зарядах, так и припостоянных дифференциалах.
Выводы
В данной работерассмотрен предмет электростатики проводников. Проанализированыэлектростатическое поле проводников, энергия электростатического поляпроводников, проводящий эллипсоид, силы, действующие на проводник в поле.