--PAGE_BREAK--2. Граничные условия
При решении задач электродинамики, учитывается, что все макроскопические тела ограничены поверхностями. При переходе через эти поверхности физические свойства макроскопических тел изменяются скачком и поэтому также скачком могут изменяться электромагнитные поля, создаваемые этими телами. Другими словами векторные функции и являются кусочно-непрерывными функциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутри каждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах раздела двух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1) — (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, а затем полученные решения объединять с помощью граничных условий.
При нахождении граничных условий удобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласно уравнению (4) и теореме Остроградского-Гаусса:
, (16)
где Q – полный заряд внутри объёма интегрирования.
Рассмотрим бесконечно малый объём в виде цилиндра с высотой h и площадью основания S, расположенный в средах 1 и 2 (рис. 2).
Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:
(17)
здесь — нормаль к границе раздела двух сред, направленная из среды 2 в среду 1. Знак «минус» во втором слагаемом обусловлен тем, что внешняя нормаль поверхности интегрирования в среде 2 направлена противоположно нормали в среде 1. Пусть основание цилиндра стремится к границе раздела двух сред. Так как площадь боковой стремится к нулю, то , и поэтому (17) приобретёт вид:
(18)
где и — значения нормальных составляющих вектора по разные стороны поверхности раздела; — поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества. Если поверхность раздела не заряжена, то в формуле (18) необходимо положить =0. Пользоваться понятием поверхностной плотности удобно тогда, когда избыточные (сторонние) заряды расположены в очень тонком слое вещества d, а поле рассматривается на расстояниях от поверхности r>>d. Тогда из определения объёмной плотности заряда следует:
= d= .
Если учесть, что , а — поверхностная плотность поляризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:
где , а величина , которая входит в граничное условие (18), есть поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества.
Используя уравнение (2) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора :
(19)
Выражения (18) и (19) – граничные условия для нормальных составляющих векторов и . Чтобы получить условия для тангенциальных составляющих можно использовать уравнения (1) и (3). Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль к поверхности S, ограниченной контуром L, имеющим вид прямоугольника (рис. 3).
Используя теорему Стокса, получим:
Перепишем это уравнение в виде:
(20)
Здесь и — значения вектора соответственно в средах 1 и 2, — единичный вектор, касательный к поверхности раздела, — нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.
Пусть теперь при малом, но фиксированном l. Тогда , и соотношение (20) примет вид:
и после сокращения на l имеем:
здесь . Вектор , как следует из рисунка 2, можно записать как в виде . Тогда
предыдущее выражение можно записать, как
.
Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности, а следовательно, и
вектора , то имеем
(21)
В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить =0. Учитывая, что , а есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:
где .
Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора :
(22)
Таким образом, уравнения Максвелла (1) — (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора (22) и нормальной составляющей вектора (19) при переходе через границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора при переходе через границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора , если имеются поверхностные токи (21).
Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение непрерывности (0) и уравнение (4), из которых следует:
Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:
(23)
Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющих плотности тока:
.
Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:
;
(24)
;
где — нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.
3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).
В случае стационарных электрических и магнитных полей ( и) система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему
уравнений электростатики:
, , (25)
и уравнений магнитостатики:
, , , (26)
а граничные условия остаются те же.
4. Пример
В качестве примера решения электростатических задач можно вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R, находящемся в однородном электрическом поле . Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при =0 имеют вид:
, , (27)
Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению
(28)
причём = -, -. В однородном диэлектрике =const, поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа =0.
Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:
при r=R (29)
Здесь – решение уравнения вне сферы, а – внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала
= (30)
Это условие можно получить, рассматривая интеграл по контуру, изображенному на рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением , находим
Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что
где элемент направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора также непрерывны.
Для решения поставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля .
Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал должен удовлетворять условию
при .
Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра :
,
.
Здесь потенциал нормирован так, чтобы при . Так как , то из условия на бесконечности находим .
Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):
Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем
=0 при (l=0),
при (l=1),
при (l>1).
Из этих уравнений находим
, .
Все остальные коэффициенты равны нуля, если .
Таким образом, решение задачи имеет вид:
(30)
Используя формулу , вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы
С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:
(31)
(32)
где — объём сферы.
Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным моментом . Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле с напряжённостью
(33)
Полная напряжённость внутри шара
(34)
Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля , которое называется деполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.
продолжение
--PAGE_BREAK--